è una applicazione di V in W tale che

per ogni scelta dei vettori u e v in V e per ogni scalare a in K.

Le due condizioni che abbiamo messo a fondamento del concetto di applicazione lineare chiariscono il significato del termine morfismo. Tra tutte le applicazioni tra due spazi vettoriali i morfismi sono quelle applicazioni che conservano la struttura. Dato che la struttura di spazio vettoriale è data dalla presenza di due operazioni, la somma e il prodotto per uno scalare, un morfismo di spazi vettoriali è una applicazione che conserva queste due operazioni, una applicazione cioè che conserva la somma (l'immagine di una somma è la somma delle immagini) e che conserva il prodotto per uno scalare (l'immagine del prodotto di un vettore per uno scalare è il prodotto di quello scalare per l'immagine del vettore).
Queste due proprietà di conservazione implicano altre tre importanti proprietà di conservazione.

• Una applicazione lineare L conserva il vettore nullo (dimostrazione)
L(0) = 0
• Una applicazione lineare L conserva le combinazioni lineari (dimostrazione) L(a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n) = a₁L(v₁) + a₂L(v₂) + ,..., + a_nL(v_n)

In particolare se v₁, v₂,... , v_n sono linearmente dipendenti anche L(v₁), L(v₂), ... , L(v_n) sono linearmente dipendenti. La stessa cosa non vale per vettori linearmente indipendenti: può cioè capitare, come vedremo meglio, che vettori linearmente indipendenti si trasformino in vettori linearmente dipendenti.

• Una applicazione lineare L conserva i sottospazi (dimostrazione).

Ciò significa che se U è un sottospazio vettoriale di V e se L(U) è l'insieme delle immagini dei vettori di U, allora L(U) è un sottospazio vettorile di W. In formule

Le proprietà che abbiamo visto ci permettono di calcolare l'immagine di ogni vettore di V tramite una applicazione L sapendo che l'applicazione è lineare e sapendo come questa agisce sui vettori di una base. Siano e₁, e₂, ... , e_n i vettori di una base di V, un generico vettore v di V si scrive come combinazione lineare dei vettori della base e dunque, se L è lineare, deve essere

questo ci dice che possiamo calcolare L(v) conoscendo le componenti x₁, x₂, ... , x_n di v e le immagini in W L(e₁), L(e₂), ... , L(e_n) dei vettori della base.

Esempio
Supponiamo che V sia lo spazio dei vettori geometrici di un piano, una applicazione lineare L di V in V è determinata sapendo come L agisce sui vettori i e j di una data base di V. Nella figura animata seguente

possiamo modificare col mouse i vettori L(i) = e , L(j) = f. Fissati questi due vettori possiamo calcolare L(OP) per un generico vettore OP (che possiamo modificare agendo su P), calcolando le componenti lungo i e j di OP e riportando tali componenti lungo e ed f. Precisamente, se OP = xi + yj, L(OP) = xL(i) + yL(j) = xe + yf e dunque basterà calcolare i vettori xe e yf e sommarli, cosa possibile conoscendo x,y e, f. Il programma che anima la figura fa esattamente questo calcolo: fissati e e f, dato P, calcola L(OP). Possiamo anche vedere l'immagine una generica circonferenza (rossa) descritta dal punto P a seconda della scelta dei vettori e ed f.


Applicazioni lineari di Rⁿ in R^m

Siamo ora in grado di descrivere tutte le applicazioni lineari di Rⁿ in R^m . Come abbiamo visto una matrice A di m righe e n colonne individua l'applicazione L_A di Rⁿ in R^m che trasforma il generico vettore x (pensato come una matrice di n righe e 1 colonna) nel vettore A.x ottenuto moltiplicando la matrice A con la matrice x. Questa applicazione risulta lineare e fornisce quindi un importante e concreto esempio di applicazione lineare tra spazi vettoriali. La cosa ora molto importante è che non esistono altre applicazioni lineari di Rⁿ in R^m . In altri termini, se supponiamo che una applicazione

sia lineare, cioè verifichi le proprietà (1) e (2), allora, di questa trasformazione, siamo in grado di scriverne le equazioni. Precisamente sussiste il seguente teorema che caratterizza tutte le trasformazioni linari di Rⁿ in R^m

