il vettore numerico (a₁, a₂, ... , a_n) dato dalle sue componenti. La definizione ha senso dal momento che, fissata la base, le n componenti (a₁, a₂, ... , a_n) del vettore v sono univocamente individualte. Per come sono state definite le operazioni coi vettori numerici, si vede immediatamente che l'applicazione che abbiamo definito è lineare e che il suo nucleo è nullo dal momento che il solo vettore le cui componenti siano (0,0,...,0) è il vettore nullo. Essendo i due spazi della stessa dimensione questo implica che F è un isomorfismo. l'applicazione che abbiamo definito, spesso indicata con I_B si scrive

Questo isomorfismo dipende strettamente dalla base scelta, cambiando base le componenti di uno stesso vettore cambiano e quindi cambia la n-upla che gli viene associata. Per questo l'isomorfismo è detto non canonico.
Notiamo anche che l'isomorfismo che abbiamo definito trasforma i vettori della base di V nei vettori della base canonica di Kⁿ

Questo teorema ci permette di trasferire a livello numerico, cioè nello spazio Rⁿ (o Kⁿ), lo studio di uno spazio vettoriale qualsiasi e di una qualsiasi applicazione lineare. Per fare questo occorre fissare una base che permette di identificare un vettore con le sue componenti. Se prendiamo ad esempio lo spazio dei vettori geometrici e se i, j, k è una sua base abbiamo un isomorfismo tra questo spazio ed R³ che identifica il vettore ai+bj+ck con la terna ordinate (a,b,c). Occorre tuttavia tener presente che tale identificazione dipende strettamente dalla base scelta.
Nello stesso modo possiamo descrivere una applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita con una matrice esattamente come si fa per descrivere le applicazione lineari L di Rⁿ in R^m. In quel caso la matrice che descrive l'applicazione lineare ha per colonne le componenti dei vettori L(e_i) nella base canonica di R^m. Possiamo fare la stessa cosa in generale. La differenza rispetto al caso precedente è che ora non abbiamo a disposizione una base, come la base canonica, da cui partire. In generale uno spazio vettoriale ammette infinite basi e per poter descrivere con una matrice la applicazione lineare occorre, innanzi tutto, scegliene una per il dominio e una per il codominio. Questa scelta il più delle volte non è univoca e può essere fatta in modi diversi. Per questo, in generale, parliamo di matrice associata a una data applicazione lineare rispetto a due basi fissate, una di V e l'altra di W, cambiando le basi, cambia la matrice.
Sia dunque dim V = n , B = {v₁, v₂, ... , v_n} una base di V, dim W = m , C = {w₁, w₂, ... , w_m} una base di W e sia F una data applicazione lineare di V in W. A partire da questi dati possiamo costruire, come nel caso di vettori numerici, una matrice che rappresenti la trasformazione F. Tale matrice ha m righe (quanto è la dimensione di W) e n colonne (quanto è la dimensione di V), si chiama la matrice associata a F nelle basi B e C e viene indicata col simbolo M_C,B(F) per evidenziare la sua dipendenza dalle basi scelte. Attenzione all'ordine col quale sono indicate le due basi: a sinistra la base del codominio e a destra quella del dominio. Le colonne di questa matrice si costruiscono come nel caso precedente:

• si prende il primo vettore v₁ della base B di V
• si trasforma il vettore v₁ con la trsformazione lineare F
• si esprime il vettore F(v₁) come combinazione lineare dei vettori della base C di W
  
  F(v₁) = a_1,1w₁ + a_2,1w₂ + ... + a_m,1w_m
  
• i coefficienti a_1,1 , a_2,1 , ... , a_m,1 , così calcolati vengono scritti nella prima colonna della matrice M_C,B(F)
• si itera il procedimento per gli altri vettori v₂, ... , v_n della base B costruendo nello stesso modo le altre colonne della matrice.

