• Definizione XXIII
  Parallele sono quelle rette che essendo in uno stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall'una e dall'altra parte non si incontrano tra loro da nessuna delle due parti.

Risulti postulato:
• che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto
• e che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta
• e che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza
• e che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro
• e che se una retta venendo a cadere su altre due rette forma angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.

La geometria dello spazio come abbiamo detto è introdotta da Euclide nel XI libro. Vi sono 28 definizioni delle quali ricordiamo quelle essenziali per la trattazione successiva. Altre saranno riprese più avanti. Queste definizioni vanno imparate a memoria: sono gli atomi iniziali di un linguaggio scientifico col quale è possibile costruire poi un discorso dimostrativo razionale.

• Definizione III
  Una retta è perpendicolare a un piano quando forma angoli retti con tutte le rette che la incontrano e che siano su quel piano.


• Definizione VIII
  Sono paralleli i piani che non si incontrano

La geometria dello spazio ha bisogno di altri tre postulati che nel testo euclideo si trovano all'inizio del libro XI nella forma di teoremi. In realtà le "dimostrazioni" di queste proposizioni sono non rigorose e si fondano su elementi fortemente intuitivi. Tenendo conto che il testo originale di Euclide, come un tempio antico, è pervenuto fino a noi dopo successivi rimaneggiamenti e copie manoscritte via via corrotte da commenti, note "esplicative", aggiunte, molti storici ritengono che quelle "dimostrazioni" siano in realtà dei commenti spuri aggiunti per dare una qualche giustificazione dei nuovi postulati. Essi sono

• Postulato I
  Se due o più punti di una retta stanno su un piano tutta la retta è contenuta in quel piano




In formule


• Postulato II
  Per tre punti che non stanno su una retta passa uno e un solo piano



• Postulato III
  Se due piani distinti si incontrano hanno in comune una retta.

In formule

Notiamo che i postulati I e II implicano la proposizione seguente

Proposizione 1
Due rette che si incontrano in un punto giaciono su uno e un solo piano.

La dimostrazione di questa proposizione è diretta e naturale.
Sia A il punto d'intersezione delle rette r ed s. Sia B un punto di r diverso da A e C un punto di s diverso da A. Dato che le due rette sono diverse, i punti A,B,C non sono allineati dunque, per il postulato II, esiste uno e un solo piano che passa per A,B,C. Dato che A e B stanno anche sulla retta r e B è diverso da A, per il postulato I tutta la retta r è contenuta in quel piano. Si ragiona analogamente per la retta s.
La figura seguente illustra i passi della dimostrazione

Notiamo che due rette generiche dello spazio non stanno su uno stesso piano: questo accade se e solo se le due rette sono parallele (per la definizione di parallelismo) o, come abbiamo visto, se le due rette si intersecano in un punto. Due rette che stanno su uno stesso piano si dicono complanari mentre si dicono sghembe quando questo non accade.

Possiamo ora dimostrare qualche teorema seguendo testualmente la trattazione euclidea.

Teorema 1 (Euclide, Elementi XI,4)
Se una retta è innalzata perpendicolarmente al comune punto di intersezione di due rette che si tagliano tra loro essa sarà perpendicolare al piano che passa per esse.

Supponiamo che, per ipotesi, la retta EF sia perpendicolare alle rette AB e CD e che queste rette si incontrino in E. Per il postulato II esiste un piano e uno solo che contiene A,E,C, e quindi per il postulato I le rette AEB e CED. Si deve dimostrare che questo piano è perpendicolare alla retta EF. Per dimostrare questo, dato che, per definizione, una retta è perpendicolare a un piano nel punto E se è perpendicolare ad ogni retta del piano passante per E, si deve dimostrare che EF è perpendicolare a ogni retta del piano passante per E. Sia GH una qualunque di queste rette. Dobbiamo dunque dimostrare che gli angoli GEF e HEF sono uguali. Per fare questo costruiamo la seguente figura

Costruiamo i segmenti uguali AE=EB=CE=DE. Ora si ragiona con lo scopo di dimostrare che i triangoli HEF e GEF sono uguali. Per fare questo cerchiamo di dimostrare che questi due triangoli hanno i lati uguali.

• I triangoli AEC e BED sono uguali avendo uguali due lati e l'angolo compreso. In particolare sono isosceli e hanno gli angoli alla base uguali

• I triangoli CEG e DEH sono uguali dato che hanno gli angoli uguali e il lato EC=ED. In particolare EH = EG.