Teorema
Se L è una applicazione lineare di Rⁿ in R^m allora esiste ed è unica una matrice A tale che L = L_A. Inoltre la matrice A è la matrice che ha per colonne le immagini dei vettori della base canonica di Rⁿ.
Dimostrazione
Sia e₁, e₂, ... , e_n la base canonica di Rⁿ. Trasformiamo tali vettori con la applicazione lineare L : otteniamo n vettori di R^m : c₁ = L(e₁) , c₂ = L(e₂) , ... , c_n = L(e_n). Sia ora x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n un generico vettore di Rⁿ , possiamo calcolare, usando le proprietà (1) e (2) l'immagine L(x):

Formiamo ora la matrice A che ha come colonne i vettori c₁, c₂, ... , c_n di R^m. Otteniamo una matrice di m righe e n colonne che definisce quindi una applicazione lineare L_A di Rⁿ in R^m. Poichè, come abbiamo visto sopra, L_A(x) = x₁c₁ + x₂c₂ + ... + x_nc_n = L(x) per ogni x di Rⁿ abbiamo che le due trasformazioni coincidono, cioè L = L_A.

Esempio
Supponiamo di fare dei frullati usando solo tre tipi di frutta: banane, mele e pere e supponiamo che un frullatore riesca a sbucciare la frutta e a frullarla producendo in uscitala buccia da una parte e il succo dall'altra. Possiamo modellare questa situazione in termini di applicazioni lineari. Rappresentiamo la frutta che si vuole frullare con un vettore a tre componenti: x₁ è la quantità di banane, x₂ la quantità di mele e x₃ quella di pere. Misuriamo la frutta in chilogrammi. Un vettore a due componenti misura la buccia e il succo: y₁ è la quantità complessiva di bucce (misurata in chilogrammi) e y₂ la quantità di succo misurato in litri. La trasformazione della frutta in bucce e succo possiamo rappresentarla con una applicazione L di R³ in R². È ragionevole pensare che L sia lineare cioè che le bucce e il succo che si ottiene sommando due terne u e v di frutta sia la somma delle bucce e del frullato che si ottiene con la terna u e con la terna v. Ugualmente se raddoppiamo o triplichiamo o moltiplichiamo per uno scalare a i tre tipi di frutta di una terna u le bucce e il succo ottenuto sarà raddoppiato, triplicato, moltiplicato per a. Il teorema precedente ci dice che possiamo in queste ipotesi, prevedere il risultato di un qualunque frullato (quanto succo e quante bucce) eseguendo 3 soli frullati. Per fare questo basta trovare la matrice A che rappresenta l'applicazione lineare L e scrivere le equazioni della trasformazione. Seguendo la dimostrazione del teorema basta calcolare L(e₁), L(e₂), L(e₃). Per calcolare L(e₁) dobbiamo frullare 1 chilo di banane 0 chili di mele e 0 chili di pere e vedere cosa risulta. Supponiamo che risulti 0,4 di bucce e 0,6 di succo. Questi due numeri sono la prima colonna della matrice che cerchiamo. Supponiamo che per un chilo di mele risulti 0,2 di bucce e 0,8 di succo e per le pere 0,3 di bucce e 0,7 di succo. La matrice A dell'applicazione L è la matrice

Usando questa matrice possiamo dire quanto succo e quante bucce si produrranno per una qualunque quantità frutta. Infatti per una quantità x₁ di banane, x₂ de mele e x₃ di pere, si produrrà la quantità di bucce y₁ e la quantità di succo y₂ risultante dalle equazioni