con questa notazione la stringa (x₁,x₂,x₃,x₄) corrisponde al numero decimale

Possiamo dunque pensare le parole come vettori dello spazio F⁴ di dimensione 4.
Per codificare le nostre 15 parole possiamo scegliere una qualunque matrice 4x4 con la sola condizione che sia di rango 4 in modo da poterla invertire. Prediamo ad esempio la seguente matrice

Con questo codice, la parola 9, ad esempio, che si scrive come x = (1,0,0,1) si codifica nella stringa A.x cioè, eseguendo il prodotto, in y = (0,1,0,0). Questa è la striga che viene trasmessa e che può anche essere intercettata. Il destinatario del messaggio, conoscendo il codice, può decodificare la stringa ricevuta calcolando A^-1.y.
Cominciamo intanto a calcolare, una volta per tutte, l'inversa della matrice A usando l'algoritmo di Gauss e tenendo conto che nel campo F risulta sempre 1=-1.

Per produrre degli zeri nella prima colonna abbiamo sostituito la seconda riga con la somma delle prime due e la quarta con la somma della quarta con la prima. Il secondo elemento della seconda colonna è zero. Sostituiamo allora la seconda riga con la sua somma con la terza riga e facciamo operazioni elementari per produrre degli zeri sotto i pivot.

A questo punto dobbiamo produrre degli zeri sopra il pivot della quarta colonna. Per questo sostituiamo la terza riga con la sua somma con la quarta, la seconda con la sua somma con la quarta e la prima con la sua somma con la quarta.

Resta ancora da siatemare la prima riga. Per questo sostituiamo la prima riga con la sua somma con la seconda

le ultime 4 colonne della matriche che abbiamo ottenuto sono le colonne della matrice A^-1 che cercavamo

Il messaggio in codice y può essere ora decodificato moltiplicandolo per la matrice A^-1. Se y = (0,1,0,0) allora, eseguendo il prodotto, abbiamo A^-1.y = (1,0,0,1) e quindi la parola trasmessa era 2³ + 1 = 9.

Supponiamo ora che una spia, che è in grado di intercettare i messaggi trasmessi, voglia decifrarli. La spia non conosce la matrice che codifica le parole ma sa che il codice è lineare e conosce la codifica di 4 parole indipendenti. Con queste informazione è in grado di decodificare qualunque messaggio. Supponiamo ad esempio che conosca la codifica delle parole 3, 7 , 8 , 10 cioè delle tre stringhe u₁ = (0,0,1,1), u₂ = (0,1,1,1), u₃ = (1,0,0,0), u₄ = (1,0,1,0). Queste parole, usando per codificare la matrice A che abbiamo introdotto più sopra, vengono codificate con le strighe v₁ = (1,1,1,0), v₂ = (0,0,0,1), v₃ = (1,1,0,1), v₄ = (1,0,1,0). Supponiamo dunque che la spia sappia che il codice L con cui vengono trasformate le parole è lineare e sappia anche che L(u₁) = v₁, L(u₂) = v₂, L(u₃) = v₃, L(u₄) = v₄. Con queste informazioni, sapendo che u₁, u₂, u₃, u₄ sono linearmente indipendenti è possibile determinare la matrice A che descrive la trasformazione L. Sappiamo infatti che tale matrice ha come colonne i trasformati dei vettori della base canonica di F⁴. Siano e₁ = (1,0,0,0), e₂ = (0,1,0,0), e₃ = (0,0,1,0), e₄ = (0,0,0,1) i vettori della base canonica (che pensiamo come vettori colonna). Abbiamo e₁ = u₃ e quindi

e quindi la prima colonna della matrice A è (1,1,0,1). Analogamente, dato che e₂ = u₁ + u₂, abbiamo

la seconda colonna di A è allora (1,1,1,1). Poichè e₃ = u₃ + u₄

la terza colonna di A è (0,1,1,1). Poichè, infine, e₄ = u₁ + u₃ + u₄

e quindi la quarta colonna di A è (1,0,0,1). Una volta calcolata la matrice A è possibile, per la spia decodificare qualunque messaggio y venga trasmesso dato che attraverso A, come abbiamo fatto precedentemente, si può calcolare A^-1 e quindi x = A^-1y.