• AF = BF = CF = DF perché i triangoli AEF, BEF, CEF e DEF sono tutti uguali tra loro avendo uguali i lati AE,BE,CE,DE per costruzione il lato EF che è in comune e gli angoli AEF, BEF, CEF e DEF che sono retti per ipotesi. In particolare i triangoli ACF e BDF sono uguali perché hanno uguali i tre lati. Ne segue che gli angoli FDB e FCA sono uguali tra loro.
  
  
• I triangoli DHF e CGF sono uguali perché hanno uguali DH=CG, DF = CF e l'angolo FDH e FCG. In particolare FH = FG.

Questo teorema, in particolare, implica che una retta perpendicolare a un piano non può stare su quel piano dato che una retta non può essere perpendicolare a se stessa. Una retta perpendicolare a un piano sta fuori da quel piano, occupa uno spazio più grande, definisce una nuova direzione "verso fuori" che non si trova tra le infinite direzioni del dato piano.

Il teorema seguente fissa a tre la dimensione dello spazio stabilendo che non possono esserci più di tre direzioni a due a due ortogonali tra loro.

Teorema 2 (Euclide, Elementi XI,5)
Se una retta è innalzata perpendicolarmente nel comune punto di intersezione di tre rette che si incontrano tra loro, allora le tre rette stanno su uno stesso piano.

Siano BC,BD,BE le tre rette e supponiamo che la retta AB sia perpendicolare a tutte e tre. Vogliamo dimostrare che allora le tre rette stanno su un piano cioè che i quattro punti B,C,D,E sono complanari.

Sia il piano che contiene i punti B,C,D e il piano che contiene i punti A,B,E. Tali piani esistono e sono unici per il postulato II. I due piani e non sono uguali. Infatti la retta AB essendo perpendicolare sia a BC che BD è perpendicolare, per il teorema 1, al piano e quindi non può stare su quel piano. I piani e non sono neppure paralleli dato che hanno in comune almeno il punto B. Essi dunque si intersecano, per il postulato III, in una retta. Sia r tale retta. Vogliamo dimostrare che la retta r è uguale alla retta BE. Ciò deriva dal fatto che r si trova sul piano e dunque, per il teorema 1, è perpendicolare alla retta AB. Ma r si trova anche sul piano e in quel piano anche BE è perpendicolare alla retta AB. Dato che in un piano esiste una e una sola retta perpendicolare ad AB nel punto B, deve essere r uguale alla retta BE.

Teorema 3 (Euclide, Elementi XI,8)
Se due rette sono parallele e una è perpendicolare a un piano allora anche l'altra è perpendicolare a quel piano

Detto in modo più formale, il teorema afferma che,

r perpendicolare ad , s parallela a r implica s perpendicolare ad .

Introducendo un simbolo per la relazione di perpendicolarità e per quella di parallelismo, l'enunciato precedente si scrive

La formula mette in evidenza la struttura logica dell'enunciato. La proposizione è fatta di tre enunciati semplici: r perpendicolare ad , r parallela a s e s perpendicolare ad . Si tratta di dimostrare che, assumendo come veri i primi due enunciati, risulta necessariamente il terzo. Per dimostrare che s perpendicolare ad dobbiamo riprendere la definizione di perpendicolarità tra rette e piani: dobbiamo quindi dimostrare che s è perpendicolare ad ogni retta del piano passante per il punto B dove s incontra . Poiché queste rette sono infinite sembrerebbe necessario fare una infinità di dimostrazioni una per ogni retta, cosa ovviamente impossibile. E' a questo punto che ci viene in aiuto il teorema 1: basta dimostrare che s è perpendicolare a due rette di passanti per B perché allora è perpendicolare anche a tutte le altre.

Euclide costruisce due particolari rette per le quali è capace di dimostrare la perpendicolarità con r. Per fare questo Euclide inventa un utilissimo "strumento geometrico" in grado di traslare angoli nello spazio. Cominciamo col descrivere questo strumento

Attivare Java per una costruzione interattiva (con Cinderella).
Figura animata 1

Consideriamo un triangolo ABD su un dato piano e un triangolo ABC uguale a quello su un'altro piano incernierato lungo la retta AB. Se ruotiamo il piano del triangolo ABC nello spazio, cosa che è possibile fare muovendo il punto C, si vengono a formare comunque sia la rotazione effettuata, due triangoli che hanno i tre lati uguali (CA=BD, AD=BC) e che quindi sono uguali: il triangolo CAD e il triangolo CBD. In questo modo l'angolo CAD risulta uguale all'angolo CBD.

