Lezioni di Geometria

Franco Ghione


Capitolo VII


VII 1. La nozione di spazio vettoriale su un campo K

Sia K un campo, cioè un insieme di elementi tra i quali sono definite le 4 operazioni elementari dell'aritmetica: somma, differenza, prodotto e divisione con le stesse proprietà formali che valgono per gli ordinari insiemi di numeri. Una definizione dettagliata di questa struttura e delle sue proprietà sarà data nel corso di Algebra. In questo corso, per semplicità, supponiamo, salvo avviso contrario, che K sia l'insieme dei numeri reali. Gli elementi di K saranno anche detti anche, seguendo una terminologia usata soprattutto dai fisici, scalari e saranno indicati con caratteri corsivi.
Uno spazio vettoriale V sul campo K è dato da un insieme V, i cui elementi sono detti vettori, sulla natura concreta dei quali nulla è noto, ma che è possibile far interagire tra loro e con gli scalari rispettando alcune regole formali che ci consentono di fare calcoli algebrici analoghi a quelli che si eseguono nell'aritmetica elementare. I vettori saranno sempre indicati con lettere in grassetto.
Le regole che postuliamo sono le seguenti.
Dati due elementi di V, u e v, è possibile determinare in modo univoco un ben definito ulteriore elemento di V, che dipende da quelli, che denotiamo con u + v e che chiamiamo la somma di u con v. Postuliamo che questa operazione di somma verifichi le seguenti proprietà

  • (u + v) + w = u + (v + w)      (proprietà associativa)
    comunque si scelgano i tre elementi u, v e w in V

  • u + v = v + u                      (proprietà commutativa)
    comunque si scelgano i due elementi u, v in V

  • Esiste un ben determinato elemento di V, che denotiamo col simbolo 0, tale che, per ogni vettore u di V risulti
    0 + u = u               (esistenza del vettore nullo)

  • Per ogni vettore u di V esiste un ben definito vettore che chiamiamo opposto di u e indichiamo col simbolo -u , tale che
    u + (-u ) = 0               (esistenza dell'opposto)
Per semplificare la notazione, come normalmente viene fatto nell'aritmetica elementare, indichiamo il vettore u+(-v) col simbolo u - v, vettore questo che viene anche detto differenza di u con v.

Oltre a questo, postuliamo che sia definita una ulteriore operazione che permette di moltiplicare uno scalare a di K con un vettore u di V ottenendo come risultato un nuovo vettore denotato col simbolo a.u. Postuliamo che questa ulteriore operazione verifichi le seguenti proprietà, per ogni possibile scelta degli scalari a e b e dei vettori u e v:
  • (a + b).u = a.u + b.u
  • a.(u + v) = a.u + a.v
  • a.(b.u) = (ab).u
  • 1.u = u       e      (-1).u= -u

A partire da queste regole di calcolo che postuliamo e usando quelle che Euclide chiama nozioni comuni possiamo costruire una teoria matematica assiomatico-deduttiva fatta di definizioni, teoremi e dimostrazioni. Le nozioni comuni che permettono di articolare delle dimostrazioni formalmente corrette stabiliscono che:

  • se a cose uguali aggiungiamo (o togliamo) cose uguali ciò che resta sono cose uguali
    In simboli: se A = B allora A + C = B + C

  • se moltiplichiamo (o dividiamo) cose uguali per cose uguali, ciò che resta sono cose uguali
    In simboli: se A = B allora a.A = a.B

Alcune proprietà utili nel calcolo si dimostrano facilmente a partire dagli assiomi e dalle nozioni comuni. Diamo di seguito alcune di queste utili nei calcoli vettoriali.

  • 0.u = 0 per ogni vettore u dello spazio ( regola di annullamento del prodotto) (dimostrazione)

  • -(-u) = u per ogni vettore u dello spazio ( regola dei segni) (dimostrazione)

  • a(u1 + u2 + ... + un) = au1 + au2 + ... + aun (dimostrazione)

  • (a1 + a2 + ... + an) .u = a1 .u+ a2.u + ... + an.u (dimostrazione)

Se V è uno spazio vettoriale e se W è un sottoinsieme non vuoto di V i vettori di W possono sommarsi e moltiplicarsi per uno scalare, essendo in particolare dei vettori di V. Quando accade che, operando in tutti i modi possibili con queste due operazioni, coi vettori di W si trova sempre un vettore di W, diciamo che W è un sottospazio vettoriale di V. In altri termini W è un sottospazio vettoriale di V se e solo se è non vuoto e

  • la somma di due qualunque vettori di W è un vettore di W
  • il prodotto di un qualunque scalare a per un qualunque vettore w di W è ancora un vettore di W.

