Programma di massima (da confermare)    


Argomenti 1)-7) testo: Marcellini-Sbordone, "Elementi di analisi Matematica due, versione semplificata per i nuovi corsi di laurea" Liguori editore. 


Esercizi: Marcellini-Sbordone, "Esercizi di matematica" vol.I tomo3, vol.II tomi 1,2,4



1) Serie numeriche

2) Topologia in spazi a piu' dimensioni 

3) Funzioni di piu' variabili (limiti, continuita', derivabilita', differenziabilita', massimi e minimi liberi e vincolati, teorema delle funzioni implicite)

4) Integrali multidimensionali.

5) Definizione di curva; curve regolari, semplici, chiuse. Defizione di curve equivalenti.
Lunghezza di una curva; integrali curvilinei di prima specie (o rispetto alla lunghezza   
d'arco) e applicazioni (calcolo di masse, baricentri, cariche elettriche).

6) Campi vettoriali. Forme differenziali. Integrazione di forme differenziali. Forme esatte,
chiuse. Insiemi connessi e semplicemente connessi nel piano e nello spazio.
Definizione di potenziale.

 
7) Superfici. Definizione di superficie. Area di una superficie.  Integrali di superficie.

Lemma di Gauss-Green, Teorema di Gauss. Teorema di Stokes

 
Argomenti 8)-15) testo da scegliere


8) funzioni complesse, definizione di funzione analitica,


9) Integrazione di funzioni complesse, integrali curvilinei nel piano complesso, integrale
di una funzione olomorfa, formula integrale di Cauchy, definizione di
primitiva di funzioni complesse.

10) Serie di Taylor di funzioni olomorfe. Definizione di raggio di convergenza e sue proprietà.
Legame della serie di Taylor con
la formula integrale di Cauchy. Serie di Taylor di funzioni elementari
(sin(z), cos(z), 1/(1+z), 1/(1-z), exp(z)
ln (1+z)). Serie di Taylor della
composizione delle funzioni elementari con funzioni semplici; ad esempio serie di exp(z^2)
e via dicendo).

11) Serie di Laurent e applicazioni a funzioni elementari
Sviluppo in serie di Laurent della funzione f(z) = 1/(z+3)(z-i) centrato in un qualsiasi punto

12) Il punto all'infinito. Serie di Laurent di funzioni centrato nel punto all'infinito

13) Teorema dei residui. Applicazioni agli integrali di variabili
complesse.

14) Integrali reali risolvibili con il metodo dei residui.

integrale fra 0 e 2pi del rapporto di due polinomi
P(sin(theta),cos(theta))/Q(sin(theta),cos(theta))

integrale fra 0 e +infinito di una funzione pari di x

integrale fra 0 e +infinito della funzione x^a f(x) con a numero razionale

integrale fra 0 e +infinito di una funzione f(x) non necessariamente pari 

integrale fra 0 e +infinito di una funzione del tipo (ln x)^n f(x) con f(x) pari.

15) Definizione di trasformata di Laplace e di antitrasformata.  





Gli argomenti qui sotto verranno svolti se avanzera' del tempo (da quest'anno l'esame consta di nove crediti anziché 10)



Serie di Fourier: definizione di serie di Fourier, definizione di convergenza puntuale, assoluta, uniforme, in media 
quadratica. Teorema di convergenza puntuale per funzioni, periodiche, continue a tratti, che in ogni punto soddisfano
una delle condizioni di Dini. Teorema di convergenza puntuale per funzioni illimitate ma aventi integrale improprio
convergente. Teorema di convergenza uniforme

Questa parte
si può trovare sul libro
C.D.Pagani, S.Salsa "Analisi Matematica 2" Masson Editore e sul G.C.Barozzi "Matematica per l'ingegneria
dell'informazione" Zanichelli editore


Equazione delle onde in una dimensione omogenea (u)_tt - c^2 u_xx = f(x,t) con 0 < x < l.
Teorema di unicità (da pag. 50 a pag.52 prime quattro righe del materiale didattico)
per condizioni al bordo del tipo u(x,0)= g(t), u_t(x,0)=h(t).


Teorema di esistenza per condizioni al bordo generiche (omogenee e non omogenne)
tramite la separazione delle variabili. Sovrapposizione di onde stazionarie e
loro significato fisico. Condizione di convergenza della soluzione u(x,t) e delle sue derivate u_t e u_(xx)
per funzione iniziale u(x,0) avente
derivata terza continua a tratti e u_t(x,0) con derivata seconda continua a tratti. Si vedano le pagine 86-99 del
materiale riguardante questo argomento.