Per dimostrare il teorema usiamo questa costruzione nel modo seguente. Dato che le rette r ed s sono parallele per ipotesi, esse stanno su un piano che interseca il piano lungo una retta p. Poiché r è perpendicolare al piano per ipotesi, la retta p è perpendicolare alla retta r. Ne segue che, essendo r ed s parallele per ipotesi, anche la retta s è perpendicolare alla retta p.

Dobbiamo ora dimostrare, ricordando la definizione di perpendicolarità tra retta e piano, che s è perpendicolare a una qualunque retta di passante per B.

Sia dunque q una generica retta passante per B. Intersechiamo questa retta con la retta per A perpendicolare a p. Sia C il punto di intersezione. Costruiamo ora un segmento BD = AC. I due triangoli ABC e ABD sono uguali tra loro essendo entrambi rettangoli (l'angolo DBA è retto perché s è perpendicolare a p) e con uguali cateti. Usando ora il nostro "strumento geometrico" possiamo dedurre che l'angolo DBC è uguale all'angolo CAD. Ma quest'angolo è rettangolo dato che CA è perpendicolare a p e a r e dunque, per il teorema 1, è perpendicolare al piano e quindi è perpendicolare a tutte le rette di quel piano passanti per A e, in particolare, alla retta AD. Essendo gli angoli CAD = DBC rettangoli, la retta s risulta perpendicolare a p e a BC e dunque perpendicolare al piano .

Il teorema seguente è in un certo senso l'inverso del precedente

Teorema 4 (Euclide, Elementi XI,6)
Se due rette sono perpendicolari allo stesso piano sono parallele tra loro.

Le ipotesi ora sono che r ed s sono perpendicolari ad e la tesi è che allora le due rette sono parallele. In modo simbolico l'enunciato si scrive

Questo enunciato non è l'inverso del precedente perché l'ipotesi che r sia perpendicolare ad è comune ai due enunciati: la tesi dunque non si cambia con l'ipotesi come avviene in enunciati l'uno inverso dell'altro. In ogni caso possiamo riunire i due enunciati in un unico enunciato nel modo seguente

Il nuovo simbolo introdotto, la doppia freccia, si legge se e solo se e tutto l'enunciato si legge: se r è perpendicolare ad allora s è perpendicolare ad se e solo se s è parallela a r. L' espressione simbolica contiene in forma estremamente compatta gli enunciati dei teoremi XI,6 e XI,8 degli Elementi di Euclide. L'efficacia della matematica consiste anche nella sua capacità di condensare in un linguaggio simbolico preciso enunciati anche molto complessi, enunciati che, in questo modo, possono essere trasferiti su un calcolatore elettronico e manipolati automaticamente. Oltre al linguaggio formale è molto importante formarsi una immagine mentale isomorfa al contenuto della proposizione. Questa immagine permette di ricordare e capire meglio il significato della proposizione e il suo utilizzo in atri contesti. In questo caso possiamo ad esempio rappresentare una retta perpendicolare a un piano come una "zampa di gallina" e due rette parallele evidenziando che stanno su un piano e che formano angoli retti con una trasversale. L'immagine potrebbe essere questa.

Vediamo ora come si dimostra il teorema 4. Come prima cosa si tratta di capire bene quali sono le ipotesi e cosa si vuole dimostrare e poi bisogna cercare un'idea (e qua si esplica la creatività del matematico) per dimostrare la tesi. Per ipotesi le due rette r ed s sono perpendicolari al piano e dobbiamo dimostrare che allora sono parallele. Siano A e B i punti in cui le rette incontrano il piano, e siano C e D altri due punti sulle rette r ed s rispettivamente. Sia p la retta che congiunge A con B.

Dato che sia r che s sono perpendicolari al piano , esse saranno perpendicolari alla retta p. Basta allora dimostrare che le due rette sono su uno stesso piano (due rette sono parallele per definizione se sono su uno stesso piano e non si incontrano), perché, in questo caso, formando con la trasversale p angoli retti, per il V postulato, non possono incontrarsi. Per dimostrare che le due rette sono su uno stesso piano dimostriamo che le tre rette AC,AB,AD sono complanari cercando di utilizzare il teorema 2. Per fare questo (ecco l'idea!) usiamo il nostro "strumento geometrico" costruendo una retta ausiliaria AE e dimostrando che questa retta ausiliaria è perpendicolare ad AB, AC e AD. La conclusione segue a questo punto usando il teorema 2.

