Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

UNIVERSITÀ DI ROMA “TOR VERGATA” — FACOLTÀ DI INGEGNERIA

Corso di Ingegneria Online, A.A.2016–2017 Analisi Matematica II (gestionale)— Prova scritta del 04.02.2017

svolgere tutti gli esercizi (tempo 180 minuti)

1) Si consideri la funzione f(x, y) = x^{2}y^{2} − 3x^{2}y + 2x^{2} − y^{2} + 3y − 2

1.1) Si individuino i punti critici. Successivamente se ne stabilisca la natura.

1.2) Si trovino massimo e minimo assoluti della funzione all’interno del quadrato di centro l’origine e lato 3 (lati compresi).

1.3) Si dica se esiste e quanto vale lim_{{∥\underline{x}∥→∞ \atop 1+ \frac{1}{y^{3}} ≤x≤1+ \frac{2}{y^{3}}}} f(x, y)

1.4) Si dica se esiste e quanto vale lim_{∥\underline{x}∥→∞} f(x, y)

Soluzioni I punti 1.1) e 1.2) sono assolutamente standard e la soluzione si può trovare in uno dei compiti dati in precedenza.

1.3) Sia y → 0^{+}. Dalla relazione 1 + \frac{1}{y^{3}} ≤ x ≤ 1 + \frac{2}{y^{3}} segue che x → +∞. Chiaramente

−y^{2} + 3y − 2 → −2.

x^{2}y^{2} − 3x^{2}y + 2x^{2} = x^{2}(y^{2} − 3y + 2) → +∞

per cui

lim_{{∥\underline{x}∥→∞ \atop y>0 1+ \frac{1}{y^{3}} ≤x≤1+ \frac{2}{y^{3}}}} f(x, y) = +∞

La stessa cosa accade se y → 0^{−} da cui

lim_{{∥\underline{x}∥→∞ \atop 1+ \frac{1}{y^{3}} ≤x≤1+ \frac{2}{y^{3}}}} f(x, y) = +∞

Ora vediamo y → +∞ e quindi x → 1^{+}.

x^{2}y^{2} − 3x^{2}y + 2x^{2} − y^{2} + 3y − 2 = (x^{2} − 1)(y^{2} − 3y) + 2x^{2} − 2

e

\frac{2}{y^{3}} + \frac{1}{y^{6}} ≤ x^{2} − 1 ≤ \frac{4}{y^{3}} + \frac{4}{y^{6}} ⟹ (x^{2} − 1)(y^{2} − 3y) → 0

da cui (x^{2} − 1)(y^{2} − 3y) + 2x^{2} − 2 → 0. Ciò è sufficiente per dimostrare che il limite richiesto nel punto 1.3) non esiste.

1.4) Se non esiste il limite in 1.3) non esiste neanche ora.

2) Sia S la superficie definita da \{\underline{x} ∈ R^{3}: \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1, 0 ≤ z ≤ xy, \underline{y ≥ 0}\}. Se ne calcoli l’area.

Soluzioni Si veda qui http://www.mat.uniroma2.it/ perfetti/didattica/frontale-analisi-II-informatica-AA-15-16-6cfu.html il compito del 22/6/2016 con le ovvie modifiche dovute al fatto che ora y ≥ 0.

Oppure si può parametrizzare il cilindro e procedere. Si ottiene lo stesso integrale. m

3) Sia data la funzione F (x, y, z) = ln(1 + x^{2}) + ln(1 + y^{2}) + ln(1 + z^{2}) + z^{2} + x + y^{2}.

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”, facoltà di Ingegneria

3.1) Applicando il “Teorema delle funzioni implicite”, dimostrare che la relazione F (x, y, z) = 0 definisce nell’intorno del punto \underline{x} = (0, 0, 0) una funzione x = f(y, z). [Quindi esiste una sfera B\underline{0}(r) = \{\underline{x} ∈ R^{2}: ∥\underline{x}∥ < r, \underline{x} = (y, z)\} tale che F (f(y, z), y, z) = 0 per ogni (y, z) ∈ B\underline{0}(r). Il valore di r non è importante]. 3.2) Dimostrare che (0, 0) è un punto critico per f(y, z) e determinarne la natura. Soluzioni Si veda qui. http://www.mat.uniroma2.it/ perfetti/didattica/gestionale-analisiII-14-15.html (testo del 21/2/2015) Le funzioni sono diverse ma la sostanza è la stessa.

