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II. 1 Vettori geometrici
Un segmento orientato è una coppia ordinata di
punti diversi dello spazio. Se A è il primo punto della coppia e B è il secondo, il segmento orientato definito
da quei punti nell'ordine detto, si indica con AB. Naturalmente AB è diverso da BA dal momento che nella seconda coppia, l'ordine è
stato invertito. Per indicare con un disegno il segmento orientato AB si disegna una freccia che inizia nel primo punto A
e finisce nel secondo punto B.
Un segmento orientato origina una direzione
1
, quella della retta passante per A e B, un verso, quello da A a B, e
una grandezza scalare
2
, la lunghezza 3 del segmento AB calcolata in rapporto a una fissata unità di misura che supporremo data una
volta per tutte.
Due segmenti orientati AB e A'B' si dicono equipollenti se hanno la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa lunghezza. Ciò
accade se il segmento A'B' si ottiene da AB con una traslazione o anche se i segmenti AA' e BB' e i segmenti AB e A'B' sono uguali e paralleli
in modo che la figura AA'B'B sia un parallelogramma.
Nella figura animata seguente è possibile muovere col mouse i punti A e B creando vari segmenti orientati AB.
Figura animata 1
Possiamo anche muovere il punto A' dove è applicato il segmento A'B': i segmento orientati A'B' che si originano in questo
modo sono tutti equipollenti ad AB.
Un vettore geometrico è una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti. Uno stesso vettore geometrico può
essere quindi rappresentato da infiniti segmenti orientati: il vettore rappresentato dal segmento orientato AB sarà denotato col simbolo
AB (AB in grassetto) e abbiamo che
AB = A'B' se e solo se i due segmenti orientati AB ed A'B' sono equipollenti.
I segmenti orientati che è possibile ottenere con la figura animata 1 muovendo il punto A'
rappresentano tutti lo stesso vettore geometrico.
In tutto questo corso i vettori geometrici saranno indicati con lettere in grassetto u, v, w, z ecc.
Se v è un vettore geometrico rappresentato dal segmento orientato AB, scriveremo v = AB.
Poiché segmenti equipollenti hanno la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa grandezza, queste caratteristiche vengono
ereditate dal vettore geometrico rappresentato da quei segmenti. In particolare il modulo di un vettore geometrico v,
denotato col simbolo |v|, sarà
la lunghezza di un qualunque segmento orientato che rappresenti v. Non solo un vettore geometrico da luogo a una direzione un verso
e una grandezza scalare, ma, viceversa, data una direzione un verso e una grandezza scalare esiste uno e un solo vettore geometrico con quelle
caratteristiche. Un vettore geometrico è una concetto astratto che indica la qualità comune a una classe di segmenti equipollenti così
come, nella lingua comune, tra tutti gli animali il concetto di "iguana" è un concetto astratto che vuole indicare ciò che è
comune a tutti gli iguana. Se un individuo non conosce questo animale basterà mostrargli un particolare iguana per rappresentare tutta la "classe
di equivalenza iguana" oppure trovare una descrizione verbale dell'animale che ne indichi le caratteristiche distintive della classe. Lo stesso è possibile fare
coi vettori:
o si mostra il disegno di un segmento orientato come rappresentante della classe che si intende considerare, o si descrivono verbalmente le sue
proprietà cioè la sua direzione il suo verso e il suo modulo.
Per completezza è utile introdurre anche il vettore nullo: esso sarà rappresentato dalla coppia AA e sarà
denotato con 0
AA = BB = 0.
Il vettore nullo è l'unico vettore geometrico che non ha verso e direzione mentre il suo modulo è zero.
Le proprietà geometriche dello spazio euclideo permettono di dimostrare la seguente fondamentale proprietà
Proprietà 1
Dato un vettore geometrico v ed un punto O dello spazio, esiste uno
ed un solo segmento orientato OX che inizia in O e che rappresenta il vettore v.
Usando un linguaggio frequente in fisica diremo anche che il segmento orientato OX rappresenta il vettore geometrico v applicato in O.
Per dimostrare questa proprietà basta tracciare la retta passante
per O con la direzione di v (che esiste ed è unica per il V postulato di Euclide) e su questa, nel verso definito da v,
staccare un segmento OX di lunghezza uguale a |v|.
Esercizi
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