I primi esempi di sottospazi vettoriali vengono dalla geometria. Sia V lo spazio vettoriale formato dai vettori geometrici e sia r una retta dello spazio. L'insieme dei vettori geometrici AB definiti da due punti A e B delle retta r si chiama la direzione di r, spazio che indichiamo col simbolo Wr:

Wr = {AB : A r, B r}

Analogamente, se è un piano dello spazio, l'insieme dei vettori geometrici AB definiti da due punti A e B del piano si chiama la gicitura , spazio che indichiamo col simbolo W:

W = {AB : A , B }

E' chiaro che questi sottoinsiemi di V sono sottospazi vettoriali. Indichiamo la dimostrazione nel caso dei piani. Siano AB e CD due vettori di W allora la somma AB + CD è ancora un vettore di W, infatti possiamo intanto trovare un punto D' del piano tale che CD = BD' e quindi il vettore AB + CD = AB + BD' è un vettore di W. Ugualmente è facile vedere che se AB è un vettore di W allora ogni suo multiplo è un vettore di W. Infatti il vettore aAB = AC individua un punto C della retta AB, la quale, essendo A e B punti di è contenuta in . Ne segue che anche il punto C è contenuto in e quindi AC è un vettore di W.
L'introduzione di questi spazi è molto importante perché permette di tradurre fatti geometrici nel linguaggio degli spazi vettoriali. Ad esempio se r e r' sono due rette dello spazio, allora r è parallela a r' se e solo se Wr = Wr'.
Analogamente se e ' sono due piani dello spazio allora e ' sono paralleli se e solo se W = W'.

Sia V uno spazio vettoriale diciamo che un vettore u è combinazione lineare dei vettori u1, u2, ... , um se esistono degli scalari a1, a2, ... ,am tali che

u = a1.u1 + a2.u2 +... + am.um

Fissati i vettori u1, u2, ... , um, l'insieme di tutte le loro possibili combinazioni lineari è un sottoinsieme di V che viene chiamato lo spazio generato dai vettori u1, u2, ... , um e che si indica col simbolo Span(u1, u2, ... , um). In formule

Span(u1, u2, ... , um) = { a1u1 + a2u2 + ... + amum | al variare degli scalari a1, a2, ... ,am}

Teorema VII 1
Dati m vettori, u1, u2, ... , um, di uno spazio vettoriale V, il sottoinsieme Span(u1, u2, ... , um) è un sottospazio vettoriale di V.
(dimostrazione)

Un problema che si pone è quello di sapere quando, dati due insiemi di vettori, uno formato dagli m vettori u1, u2, ... , um e l'altro dai k vettori v1, v2, ... , vk, risulti

Span(u1, u2, ... , um) = Span(v1, v2, ... , vk)

Il problema è interessante anche quando si tratti di pochi vettori. Già nel caso m=1, n=1 non è del tutto ovvio un criterio che mi dica quando Span(u) = Span(v). Discutiamo nella nota alcuni criteri proposti dagli studenti utili a chiarire il ruolo e l'importanza dei quantificatori (per ogni ed esiste) nella matematica moderna.

Il seguente teorema ci offre un criterio molto semplice per rispondere alla nostra domanda

Teorema VII 2
Dati due insiemi finiti di vettori di uno spazio vettoriale V, uno formato dagli m vettori u1, u2, ... , um e l'altro dai k vettori v1, v2, ... , vk, risulta


se e solo se
(dimostrazione)

Dal teorema 2 segue che
Span(u1, u2, ... , um) = Span(v1, v2, ... , vk)

se e solo se tutti gli m vettori ui (i=1,2,...,m) appartengono allo spazio Span(v1, v2, ... , vk), cosí che, per il teorema 2, lo spazio generato dai vettori u risulta contenuto nello spazio generato dai vettori v, e in più tutti i vettori vj (j=1,2,...,k) appartengono allo spazio Span(u1, u2, ... , um) , cosí che, per il teorema 2, lo spazio generato dai vettori v risulta contenuto nello spazio generato dai vettori u. I due spazi risultano quindi uno incluso nell'altro e pertanto sono uguali.

Il teorema precedente implica anche che, se il vettore um è combinazione lineare dei vettori u1, u2, ... , um-1, allora
Span(u1, u2, ... , um) = Span(u1, u2, ... , um-1)

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