Lezioni di Geometria 1

Franco Ghione


Capitolo V

V. 1 Prodotti scalari di vettori geometrici

Il prodotto scalare tra due vettori geometrici è una operazione che associa a una coppia data di vettori un numero che è sensibile sia alle grandezze (moduli) dei due vettori che all'angolo col quale uno si inclina sull'altro. Se u e v sono i due vettori, e se t è l'angolo convesso¹ definito dalle direzioni e dai versi di u e v, il loro prodotto scalare è per definizione

u . v = |u|.|v|cos(t)

Notiamo che il fattore |v|cos(t) è la lunghezza, con segno, della proiezione ortogonale del vettore v sul vettore u. Il segno è positivo se l'angolo tra i due vettori è acuto, negativo se ottuso.
Nella figura animata seguente è possibile modificare col mouse i vettori geometrici u e v e la loro rappresentazione. Sulla retta orientata nera è stato rappresentato il valore (a parte il segno) del prodotto scalare.

Il prodotto scalare ha importanti proprietà algebriche che ci permettono di fare calcoli in modo analogo a quello che si fa coi numeri.

V. 2 Proprietà del prodotto scalare

• u . u > 0 per ogni vettore geometrico u ed è 0 se e solo se u = 0

Dalla definizione (1) abbiamo infatti u . u = |u||u|cos(0) = |u|² e quindi, essendo il quadrato di un numero reale, u . u risulta un numero reale positivo che si annulla se e solo se |u| = 0 cioé u = 0. Estraendo la radice quadrata troviamo l'importante formula

che lega il modulo di un vettore, cioè la sua grandezza, al prodotto scalare. Per analogia con l'aritmetica elementare indicheremo il prodotto scalare u . u con il simbolo u². Si deve però fare attenzione al fatto che, in questo caso, a differenza di ciò che accade con i numeri, l'operazione che fa passare da u a u² cambia la natura dell'oggetto infatti u è un vettore geometrico mentre u² è un numero reale.
Le altre proprietà notevoli del prodotto scalare sono le seguenti.

• u . v = v . u              Dimostrazione
• (au) . v = a(u . v)              Dimostrazione
• (u + v). w = u . w + v . w              Dimostrazione

Osserviamo che può accadere, a differenza di ciò che accade coi numeri, che il prodotto scalare di due vettori non nulli sia zero e questo difatti accade se e solo se cos(t) = 0 cioè se e solo se i due vettori sono ortogonali. Questa stranezza è molto utile per risolvere alcuni degli esercizi che proponiamo in fondo alla pagina.


V. 3Prodotti scalari di vettori numerici

Anche tra i vettori numerici ad n componenti è possibile definire un prodotto scalare. Siano u = (u₁,u₂, ... ,u_n) e v = (v₁, v₂ , ... ,v_n) due dati vettori numerici a n componenti, il loro prodotto scalare è, per definizione, un numero reale che si calcola con la seguente formula:

u .v = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + u_nv_n

In particolare abbiamo, come nel caso dei vettori geometrici

u .u = u₁² + u₂² + ... + u_n² > 0

e questo numero è nullo se e solo se tutte le u_i sono nulle cioè se e solo se u = 0.
Anche le ulteriori proprietà che abbiamo dimostrato per il prodotto scalare tra vettori geometrici continuano a valere in questo caso. Quello che cambia è che ora la validità di una data formula dipende solo da un calcolo algebrico. La proprietà distributiva, ad esempio segue dalle proprietà distributiva e commutativa che valgono nell'aritmetica ordinaria.
L'analogia coi vettori geometrici, per i quali il prodotto scalare ha una precisa interpretazione geometrica, ci porta ad estendere anche per i vettori numerici alcune importanti caratteristiche. Possiamo intanto dare la seguente

Definizione di modulo di un vettore numerico
Dato un vettore numerico a n componenti u = (u₁,u₂, ... ,u_n) chiamiamo modulo di u il numero reale positivo, denotato con |u| e definito dalla formula

Notiamo che è possibile estrarre la radice quadrata dato che il radicando è sempre un numero positivo o nullo ed è nullo, come abbiamo visto, se e solo se u = 0

Questo numero, il modulo di un vettore numerico, che ora non possiamo più interpretare come la lunghezza di un segmento, possiamo tuttavia pensarlo come una qualche intensità del vettore numerico u, una qualche grandezza astratta (ma che possiamo calcolare) associata al vettore che misura quanto il vettore sia grande, quanto il vettore sia diverso dal vettore nullo.
Possiamo nello stesso modo dare una misura di quanto un vettore numerico sia inclinato rispetto a un'altro? Possiamo definire un angolo tra due vettori numerici non nulli e dare quindi senso alla perpendicolarità tra vettori numerici?
Ciò può essere realizzato coerentemente in virtù di una importante disuguaglianza detta

Disuguaglianza di Schwartz
Dati due vettori numerici a n componenti u = (u₁,u₂, ... ,u_n), v = (v₁,v₂, ... ,v_n) risulta

cioè, scrivendo esplicitamente i prodotti ed elevando al quadrato

Questa notevole disuguaglianza, di non difficile dimostrazione, permette di definire l'angolo tra due vettori a partire dal suo coseno utilizzando la formula (1). Dato infatti un numero reale -1 < a < 1 esiste un unico angolo convesso t (cioè 0 < t < p) tale che a = cos(t). Tale angolo è chiamato l'arco coseno di a. L'angolo tra due vettori numerici non nulli u e v, sarà dunque, ora per definizione, quel particolare angolo t il cui coseno verifica la relazione

In particolare, se il prodotto scalare tra due vettori numerici è positivo, i due vettori formano un angolo acuto, se il loro prodotto scalare è nullo e i due vettori non sono nulli, allora essi sono ortogonali, se infine, il prodotto scalare è negativo i due vettori formano un angolo ottuso.



Esercizi