In dettaglio costruiamo sul piano una retta AE perpendicolare alla retta AB e tale che AE = BD. Abbiamo

• AE perpendicolare a AB per costruzione
• AE perpendicolare ad AC perché la retta AC è perpendicolare al piano per ipotesi
• AE è perpendicolare ad AD perché, usando lo "strumento geometrico", l'angolo EAD risulta uguale all'angolo DBE che è retto perché la retta DB è perpendicolare per ipotesi al piano .

I seguenti esercizi interattivi aprono una pagina di posta nella quale si deve scrivere come soggetto l'esercizio cui si riferisce e come testo la propria soluzione. Inviare il testo che sarà poi corretto, una volta a settimana, per posta elettronica

Esercizio interattivo 0.1 Scrivere verbalmente, con la massima precisione possibile, i vari passaggi della costruzione della perpendicolare descritti con le immagini precedenti giustificandone la correttezza sulla base dei postulati e di teoremi precedenti

Esercizio interattivo 0.2 Dimostrare che la retta costruita con i passaggi precedenti è perpendicolare al piano .

Esercizio interattivo 0.3Come costruire la retta per A perpendicolare al piano quando il punto A si trova sul piano?

Il seguente teorema viene dimostrato per assurdo.

Teorema 6 (Euclide, Elementi XI,13)
Da uno stesso punto non possono innalzarsi due rette perpendicolari a uno stesso piano.

Supponiamo che il punto A stia sul piano e supponiamo per assurdo che esistano due rette r ed r' passanti per A e perpendicolari al piano.

Considerando il piano che contiene r ed r' . Tale piano esiste in virtù del postulato II. Il piano non coincide col piano perché la retta r (e r') è perpendicolare ad . Sia dunque p la retta nella quale questo piano incontra il piano . Questa retta esiste in virtù del postulato III. Dato che r e r' sono perpendicolari ad , r e r' saranno perpendicolari a p dato che p passa per A e si trova sul piano , ma questo è assurdo perché sul piano non possono esistere due rette perpendicolari a una stessa retta per uno stesso punto A. Infatti queste eventuali due rette, formando angoli retti con la retta p, sarebbero parallele il che è assurdo, se sono diverse, perché hanno il punto A in comune ³.
Lo stesso ragionamento vale anche se A non sta sul piano .

Notiamo che l'assurdo non dipende dal fatto che la conclusione è contraria al nostro buon senso o alla nostra intuizione ma dal fatto che la conclusione a cui siamo arrivati contraddice un teorema dimostrato precedentemente.

Studiamo ora la relazione di perpendicolarità riferita a due piani.
Cominciamo col dare la definizione di perpendicolarità tra piani, definizione che nel libro XI degli Elementi di Euclide ha il numero 4 e dice testualmente.

• Definizione IV
  Una piano è perpendicolare a un'altro piano quando le rette condotte, in uno dei due piani, perpendicolarmente alla intersezione comune dei piani, sono perpendicolari all'altro piano

e si legge è perpendicolare ad se e solo se intersezione uguale a p è non vuoto e ogni retta r di perpendicolare a p è perpendicolare a
.

Dato che le rette di perpendicolari a p sono tutte parallele tra loro, per il teorema 3, basta che una retta di sia perpendicolare a p affinché il piano sia perpendicolare ad . La definizione data è quindi equivalente a quest'altra definizione:

che si legge: è perpendicolare ad se e solo se intersezione uguale a p è non vuoto ed esiste una retta r di perpendicolare a .

I nuovi simboli introdotti (la A capovolta = per ogni e la E girata = esiste) si chiamano quantificatori e sono di enorme importanza in matematica. I due punti si usano generalmente nel significato di tali che.

Non è difficile dimostrare (vedi esercizi) che la relazione di perpendicolarità tra piani è simmetrica, cioè è perpendicolare a se e solo se è perpendicolare ad

Gli esercizi seguenti hanno lo scopo di esercitare l'allievo all'uso matematico della logica formale sviluppando le sue capacità di ragionamento.

Esercizi