4) Sia data la successione di funzioni f_{n}(x) = |x|^{\sqrt{n}}e^{−|x|^{n}}. i) Si trovi l’insieme di convergenza puntuale in (−∞, +∞) e si dica quanto vale lim_{n→+∞} f_{n}(x) ii) si dica se la convergenza è uniforme in ognuno dei seguenti quattro insiemi: 1) [−a, a] 0 < a < 1, 2) [−1, 1], 3) (−1, 1) 4) [1, +∞) iii) (1, +∞) iv) [a, +∞) a > 1, v) si dica quanto vale lim_{n→+∞} ∫_{2}^{3} f_{n}(x)dx, vi) si dica quanto

vale lim_{n→+∞} ∫_{−1}^{1} f_{n}(x)dx, vii) si dica quanto vale lim_{n→+∞} ∫_{1}^{+∞} f_{n}(x)dx, Le affermazioni vanno adeguatamente dimostrate

Soluzione Se x = 0 f_{n}(x) = 0 per ogni n. Sia |x| = 1. f_{n}(x) = e^{−1} per ogni n. Sia |x| ≠ 0 e |x| ≠ 1.

|x|^{\sqrt{n}}e^{−|x|^{n}} = e^{\sqrt{n} ln |x|−|x|^{n},}

Se |x| < 1 \sqrt{n} ln |x| − |x|^{n}, ⟶_{n→+∞} − ∞ − 0 = −∞ per cui f_{n} → 0.

Se |x| > 1 si ha \sqrt{n} ln |x| − |x|^{n} = |x|^{n}(\frac{\sqrt{n} ln |x|}{|x|^{n}} − 1)⟶_{n→+∞} + ∞ · (0 − 1) = −∞ e quindi

f_{n}(x) → 0. La funzione limite quindi vale 0 per x ∈ R\{−1, 1} e vale 1/e per x = ±1. Già da ora si capisce che la convergenza non può essere uniforme in nessun intervallo del tipo [a, b] che abbia ±1 al suo interno oppure ad uno dei due punti del bordo

1) Possiamo scrivere 0 ≤ f_{n}(x) ≤ |x|^{\sqrt{n}} ≤ a^{\sqrt{n}} e quindi, avendo maggiorato con una funzione che non dipende da x e che tende a zero per n → +∞, possiamo applicare la definizione di convergenza uniforme.

2) Per quanto detto prima no.

3) No. Se la convergenza fosse uniforme, aggiungendo i due punti ±1 lo diventerebbe anche in [−1, 1] ma questo sappiamo è impossibile.

4) e iii) No per le stesse ragioni iv) Si. Prendiamo la funzione f(t) = t^{\sqrt{n}}e^{−t^{n}}.

f′(t) = \sqrt{n}t^{\sqrt{n}−1}e^{−t^{n}}+t^{\sqrt{n}}(−nt^{n−1})e^{−t^{n}} = \sqrt{n}t^{\sqrt{n}−1}e^{−t^{n}} (1 − \sqrt{n}t^{n}) ≥ 0 ⟺ t ≤ n^{−1/(2n)} → 1

Ne segue che, qualunque sia a > 1, nell’intervallo [a, +∞), la funzione f_{n}(x) è decrescente per cui

f_{n}(x) ≤ f_{n}(a) = a^{\sqrt{n}}e^{−a^{n}} → 0

e quindi la convergenza è uniforme.

7/febbraio/2017; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 2 v) Nell’intervallo [2, 3] la convergenza è uniforme e quindi

lim_{n→+∞} ∫_{2}^{3} f_{n}(x)dx = ∫_{2}^{3} lim_{n→+∞} f_{n}(x)dx = ∫_{2}^{3} 0 · dx = 0

vi) Non possiamo replicare il discorso in quanto in [−1, 1,] la successione non converge uniformemente. Scriviamo

∫_{−1}^{1} f_{n}(x)dx = 2 ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx

∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx = ∫_{0}^{1−δ_{n}} f_{n}(x)dx + ∫_{1−δ_{n}}^{1} f_{n}(x)dx

con δ_{n} → 0 da scegliere.

0 < ∫_{1−δ_{n}}^{1} f_{n}(x)dx ≤ (1 − 1 + δ_{n}) max_{1−δ_{n}≤x≤1} f_{n}(x) = δ_{n} \frac{1}{e} → 0

Ora scegliamo δ_{n} = n^{−n/4} ed otteniamo

\begin{matrix}0 < ∫_{0}^{1−δ_{n}} f_{n}(x)dx ≤ (1 − δ_{n}) max_{0≤x≤1−δ_{n}} f_{n}(x) = (1 − δ_{n})(1 − δ_{n})^{\sqrt{n}}e^{−(1−δ_{n})^{n}} ≤ \\ ≤ (1 − δ_{n})e^{\sqrt{n} ln(1− \frac{1}{n^{1/4}} )−(1− \frac{1}{n^{1/4}} )^{n}} ≤ e^{\sqrt{n} ln(1− \frac{1}{n^{1/4}} )} → 0 \end{matrix}

vii) Anche qui non si può passare al limite sotto il segno di integrale per due ragioni: 1) la successione non converge uniformemente in [1, +∞) 2) l’intervallo di integrazione è illimitato.

∫_{1}^{+∞} f_{n}(x)dx = ∫_{1}^{2}, f_{n}(x)dx + ∫_{2}^{+∞} f_{n}(x)dx

Il primo integrale tende a zero come il precedente. Ne secondo cambiamo variabile ed otteniamo t^{n} = y

∫_{2^{n}}^{+∞} e^{−y}y^{\frac{1}{n} −1+ \frac{\sqrt{n}}{n}} dy ≤ ∫_{2^{n}}^{+∞} e^{−y}dy = e^{−2^{n}} → 0

Punteggi 9, 6, 7.5, 7.5