La matrice che abbiamo costruito descrive esattamente la applicazione lineare F nel senso che il generico vettore v di V viene trasformato da F nel vettore w = F(v) di W le cui componenti nella base C si ottengono moltiplicando per M_C,B(F) le componenti di v nella base B. In altri termini se

dove, indicando con A = M_C,B la matrice che abbiamo descritto, con x e con y i vettori colonna le cui componenti sono x_i (i=1,2,...,n) e y_j, il vettore colonna y è dato da (j=1,2,...,m),

Possiamo scrivere questo in modo più concettuale e conciso facendo intervenire il concetto di isomorfismo e il teorema di rappresentazione. La matrice A = M_C,B definisce l'applicazione lineare L_A tra gli spazi di vettori numerici Rⁿ e R^m isomorfi a V e W rispettivamente la quale, tramite le basi, rappresenta l'applicazione lineare F di partenza. Queste due trasformazioni lineari sono essenzialmente le stesse, in modo che per studiare F, possiamo usare A, che la rappresenta isomorficamente, e che, essendo una matrice numerica può essere trattata in modo algoritmico. Il seguente diagramma sintetizza questo complicata rappresentazione di una applicazione lineare

Se prendiamo un qualunque vettore v di V e lo trsformiamo prima con F e poi con I_C troviamo lo stesso vettore di K^m ottenuto trasformandolo prima con I_B e poi con L_A. Infatti se v è un generico vettore di V, I_B(v)=x dove x è il vettore formato dalle componenti di v nella base B. Applicando ora L_A abbiamo

Osserviamo che l'immagine di F è un sottospazio di W che si trasforma tramite I_C , per ragioni insiemistiche, nell'immagine di L_A e questi due sottospazi, essendo I_C un isomorfismo, sono isomorfi. Ne segue, dato che l'immagine di L_A è generata dalle colonne di A, che

e il calcolo del nucleo di F si esegue calcolando le soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0 e trasferendo, con l'isomorfismo inverso di I_B, le soluzioni in V. Ugualmente il calcolo delle fibre F^-1(w) si esegue risolvendo il sistema lineare non omogeneo A.x=b (b è formato dalle componenti di w nella base C) e trasferendo, come per il nucleo, con l'isomorfismo inverso di I_B, le soluzioni in V.
In questo modo abbiamo visto come, lavorando con la matrice A associata all'applicazione lineare F, sia possibile calcolare il nucleo, l'immagine e le fibre di F. La cosa interessante è che la matrice A dipende dalla scelta delle due basi e scegliendo opportunamente la basi può essere più o meno complicata. In questo ordine di idee, come abbiamo rappresentato un qualunque spazio vettoriale di dimensione finita con uno spazio di vettori numerici, nello stesso modo possiamo rappresentare ogni applicazione lineare con una proiezione. Una proiezione di Rⁿ in R^m è una applicazione

P_r : Rⁿ ------> R^m
F((x₁,x₂,...,x_n)) =(x₁,x₂,...,x_r,0,...,0)
dove 0 r m

è anche inteso che r n e che il numero degli zeri è m-r. Tale trasformazione proeitta il vettore numerico (x₁,x₂,...,x_n) sulle sue prime h componenti. Il teorema sulla rappresentazione delle applicazioni lineari afferma che ogni applicazione lineare si può rappresentare con una proiezione. Precisamente

Teorema (di rappreswentazione per le applicazione lineari)
Sia F : V ------> W una applicazione lineare tra spazi vettoriali su R di dimensione finita. E sia n= dim V, m= dim W e r= dim Im F. Esiste allora una base B di V e una base C di W tale che

Ciò significa che, a patto di scegliere opportunamente le basi per rappresentare con una matrice il morfismo, possiamo sempre supporre che il morfismo sia una proiezione. Questo giustifica le 4 immagini con le quali abbiamo descritto i possibili morfismi tra spazi vettoriali: