Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

§10 Appendice 2: Spazi metrici completi e Teoremi di Baire (Renè

Louis, Parigi 1874 – Chambéry 1932) con qualche applicazione (non Banach–Steinhaus)

§10.1 Spazi metrici completi

Per la definizione di spazio metrico completo si può guardare pag.180 del libro di testo.

Esempi

• l’intervallo [a, b] ⊂ R −∞ ≤ a < b ≤ +∞ con distanza d(x, y) = |x − y|.

La completezza dello spazio metrico X =^{def}([a, b]; d) è diretta conseguenza della proprietà dell’estremo superiore e la dimostrazione è data nell’esercizio 24.3*.

• L’insieme (N, d), d(k, n) = |k − n|. Gli intervalli aperti sono costituiti dagli insiemi B(n, r) = {k ∈ N : |k − n| < r} e se r < 1 si ha B(n; r) = n chiaramente. Tale insieme è completo. Infatti le successioni di Cauchy sono date dalle successioni definitivamente uguali ad un certo valore intero. Dette successioni convergono e quindi (N, d) è completo.

• Si consideri la retta reale con la metrica d(x, y) = | arctan x − arctan y|. Dopo avere facilmente verificato che è effettivamente una metrica, si dica se R è completo con essa. R.: No. La successione {n} è di Cauchy ma non converge a nessun punto di R.

• Sia K un sottoinsieme compatto di R e sia A =^{def}C(K; R) l’insieme delle funzioni reali continue definite su K. Sia X =^{def}(A; d) dove d(f, g) = max_{x∈K} |f(x) − g(x)|. Si può verificare che d(f, g) è una metrica. Si ha la Proposizione X è completo ^{(1.10.1)} Dimostrazione Supponiamo di avere una successione {f_{n}} dove f_{n} ∈ A e tale che ∀ ε > 0 ∃ k_{ε} ∈ N : j ≥ k_{ε} ∈ N, i ≥ k_{ε} ∈ N, ⟹ ∥f_{i} − f_{j}∥ < ε ossia la successione è di Cauchy. Vogliamo far vedere che converge ad una funzione f ∈ C(K; R) da trovare. Dobbiamo in altre parole far vedere che esiste una funzione f continua su K tale che ∀ ε > 0 ∃ n_{ε} ∈ N : n ≥ n_{ε} ⟹ ∥f_{n} − f∥ < ε. La parte pregnante della dimostrazione è proprio quest’ultima in quanto essa implica che la successione f_{n} converge uniformemente ad f e quindi quest’ultima è una funzione continua.

Il primo passo consiste nel trovare la funzione f. Dato x_{o} ∈ K consideriamo la successione numerica {f_{n}(x_{o})}; essendo |f_{i}(x_{o}) − f_{j}(x_{o})| ≤ ∥f_{i} − f_{j}∥ segue che essa è di Cauchy in R. Sapendo che R è completo la successione {f_{i}(x_{o})} converge ad un limite l_{x_{o}}. Naturalmente il discorso vale per ogni punto di K e quindi possiamo definire una funzione f(x) =^{def} lim_{n→+∞} f_{n}(x). Il cuore della dimostrazione è ora far vedere che f è continua su K da cui la convergenza ad un elemento di X.

sup_{K} |f_{n}(x) − f(x)| = sup_{K} |f_{n}(x) − lim_{m→+∞} f_{m}(x)| = sup_{K} lim_{m→+∞} |f_{n}(x) − f_{m}(x)| ≤ lim sup_{m→+∞} sup_{K} |f_{n}(x) − f_{m}(x)| ≤ sup_{m≥k_{ε}} sup_{K} |f_{n}(x) − f_{m}(x)| ≤ sup_{m≥k_{ε}} ε = ε ossia ∥f_{n} − f∥ → 0 per n → +∞^{(2.10.1)} Volendo si può ragionare anche nel seguente modo: dobbiamo dimostrare che per ogni x_{o} ∈ K si ha ∀ \overline{ε} > 0 ∃ \overline{δ}_{\overline{ε},x_{o}} : |x − x_{o}| < \overline{δ}_{\overline{ε},x_{o}} ⟹ |f(x) − f(x_{o})| < \overline{ε}. f(x) − f(x_{o}) = (f(x) − f_{n}(x)) + (f_{n}(x) − f_{n}(x_{o})) + (f_{n}(x_{o}) − f(x_{o})) dove n ≥ k_{ε}; sappiamo che ∀ ε′ > 0 ∃ δ_{ε′,n} : |x − x_{o}| < δ_{ε′,n} ⟹ |f_{n}(x) − f_{n}(x_{o})| < ε′ Ora dato \overline{ε} > 0 prendiamo ε e ε′ tale che 2ε + ε′ < \overline{ε} e conseguentemente per |x − x_{o}| < δ_{ε′,n} si ha |f(x) − f(x_{o})| < \overline{ε}. Notare che si può prendere δ_{ε′,n} indipendente da x_{o} in quanto K è compatto e quindi le funzioni sono uniformemente continue. Conseguentemente anche δ_{\overline{ε},n} non dipende da x_{o}.

(1.10.1) Si può verificare che è anche uno spazio normato ossia la funzione F:A×A→R, F (f,g) =^{def}d(f,g) definisce una

norma nello spazio A. In ragione di ciò indichiamo d(f,g) =^{def}∥f−g∥.

(2.10.1) Notare che non si è autorizzati a scrivere max in quanto, non sapendo ancora che f è continua, non sappiamo se

essa ammette un massimo nell’insieme K.

La compattezza del dominio entra esclusivamente nel fatto che date due funzioni continue qualsiasi f e g si ha ∥f − g∥ < ∞. Non così sarebbe nel caso di un insieme aperto. Ad esempio se il dominio fosse (0, 1) e considerassimo di nuovo l’insieme delle funzioni continue su di esso, potremmo prendere come f la funzione identicamente nulla e come g(x) = \frac{1}{x} per cui avremmo ∥f − g∥ = +∞. Se però si prende un insieme aperto e come spazio di funzioni su esso l’insieme delle funzioni limitate allora il teorema di completezza appena dimostrato continuerebbe a valere.

• Come esempio di spazio metrico non completo, consideriamo l’insieme numerabile Q ∩ [0, 1] e lo spazio metrico (Q, d), d(r, s) = |r − s|. Ad esempio la successione \{(1 + \frac{1}{n})^{n}\}_{n=1}^{∞} è di Cauchy ed i suoi elementi appartengono tutti a Q ma non converge in Q.

• Alla luce delle considerazioni precedenti cosa si può dire dello spazio metrico (N\{0}, d) d(k, n) = \frac{|k−n|}{kn}?

Dopo aver verificato che d è effettivamente una metrica, se ne conclude che lo spazio non è completo. Infatti la successione {n} è di Cauchy ma non converge a nessun elemento di N.

Definizioni

1) Se un insieme si può scrivere come unione numerabile di insiemi chiusi allora allora si dice che è un “F_{σ}”. Ad esempio Disc(f), l’insieme descritto nell’esercizio 4.5***, è un F_{σ}.

2) Se invece può scriversi come intersezione di aperti allora si dice che è un “G_{δ}” e chiaramente Cont(f) è un G_{δ}

3) Uno spazio metrico di prima categoria è uno spazio che può scriversi come unione numerabile di insiemi ciascuno dei quali è non denso in alcun punto ossia se (X; d) è lo spazio metrico allora

X = ∪_{k=1}^{∞}F_{k} e F^{—}^{o}_{k} = ∅. Ad esempio Q è di prima categoria. Qualsiasi insieme numerabile i cui elementi sono dati da singoli punti, è di prima categoria. Dimostreremo ad esempio (vedi il Teorema 3.10.1) che l’insieme dei punti di discontinuità della derivata di una qualsiasi funzione, insieme che verrà descritto come Disc(f′), è un F_{σ} e di prima categoria.

4) Uno spazio metrico di seconda categoria è uno spazio metrico che non può essere scritto come unione numerabile di insiemi non densi in alcun punto (ossia non è di prima categoria)

5) Un insieme è detto residuale se contiene l’intersezione numerabile di aperti densi.

6) Sia dato un insieme A ⊂ B. Diremo che A è ovunque denso in B se \overline{A} = B che è come dire che A è denso in ogni punto di B

• Ad esempio l’insieme degli irrazionali di R è un insieme residuale. Infatti dato Q, definiamo

A_{r} =^{def}R\\{r\} e quindi ∩_{r∈Q}A_{r} = R\Q. Del resto si ha \overline{A}_{r} = R e A_{r}^{o}= A_{r} ossia gli A_{r} sono aperti e densi da cui la tesi.

• Un intervallo chiuso [a, b] è un F_{σ} essendo lui stesso chiuso ed è anche un G_{δ} essendo uguale all’intersezione di intervalli aperti che lo contengono al loro interno. Non è un insieme di prima categoria

• Un intervallo aperto (a, b) è un G_{δ} ed un F_{σ} in quanto è uguale all’unione di intervalli aperti contenuti in (a, b). Anche in questo caso non è di prima categoria.

• L’insieme dei razionali Q è un F_{σ} e di prima categoria in quanto lo si può scrivere come Q = ∪_{{r}}{r} e ciascun punto è contemporaneamente un insieme chiuso e non denso in alcun punto. D’altro canto Q, preso tutto assieme è denso ossia \overline{Q} = R.

• L’insieme di Cantor F (ternario o no) le cui proprietà salienti sono state enunciate nella

Appendice 1, è di prima categoria. Inoltre la sua funzione caratteristica X_{F} (x) = \{ \begin{matrix}1 x ∈ F \\ 0 x ∈ F^{c} \end{matrix}

è continua su F^{c} e discontinua su F (questo è in accordo con l’esercizio 4.5***).

• Chiaramente Q non è intersezione di chiusi. Se lo fosse allora Q = ⋂_{k=1}^{+∞} O_{k} (O_{k} aperto) e quindi

Q^{c} = ⋃_{k=1}^{+∞} O_{k}^{c} con O_{k}^{c} chiuso e quindi Q^{c} sarebbe un F_{σ} ma questo è impossibile.

• Un insieme residuale in uno spazio metrico completo è non–numerabile. Teorema 1.10.1 È ovunque denso il complementare di un sottoinsieme di uno spazio metrico non denso in alcun punto Dimostrazione L’ipotesi è quella di avere un sottoinsieme U di uno spazio metrico che è non

denso in alcun punto. Se U ⊂ X e \overline{U}^{o} = ∅ allora \overline{X\U} = X\U^{o} ⊃ X\\overline{U}^{o} = X da cui la tesi.

• È vero il teorema inverso al precedente? Ossia Supponiamo di avere un sottoinsieme U di uno spazio metrico X tale che \overline{U} = X. È vero che U^{c} è non denso in alcun punto? La risposta è in generale no. Si prenda ad esempio X = R e U = Q. Allora U^{c} = R\Q (gli irrazionali). Ma

\overline{R\Q}^{o} ≠ ∅ ed anzi \overline{R\Q}^{o} = R. Se però U = U^{o} ossia U è aperto allora U^{c} è chiuso (U^{c} = \overline{U^{c}}) ed

essendo U^{c}^{o} = ∅ si ha \overline{U^{c}}^{o} = ∅ per cui è non denso in alcun punto. Meno evidente è il seguente Teorema Teorema 2.10.1 Il complementare di un insieme di prima categoria in uno spazio metrico completo è ovunque denso Dimostrazione Sia X il nostro spazio metrico completo e supponiamo che U ⊂ X possa scriversi

come U = ∪_{k=1}^{∞}U_{k} dove \overline{U}_{k}^{o} = ∅ (si pensi ad esempio ad X = [0, 1] con distanza d(x, y) = |x−y|) e U l’unione di tutti i razionali). Vogliamo mostrare che U^{c} = ∩_{k=1}^{∞}U_{k}^{c} è denso in X ossia \overline{U^{c}} = X. Prendiamo un punto p ∈ X; vogliamo costruire una successione {p_{k}} di punti di U^{c} tale che lim_{k→∞} = p. Prendiamo per questo una successione di sfere aperte B(p; r_{i}) ≐ B_{i} di centro p e raggio r_{i} → 0 per i → ∞. Per definizione di insieme non denso, per ogni B_{i} esiste una sfera aperta W_{1}^{(i)} ⊂ B_{i} tale che W_{1}^{(i)} ∩ U_{1} = ∅ e quindi W_{1}^{(i)} ⊂ U_{1}^{c}. Sia p_{1}^{(i)} ∈ W_{1}^{(i)} un punto. Dato un insieme aperto A_{2}^{(i)} contenente p_{1}^{(i)} si può trovare in esse una sfera aperta W_{2}^{(i)} tale che W_{2}^{(i)} ⊂ U_{2}^{c}. Sia p_{2}^{(i)} ∈ W_{2}^{(i)}. Chiaramente p_{2}^{(i)} ∈ U_{1}^{c} ∩ U_{2}^{c} per costruzione. Proseguendo così si ottiene una successione di Cauchy {p_{k}^{(i)}} ed essendo lo spazio completo si ha p_{k}^{(i)} → p^{(i)} per k → +∞. Inoltre abbiamo l’inclusione p_{k}^{(i)} ∈ ∩_{j=1}^{k}W_{j}^{(i)} e p^{(i)} ∈ ∩_{k=1}^{∞}W_{k}^{(i)} ⊂ U^{c}. Essendo le sfere B(p; r_{i}) di raggio tendente a zero la successione \{p^{(i)}\} tende a p e quindi p ∈ \overline{∩_{k=1}^{∞}U_{k}^{c}} come dovevamo dimostrare.

Tre corollari della definizione di spazio completo sono i seguenti Corollario 1.10.1 Un insieme residuale in uno spazio metrico completo è ovunque denso Dimostrazione Sia X lo spazio metrico in questione e sia B ⊃ (∩_{i=1}^{∞}O_{i}) dove {O_{i}} una famiglia

numerabile di aperti densi ossia O_{i} =O_{i}^{o}, e \overline{O}_{i} = X (e quindi O_{i}^{c}^{o}=\overline{O}_{i}^{c}^{o}= ∅). Abbiamo X = B ∪ B^{c} ⊃ (∩_{i=1}^{∞}O_{i}) ∪ B^{c}. Inoltre B^{c} ⊂ (∪_{i=1}^{∞}O_{i}^{c}) per cui è di prima categoria. Dal Teorema 2.10.1 \overline{B} = X in quanto B è il complementare di un insieme di prima categoria in uno spazio completo.

Corollario 2.10.1 Il complementare di un insieme residuale in uno spazio metrico completo è di prima categoria Dimostrazione Sia X lo spazio completo e sia B l’insieme residuale ossia B ⊃ ∩_{i=1}^{∞}O_{i} dove

O_{i} =O_{i}^{o}, \overline{O}_{i} = X. X\B ⊂ X\ ∩_{i=1}^{∞} O_{i} = ∪_{i=1}^{∞}O_{i}^{c} = ∪_{i=1}^{∞}\overline{O_{i}^{c}} e \overline{O}_{i}^{c}^{o}= ∅ per cui B^{c} è un sottoinsieme

di un insieme di prima categoria e quindi è di prima categoria. Corollario 3.10.1 Sia data una qualsiasi funzione f: X → R dove X è uno spazio metrico completo. Allora Disc(f) (che sappiamo già essere un F_{σ}) è un insieme di prima categoria se e solo se il complementare è ovunque denso.

Dimostrazione Se Disc(f) è di prima categoria allora il complementare in X che è completo è ovunque denso (come dice il Teorema 2.10.1). Supponiamo ora che Cont(f) è ovunque denso

ed indichiamo con M =^{def}Disc(f). Allora ∅ =(X\M^{c})^{o}=M^{o}=(∪_{j=1}^{∞}F_{j})^{o}⊃F_{k}^{o}=\overline{F}_{k}^{o} e questo per ogni k da cui il fatto che M è di prima categoria. Un altro bel risultato è fornito dal seguente Teorema (vedi [N] pp.128–156, [K] pag.395, [Y] pag.12–13, [O] Teorema 7.3; la dimostrazione in [Y] è fatta per funzioni reali definite su di uno spazio topologico generico. Yosida chiama questo “secondo Teorema di Baire” laddove il primo è per lui una versione adattata a spazi tolpologici generici del Teorema 2.10.1.) Teorema 3.10.1 Sia {f_{n}} una successione di funzioni continue su di uno spazio metrico X che converge puntualmente ad una funzione f. Allora Disc (f) è un insieme di prima categoria

Osservazione i) Ne consegue che se X è completo, i punti di continuità della funzione limite costituisce un insieme G_{δ} denso in virtù del precedente teorema. Le funzioni continue su di uno spazio completo sono dette appartenere alla classe di Baire 0. I limiti puntuali di funzioni continue sono dette appartenere alla classe di Baire 1.

Dimostrazione Sia f_{n}(x) → f(x) puntualmente per x ∈ X e f_{n} ∈ C(X; R). Ciò vuol dire che ∀ ε > 0 ∃ n_{ε,x}: n ≥ n_{ε,x} ⇒ |f_{n}(x) − f(x)| < ε. Certamente la funzione f(x) può essere discontinua. Si prenda X = [0, 1] e f_{n}(x) = x^{n}; è chiaro che se la convergenza fosse uniforme ossia n_{ε} senza x allora f(x) sarebbe continua. Con un pò di riflessione si ha che Disc(f) =

∪_{k=1}^{∞} ∪_{j=k}^{∞} ∩_{n=1}^{∞}E_{n,j} =^{def} ∪_{k=1}^{∞} A_{k} e E_{n,j} =^{def}\{x ∈ X: ∃ y ∈ (x − \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}), ∃ p_{x,y,n}^{o}: m ≥ p_{x,y,n}^{o}, p ≥

p_{x,y,n}^{o} ⇒ |f_{m}(x) − f_{p}(y)| ≥ \frac{1}{j}\} Come prima cosa facciamo vedere che A_{k} = \overline{A}_{k} in quanto Disc(f) = F_{σ}. Dunque la ipotesi ora è che x^{(r)} → x r = 1, 2, 3, … dove x^{(r)} ∈ A_{k}. Vogliamo far vedere che x ∈ A_{k}. Supponiamo allora che x ∉ A_{k} e quindi x ∈ ∩_{j=k}^{∞} ∪_{n=1}^{∞} E_{n,j} e quindi ∀ j′ ≥ k ∃ n_{o} ≥ 1: ∀ \overline{y} ∈ (x − \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}), ∀ \overline{p}_{o} ≥ 1 ∃ m_{\overline{p}_{o},n_{o},\overline{y}} p_{\overline{p}_{o},n_{o},\overline{y}}: |f_{m_{\overline{p}_{o},no,\overline{y}}}(x) − f_{p_{\overline{p}_{o},no,\overline{y}}}(\overline{y})| < \frac{1}{j′} . Sia dato ora n_{o} e

I_{n_{o}} =^{def}(x − \frac{1}{n_{o}} , x + \frac{1}{n_{o}}). x^{(r_{no})} ∈ I_{n_{o}} e sia n_{x_{rn_{o}}} tale che (x_{r_{no}} − _{\frac{1}{n_{xr_{no}}}} , x_{r_{no}} + _{\frac{1}{n_{xr_{no}}}} ) ⊂ I_{n_{o}}. Sia

y_{x_{rn_{o}}} ∈ (x_{r_{no}} − _{\frac{1}{n_{xr_{no}}}} , x_{r_{no}} + _{\frac{1}{n_{xr_{no}}}} ) tale che |f_{m}(x_{r_{no}}) − f_{p}(y_{x_{rn_{o}}})| ≥ \frac{1}{j} e questo per qualsiasi p

ed m abbastanza grandi. Ora |f_{m}(x_{r_{no}})−f_{p}(y_{x_{rn_{o}}})| ≤ |f_{m}(x_{r_{no}})−f\overline{m}(x)|+|f\overline{m}(x)−f_{p}(y_{x_{rn_{o}}})|. Se ora prendiamo: 1) due interi m e p tali che m ≥ p_{x_{rn_{o}} ,y_{xr_{no}} ,n_{xr_{no}} ,}^{o} e p ≥ p_{x_{rn_{o}} ,y_{xr_{no}} ,n_{xr_{no}} ,}^{o},

2) \overline{p}_{o} ≥ p_{o}, 3) j′ = \frac{1}{4j} cadiamo in contraddizione in quanto dovremmo avere \frac{1}{j} ≤ \frac{1}{2j} . Dunque dalla contraddizione si esce dicendo che x ∈ A_{k}. Come si sarà notato non si è usato il fatto che f_{n} ∈ C(X; R). Infatti ciò che abbiamo dimostrato è che Disc(f) = F_{σ}; fatto questo vero indipendentemente dall’essere f limite o no di funzione più o meno continue.

Ora dobbiamo dimostrare che Disc(f) è di prima categoria e quindi A^{o}_{k}= ∅. Anche qui sup-

poniamo che A^{o}_{k}≠ ∅ e quindi esiste x ∈ A_{k} ed un intorno aperto tale A_{k} ⊃ U ∋ x. Esiste quindi y ∈ U tale che |f_{m}(x) − f_{p}(y)| ≥ \frac{1}{j} per ogni m e p sufficientemente grandi. Siccome y ∈ A_{k} allora esiste ξ tale che |f\overline{m}(y) − f\overline{p}(ξ)| ≥ \frac{1}{j′} anche qui per \overline{m} e \overline{p} abbastanza grandi.

Ora abbiamo |f_{m}(x) − f_{m}(ξ)| ≤ |f_{m}(x) − f_{p}(y)| + |f_{p}(y) − f_{m}(ξ)| e se U è abbastanza piccolo |f_{m}(x) − f_{m}(ξ)| < ε per ε abbastanza piccolo. Dunque è sufficiente prendere ε < \frac{1}{j} + \frac{1}{j′} in quanto |f_{m}(x) − f_{p}(y)| ≥ \frac{1}{j} e |f_{p}(y) − f_{m}(ξ)| ≥ \frac{1}{j′} . In quest’ultimo passaggio viceversa si è usato f_{m} ∈ C(X; R).

A partire da tale risultato si dimostra il Corollario 4.10.1 Se una funzione reale è derivabile su di uno spazio metrico completo X ⊂ R allora \overline{Cont(f′)} = X

Dimostrazione Poichè f′(x) = lim_{n→+∞} n(f(x + \frac{1}{n}) − f(x)) e poichè n(f(x + \frac{1}{n}) − f(x)) è una funzione continua per ogni n, la funzione limite, f′(x), è discontinua su di un insieme di tipo F_{σ}

ossia Disc(f) = ∪_{k=1}^{∞}F_{k} con F_{k} = \overline{F}_{k} e prima categoria ossia F_{k}^{o} = ∅. Ne segue che essendo X completo, il complementare di un insieme di prima categoria, esattamente l’insieme dei punti in cui è continua f′, è ovunque denso.

Nonostante la relazione \overline{Cont(f′)} = X, l’insieme Disc(f′) può essere “molto brutto”. Così brutto da far si che f′ non sia integrabile secondo Riemann in nessun intervallo di X (vedi nell’Appendice 1 la funzione ψ. Quindi qualunque sia l’intervallo I ⊂ X, Discf(f′) ∩ I deve esere un insieme non–numerabile ed a misura di Lebesgue positiva.

Vale anche un Teorema inverso (vedi l’esercizio 4.5*** per un corrispettivo del teorema nel caso delle funzioni solamente continue)

Teorema 4.10.1 Qualunque insieme A ⊂ R che sia un F_{σ} e di prima categoria è l’insieme dei punti di discontinuità della derivata di una funzione

Dimostrazione Sia dato A = ∪_{k=1}^{∞}C_{k} dove C_{k} = \overline{C}_{k} e C_{k}^{o} = ∅. Costruiamo gli insiemi F_{j} = ∪_{k=1}^{j}C_{k} che sono ancora chiusi e non densi in alcun punto e con la proprietà che F_{j} ⊂ F_{j+1}.

Dire che F_{k}^{o} = ∅ vuol dire che per ogni punto p e per ogni aperto U ∋ p esiste un aperto V ⊂ U tale che V ∩ F_{k} = ∅. Consideriamo ora tutti quegli intervalli aperti che non contengono punti di F_{k} ed i cui estremi appartengono ad F_{k} (si veda l’esercizio 25.1.5*). L’unione di tali aperti (che è ancora un aperto) può essere ricoperta da una sottofamiglia numerabile di intervalli i cui estremi ancora appartengono a F_{k}. Per ogni valore di k costruiamo la funzione di Volterra descritta nella Appendice 1 e che chiamiamo f_{k}(x). Se (a, b) ⊂ R\F_{k} a ∈ F_{k} e b ∈ F_{k} è uno degli intervalli descritti prima la funzione f_{k} si costruisce attraverso la seguente procedura. Sia c = \frac{a+b}{2} e consideriamo la funzione A(x) = (x − a)^{2} sin \frac{1}{x−a}. Sia ora x_{1} ∈ (a, c) il punto più vicino a c in cui A(x) ha un massimo. Analogamente x_{2} ∈ (c, b) il punto più vicino a c in cui la funzione B(x) = (b − x)^{2} sin \frac{1}{b−x} ha un massimo. A questo punto costruiamo la funzione che vale zero se x = a oppure x = b e nell’intervallo (a, b) vale f(x; a, b) =

\{ \begin{matrix}(x − a)^{2} sin(x − a)^{−1}  a < x ≤ x_{1} \\ (x_{1} − a)^{2} sin(x_{1} − a)^{−1}  x_{1} ≤ x ≤ x_{2} \\ (b − x)^{2} sin(x − b)^{−1}  x_{2} ≤ x < b \end{matrix} f′(a^{+}; a, b) = 0, (la derivata destra in a è nulla)

f′(b^{−}; a, b) = 0, (la derivata sinistra in b è nulla) \overline{lim}_{x→a^{+}}f′(x; a, b) = +1, \underline{lim}_{x→b^{−}}f′(x; a, b) = −1, |f(x; a, b)| ≤ min{(b−x)^{2}, (x−a)^{2}} ≤ (b−a)^{2}. |f′(x; a, b)| ≤ 1+2(b−a). Eseguiamo la stessa costruzione per tutti gli intervalli aperti complementari a F_{k} (ossia gli intervalli componenti

di R\F_{k}). A questo punto possiamo costruire f_{k}(x) = \{ \begin{matrix}f(x; a, b)  x ∈ (a, b) ⊂ R\F_{k} \\ 0  x ∈ F_{k} \end{matrix} .La

funzione f_{k}(x) è derivabile in tutti i punti. Infatti se x ∈ (a, b) la derivata è addirittura continua. Sia ora ξ ∈ F_{k} e sia Δ_{ξ}(h) = \frac{1}{h}(f_{k}(ξ + h) − f_{k}(ξ)) = \frac{1}{h}f_{k}(ξ + h). Se ξ + h ∈ F_{k} allora Δ_{ξ}(h) = 0. Se x + h ∈ R\F_{k} allora vuol dire che cade in uno degli intervalli aperti che abbiamo costruito prima e quindi |f(ξ + h)| ≤ |h|^{2}. In ogni caso la derivata è nulla. Definiamo ora F (x) =^{def} ∑_{k=1}^{∞} \frac{f_{k}(x)}{3^{k}}. La serie converge uniformemente in R e quindi la funzione limite è continua. Inoltre è derivabile. Se x ∈ R\A le f′_{k}(x) sono continue e quindi la funzione limite è pure essa continua. Se ξ ∈ A sia k_{o} il primo intero per cui ξ ∈ F_{k_{o}} e quindi ξ ∈ F_{k} per tutti i k ≥ k_{o} mentre ξ ∉ F_{k} per k < k_{o}. f′_{k}(x) è continua in x = ξ k < k_{o}. \underline{lim}_{x→ξ}f′_{k_{o}}(x) =

−3^{−k_{o}} e \overline{lim}_{x→ξ}f′_{k_{o}}(x) = 3^{−k_{o}} ma \overline{lim}_{x→ξ} ∑_{k=k_{o}+1} \frac{f′_{k}(x)}{3^{k}} ≤ ∑_{k=k_{o}+1} \frac{\overline{lim}_{x→ξ}f′_{k}(x)}{3^{k}} ≤ \frac{1}{2}3^{−k_{o}} e

\underline{lim}_{x→ξ} ∑_{k=k_{o}+1} \frac{f′_{k}(x)}{3^{k}} ≥ ∑_{k=k_{o}+1} \frac{\underline{lim}_{x→ξ}f′_{k}(x)}{3^{k}} ≥ −\frac{1}{2}3^{−k_{o}} per cui la derivata non può essere continua in ξ. Va notato che la decomposizione in intervalli disgiunti è in generale impossibile nel piano come evidenziato nell’esercizio 25.1.5*

• Si può rispondere quindi negativamente alla seguente domanda

Sia dato un intervallo I ⊂ R; esiste una funzione derivabile f(x) tale che Disc(f′) = I?

• Alla luce del precedente corollario è impossibile.

Si può indebolire la domanda cercando di rispondere alla seguente: può una funzione derivabile avere derivata discontinua in I tranne un insieme numerabile? Per la risposta (che è ancora negativa) bisogna però “munirsi” del Teorema di Baire che viene dimostrato nelle prossime pagine.

• Si può viceversa dare un insieme A numerabile (denso o meno) e costruire una funzione F derivabile tale che Disc(F′) = A. Prendiamo l’insieme (0, 1) e a_{n} = \frac{1}{n} (non denso quindi) e costruiamo la funzione

f: (0, 1) → R, f(x) = \{ \begin{matrix}∑_{k=1}^{∞} k^{−2} cos(x − a_{k})^{−1} x ≠ a_{i} \\ ∑_{{k=1 \atop k≠i}}^{∞} k^{−2} cos(a_{i} − a_{k})^{−1} x = a_{i} \end{matrix} Non essendo \{a_{i}\} denso, la funzione

f è continua in (0, 1)\{a_{i}}. In a_{i} la funzione non ammette limite. Avendo solo una quantità nu-

merabile di discontinuità , possiamo effettuare l’integrale secondo Riemann F (x) =^{def} ∫_{0}^{x} dyf(y).

Per derivare F (x) nei punti in cui f(x) è continua applichiamo il Teorema fondamentale del calcolo integrale così come è esposto nel libro di testo pag.362 Teorema 8.8 ed otteniamo F′(x) = f(x). Nei punti x = a_{i} applichiamo la definizione di derivata dimostrando che

lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫ \frac{1}{n} +h_{\frac{1}{n}} dx(f(x) − f(\frac{1}{n})) = 0. Ne segue che F′(\frac{1}{n}) = f(\frac{1}{n}).

f(x) − f(\frac{1}{n}) = ∑_{k=1}^{n−1} k^{−2}(cos(x − a_{k})^{−1} − cos(a_{n} − a_{k})^{−1}) + ∑_{k=n+1}^{∞} k^{−2}(cos(x − a_{k})^{−1} − cos(a_{n} −

a_{k})^{−1}) + \frac{1}{n^{2}} cos \frac{1}{x − a_{n}}

• lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫ \frac{1}{n} +h_{\frac{1}{n}} dx ∑_{k=1}^{n−1} k^{−2}(cos(x−a_{k})^{−1}−cos(a_{n}−a_{k})^{−1}) = ∑_{k=1}^{n−1} k^{−2} lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫ \frac{1}{n} +h_{\frac{1}{n}} dx(cos(x−

a_{k})^{−1} − cos(a_{n} − a_{k})^{−1}) = 0 essendo lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫ \frac{1}{n} +h_{\frac{1}{n}} dx cos(x − a_{k})^{−1} = cos(a_{n} − a_{k})^{−1}

• lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫ \frac{1}{n} +h_{\frac{1}{n}} dx cos \frac{1}{x − a_{n}} = \frac{d}{dx} ∫ x_{\frac{1}{n}} dyf(y)|_{x= \frac{1}{n}} = 0 (vedi l’esercizio 22.8).

• Sia k > n. | cos \frac{1}{x − a_{k}} −cos \frac{1}{a_{n} − a_{k}} | = 2| sin(\frac{1}{x − a_{k}} + \frac{1}{a_{n} − a_{k}} ) sin(\frac{1}{a_{n} − a_{k}} − \frac{1}{x − a_{k}} )| ≤

≤ 2\frac{x − a_{n}}{(a_{n} − a_{k})(x − a_{k})}. |x − a_{k}| > |a_{n} − a_{k}| e quindi

lim_{h→0^{+}}|\frac{1}{h} ∫ \frac{1}{n} +h_{\frac{1}{n}} dx( ∑_{k=n+1}^{∞} k^{−2}(cos(x − a_{k})^{−1} − cos(a_{n} − a_{k})^{−1}) + \frac{1}{n^{2}} cos \frac{1}{x − a_{n}} )| ≤

≤ lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫ \frac{1}{n} +h_{\frac{1}{n}} ∑_{k=n+1}^{∞} dx\frac{1}{k^{2}} 2\frac{x − a_{n}}{(a_{n} − a_{k})^{2}} ≤ lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫ \frac{1}{n} +h_{\frac{1}{n}} ∑_{k=n+1}^{∞} dx\frac{1}{k^{2}} 2\frac{h}{(a_{n} − a_{k})^{2}} ≤

≤ lim_{h→0^{+}} h ∑_{k=n+1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} sup_{k≠n} \frac{1}{(a_{n} − a_{k})^{2}} = 0 ed esattamente come per la f(x) non esiste lim_{x→a_{i}} F′(x)

• Una funzione F: R → R derivabile che abbia derivata discontinua su un insieme ovunque denso e numerabile si può definire nel seguente modo. Sia data in [0, 1] la funzione

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2}(1 − x)^{2} ∑_{k=1}^{+∞} \frac{1}{k^{2}} g_{k}(x)  0 ≤ x ≤ 1 \\ 0  x ∈ R\[0, 1] \end{matrix}  dove

g_{k}(x) = \{ \begin{matrix}(x − r_{k})^{2} sin \frac{1}{x − r_{k}}  x ≠ r_{k} \\ 0  x = r_{k} \end{matrix} e \{r_{k}\} è l’insieme dei razionali in [0, 1]. Successiva-

mente si definisce F (x) = ∑_{k=−∞}^{+∞} f(x − k)

• Dare una funzione f: R → R derivabile tale che f′(x) non è continua in un intorno di x = 0 e f′′(0) esiste ^{(3.10.1)}

Siano p > 1, e A =^{def}{a_{i}} una successione tale che lim_{k→+∞} a_{k} = 0 e 0 ∉ A. Definiamo la funzione

f(x) = \{ \begin{matrix}x^{p} ∑_{k=1}^{∞} k^{−2} cos(x − a_{k})^{−1} x ≠ a_{i} \\ a_{j}^{p} ∑_{{k=1 \atop k≠j}}^{∞} \frac{1}{k^{2}} cos \frac{1}{a_{j} − a_{k}} x = a_{i} \end{matrix} . La derivata della funzione F (x) =^{def} ∫_{0}^{x} dyf(y) è

F′(x) = \{ \begin{matrix}f(x) x ∉ \{a_{i}\} \\ a_{j}^{p} ∑_{{k=1 \atop k≠j}}^{∞} \frac{1}{k^{2}} cos \frac{1}{a_{j} − a_{k}} x = a_{j} \end{matrix} . Mostriamo che F′′(0) esiste. Sia r_{k} una qualsiasi

successione tale che lim_{k→+∞} r_{k} = 0 e scomponiamo la successione in due sottosuccessioni s_{k} e t_{k} tali che s_{k} ∈ A e t_{k} ∉ A. Chiaramente vi è una corrispondenza fra la successione {s_{k}} e una sottosuccessione di {a_{k}}. In altre parole vi è una relazione crescente φ per cui

s_{k} = a_{φ(k)}. \frac{F′(s_{k}) − F′(0)}{s_{k}} = a_{φ(k)}^{p−1} ∑_{{k=1 \atop k≠φ(k)}}^{∞} \frac{1}{k^{2}} cos \frac{1}{a_{φ(k)} − a_{k}} → 0 per k → +∞. Nel caso della

sottosuccessione \{t_{n}\} si ha \frac{F′(t_{n}) − F′(0)}{t_{n}} = \frac{1}{t_{n}} t_{n}^{p} ∑_{k=1}^{∞} k^{−2} cos(t_{n}−a_{k})^{−1} che tende a zero quando

n → +∞.

funzione f(x)=\begin{cases}0  x≤0 ∨ x>1 ∨ x= \frac{1}{n} \\ (x− \frac{1}{n})2(x− \frac{1}{n+1} )2 sin \frac{1}{x− \frac{1}{n+1}}  \frac{1}{n+1} <x< \frac{1}{n} \end{cases}

(3.10.1) E2572 – C.D.H. Cooper American Mathematical Monthly Vol.84, No.4 (Apr.,1977), 298. Si dà come esempio la

•• Dare una funzione f: R → R derivabile tale che f′(x) non è continua su di un sottoinsieme denso di R e f′′(x) esiste su di un altro sottoinsieme denso.

• Dal Teorema 3.10.1 segue che la somma di una serie trigonometrica convergente puntualmente deve essere una funzione continua su di un insieme denso. Sempre dallo stesso teorema segue che non può esistere una successione di funzioni continue definite su R che converge puntualmente alla funzione che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali (la funzione di Dirichlet). Per un esempio di successione di funzioni f_{k,m}(x) che convergono alla funzione X_{Q} si consideri l’insieme dei razionali e li si ordini in un qualche modo {r_{k}}.

Sia f_{k,m}(x) =^{def} exp(−k ∏_{j=1}^{m}(x − r_{j})^{2}). Ciascuna f_{k,m} è continua e lim_{k→+∞} f_{k,m} = g_{m}(x) dove

g_{m}(x) = \{ \begin{matrix}1  x = r_{1} … r_{m} \\ 0  altrimenti \end{matrix} e quindi lim_{m→+∞} g_{m}(x) = X_{Q}. Come si vede Disc(g_{m}) è un F_{σ}

di prima categoria.

Riprendiamo il Teorema 3.10.1 e consideriamo un suo sottoinsieme F che verifica la relazione F = F′ (insieme perfetto). Il teorema continua ad essere valido con le funzioni (f_{n}) |_{F} . La nozione di prima e seconda categoria ora si riferiscono ad F. Vale un teorema che inverte il

Teorema 3.10.1.

Teorema 5.10.1 Sia data una funzione f: R → R tale che le discontinuità della restrizione ad un qualsiasi sottoinsieme perfetto di R è di prima categoria relativa all’insieme perfetto. Allora f è il limite puntuale di funzioni continue su R.

Se Disc(f) |_{F} ≠ prima categoria ristretta ad F per almeno un F = F′ allora non è detto f = lim_{n} f_{n} con le funzioni f_{n} continue. Si consideri l’insieme di Cantor ed il modo in cui si ottiene. Sia per definizione F_{e} ⊂ F l’insieme dei punti α, β tale che (α, β) è uno degli intervalli che vengono tolti per ottenere l’insieme di Cantor. F_{e} ⊂ F è numerabile ed inoltre \overline{F}_{e} = F. Sia data

ora la funzione f: R → R f(x) = \{ \begin{matrix}0  x ∈ R\F \\ 1/2  x ∈ F_{e} \\ 1  x ∈ F \F_{e} \end{matrix} ora Disc(f) = F che è di prima categoria.

Del resto f|_{F} è discontinua ovunque \underline{\underline{in F}} e quindi per il Teorema 3.10.1 f non può essere limite puntuale di funzioni continue.

Esercizio Si dimostri viceversa che la funzione X_{F} è in classe di Baire 1. Per la dimostrazione bisogna sapere come si costruisce l’insieme di Cantor e ciò è contenuto in numerosi libri (ad esempio sul Giusti di analisi II). Alternativamente si può ricorrere all’esercizio 30.1.5* e partire da uno degli intervalli aperti di cui ivi si parla. Sia (a, b) un intervallo aperto che viene eliminato nella costruzione dell’insieme di Cantor da un intervallo chiuso [A, B] che lo contiene. Si definisce

la funzione (f_{k})_{a,b}(x) = \{ \begin{matrix}k(x − a) a ≤ x ≤ a + k^{−1} \\ 1 a + k^{−1} ≤ x ≤ b − k^{−1} \\ k(b − x) b − k^{−1} ≤ x ≤ b \end{matrix} Ripetiamo la stessa costruzione per ogni

intervallo (a, b) ed otteniamo una funzione f_{k}(x) che vale 0 per ogni punto estremo di uno degli intervalli e per ogni punto di F che non sia estremo di nessun intervallo (si badi che questi ultimi punti sono in quantità non–numerabile e sono quindi molti di più di quelli che stanno agli estremi degli intervalli eliminati). Inoltre ciascuna f_{k} è continua. Il limite lim_{k→+∞} f_{k}(x) esiste per ogni x e vale 1 − X_{F} .

Esercizio Si dimostri che la funzione X_{E} è in classe di Baire 1 per qualsiasi insieme chiuso E R.: Sia dato un insieme chiuso E ⊂ R e sia ρ(x; E) la distanza di un qualsiasi punto da E (vedi l’esercizio 13.1.5*). Si definisca poi la successione di funzioni f_{n}(x) = \frac{1}{1+nρ(x;E)}. Se x ∈ E f_{n}(x) = 1 per ogni n mentre se x ∉ E allora f_{n}(x) → 0. Dunque f_{n}(x) → X_{E} e le funzioni f_{n} sono tutte continue. Allo stesso modo si può definire una successione che converge puntualmente alla funzione X_{F} essendo F = \overline{F} .

Esercizio Cosa accade se si ripete il ragionamento ma al posto di E si pone l’insieme Q? Risposta: essendo ρ(x; Q) ≡ 0 per ogni x ∈ R, si ha f_{n}(x) ≡ 1 e quindi f_{n}(x) ↛ X_{Q}. Del resto non poteva aversi lo stesso tipo di risultato in quanto sappiamo che X_{Q} non è in classe di Baire 1

Esercizio Dimostrare che la funzione dell’esercizio 6.1.5** è in classe di Baire 1 e quindi trovare una successione di funzioni continue f_{n}(x) che converge ad essa puntualmente Risposta: consideriamo Q∩[0, 1] (per il complementare si opera allo stesso modo). Enumeriamo i razionali {r_{i}} e dato k intero prendiamo l’insieme R_{k} =^{def}{r_{1}, r_{2}, …, r_{k}}, r_{0} = 0. Ordiniamo ora l’insieme R_{k} secondo la loro crescenza e facciamo l’ipotesi che r_{1} < r_{2} < r_{3} < … < r_{k}. Ci sarà un minimo della quantità min_{i=1,...,k}{|r_{i−1} − r_{i}|} =^{def}d. Definiamo allora una funzione continua che vale sempre zero tranne sul perimetro di k triangoli isosceli aventi la base di lunghezza \frac{d}{2} − \frac{1}{k} , posizionata sull’asse delle ascisse e centrata nel punto r_{k}. La funzione vale \frac{1}{q} per x = \frac{p}{q} (si potrebbe dare la definizione analitica di una tale f_{k} ma non è necessario). La costruzione si può ripetere per ogni valore di k. Per costruzione si ha f_{k}(\frac{p}{q}) = \frac{1}{q} per ogni valore di k. Se x ∈ R\Q allora f_{k}(x) → 0 e quindi f_{k}(x) converge alla funzione dell’esercizio 6.1.5**.

Esercizio Si supponga ora di modificare la costruzione precedente definendo f_{k}(x) = 1 se x ∈ Q ed il resto tutto uguale. Facendo il limite k → +∞ esattamente come prima si avrebbe che f_{k}(x) → X_{Q} che sappiamo non poter essere vero. Dove è l’errore? Risposta: nel supporre che x ∈ R\Q ⇒ f_{n}(x) → 0

Un ulteriore bel risultato è fornito dal seguente teorema (indichiamo con Der(f) l’insieme dei punti in cui una determinata funzione è derivabile):

Teorema 6.10.1 Sia data una funzione f: [a, b] → R. Se \overline{Disc(f)} = [a, b] allora l’insieme dei punti in cui è derivabile, che può anche essere vuoto e che chiameremo Der(f), è di prima categoria

Dimostrazione p ∈ Dom(f) ∩ Der(f) solo se ∀ k ≥ 1 ∃ n ≥ 1 : x, y ∈ (p − \frac{1}{n}, p + \frac{1}{n})\\{p\} ⇒ |\frac{f(x)−f(p)}{x−p} −

\frac{f(y)−f(p)}{y−p}| < \frac{1}{k} e quindi Der(f) = ∩_{k=1}^{∞} ∪_{n=1}^{∞} E_{kn} dove E_{kn} = \{p ∈ Dom(f) : |\frac{f(x)−f(p)}{x−p} −

\frac{f(y)−f(p)}{y−p}| < \frac{1}{k} ∀x, y ∈ (p − \frac{1}{n}, p + \frac{1}{n})\\{p\}\}. Se facciamo vedere che \overline{E}^{o}_{kn}= ∅ abbiamo il risultato in quanto Der(f) si può riscrivere come unione di insiemi la cui chiusura ha interno vuoto (vedi alla fine). Se p ∈ E_{kn} ⇒ p ∈ Cont(f). Infatti esiste n_{o} tale che |\frac{f(x)−f(p)}{x−p}| < |\frac{f(y)−f(p)}{y−p}| + \frac{1}{k} per ogni coppia x, y che sta in (p − \frac{1}{n_{o}} , p + \frac{1}{n_{o}}) e quindi, fissato ad esempio y, si ha che f(x) è addirittura Lipschitziana nell’intorno dato. Infatti segue che i rapporti incrementali |\frac{f(x)−f(p)}{x−p}|

sono limitati superiormente e quindi si ha sup_{x≠p} |\frac{f(x)−f(p)}{x−p}| =^{def}S < ∞. Questo vuol dire che E_{kn} ∩ Disc(f) = ∅. Se ora facciamo vedere che E′_{kn} ∩ Disc(f) = ∅ abbiamo dimostrato la tesi in quanto, essendo \overline{Disc(f)} = [a, b], qualunque sia p ∈ E_{kn} e qualunque sia l’intorno di esso, ci sono punti di Disc(f) che cadono dentro l’intorno di p scelto. Sia quindi {p_{n}} ⊂ E_{kn_{o}} una successione di punti tali che p_{n} ∈ E_{kn_{o}} e tale che p_{n} → p. Vogliamo far vedere che p ∈ Cont(f). Supponiamo che p ∈ Disc(f) e quindi ∃ ε > 0 : ∀ δ > 0 ∃ y ∈ (p − δ, p + δ) ∧ |f(p) − f(y)| ≥ ε. Sia δ(n) tale che (p−δ(n), p+δ(n)) ⊂ (p_{n}− \frac{1}{n_{o}} , p_{n}+ \frac{1}{n_{o}}). Ora ε ≤ |f(p)−f(p_{n})|+|f(p_{n})−f(y)| ≤ (|p − p_{n}| + |y − p_{n}|)S che tende a zero per n → +∞ e quindi se ne ricava una contraddizione.

Facciamo vedere ora che Der(f) = ∩_{k=1}^{∞} ∪_{n=1}^{∞} E_{kn} si può scrivere come unione numerabile di insiemi non densi in alcun punto. Der(f) = ∩_{k=1}^{∞} ∪_{n=1}^{∞} E_{kn} = ∪_{i=1}^{∞} ∪_{j=1}^{∞} ∪_{l=i+1}^{∞} ∩_{t=1}^{∞} (B_{ij} ∩ E_{lt})

dove B_{ij} =^{def}E_{ij}\ ∪_{k=j+1}^{∞} E_{ik} e quindi, essendo \overline{B_{ij} ∩ E_{lt}}^{o} ⊂ \overline{E}^{o}_{lt} = ∅, si ha il risultato.

Una diretta conseguenza del precedente Teorema è il corollario che segue

Corollario 5.10.1 Se \overline{Disc(f)} = [a, b] e \overline{Der(f)} = [a, b] allora Cont(f)\Der(f) è un insieme residuale e quindi denso. Dimostrazione Essendo Der(f) ⊂ Cont(f), quest’ultimo è denso e quindi Disc(f) è di prima categoria (vedi Corollario 3.10.1). Inoltre sappiamo che Disc(f) è un F_{σ}. Scriviamo quindi come

Disc(f) = ∪_{j=1}^{∞}A_{i} dove \overline{A}^{o}_{i}=A^{o}_{i}= ∅. Per il precedente Teorema sappiamo che Der(f) = ∪_{j=1}^{∞}B_{i}

dove \overline{B}^{o}_{i}= ∅ e quindi Cont(f)\Der(f) = [a, b]\ ∪_{j=1}^{∞} (A_{j} ∪ B_{j}). Essendo A_{i} ∪ B_{j} non denso in alcun punto ne segue che Cont(f)\Der(f) è residuale.

• Una funzione il precedente corollario è : sia E ⊂ \overline{E} = R un insieme numerabile. Diamo una numerazione agli elementi di E (possibile essendo E numerabile) x_{1}, x_{2}, x_{3}, … f(x) =

\{ \begin{matrix}1/n^{3}, x = x_{n}, \\ 0 altrimenti \end{matrix} Detto E = \{x_{n}\}, dall’esercizio 6.5** ricaviamo facilmente che la funzione

non è ivi continua e quindi neanche derivabile. Per la derivabilità gli unici candidati sono i punti di E^{c} e quel che bisogna fare è analizzare il limite lim_{h→0} \frac{f(x+h)−f(x)}{h} dove x ∈ E^{c} e

x + h ∈ E (x + h ∈ E^{c} ⇒ f(x + h) = 0). Sia h_{n} → 0 e x + h_{n} =^{def}x_{n} da cui lim_{h→0} \frac{f(x+h)−f(x)}{h} =

lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{3}h_{n}} .

Consideriamo l’insieme S =^{def} ∩_{k≥1} ∪_{n≥k}(x_{n} − \frac{1}{n^{2}} , x_{n} + \frac{1}{n^{2}} ) ed il suo complementare S^{c} =^{def} ∪_{k≥1} ∩_{n≥k}((−∞, x_{n} − \frac{1}{n^{2}} ] ∪ [x_{n} + \frac{1}{n^{2}} , +∞)). Se x ∈ S^{c}, la successione x + h_{n} tende a x (ricordiamo che \overline{E} = R) ma |h_{n}| ≥ \frac{1}{n^{2}} per cui \frac{f(x+h_{n})}{h_{n}} = \frac{n^{2}}{n^{3}} → 0. Ora l’insieme S è ricopribile da una collezione numerabile di intervalli aperti la somma delle cui lunghezze è piccola quanto si vuole. Infatti la somma delle lunghezze degli intervalli che compongono l’insieme ∪_{n≥k}(x_{n} − \frac{1}{n^{2}} , x_{n} + \frac{1}{n^{2}} ) è maggiorata da ∑_{n=k}^{∞} \frac{2}{n^{2}} e questo per ogni k da cui il risultato (in teoria della misura si dice che l’insieme ha misura di Lebesgue nulla). Ne segue che S^{c} ha “misura piena” (se fin dall’inizio ci fossimo messi nell’intervallo [0, 1] avrebbe avuto misura 1). Ma allora deve essere ovunque denso in quanto se così non fosse esisterebbe un intervalo aperto (certamente di misura non nulla) nel quale non cadono punti di S^{c} e quindi quest’ultimo non avrebbe misura piena (vedi [F])

§10.2 Il Teorema di Baire

Il teorema di Baire è essenziale in analisi funzionale per lo studio della teoria degli operatori lineari e non–lineari. In ogni caso è indispensabile anche per stabilire alcuni risultati “fini” nella teoria delle funzioni.

L’enunciato del teorema di Baire o della categoria è dato dal seguente Teorema 1.10.2 Uno spazio metrico completo non può essere scritto come unione numerabile di suoi sottoinsiemi non densi in alcun punto (ossia è di seconda categoria)

Dimostrazione Sia (X, d) uno spazio metrico completo. Supponiamo per assurdo che tale spazio

X possa scriversi come unione numerabile di suoi sottoinsiemi U_{k} tale che U^{o}_{k} = ∅ (nell’esercizio 21.1.5 si dimostra che tale condizione è equivalente ad essere non denso in alcun punto). Dunque

abbiamo X = ∪_{k≥1}U_{k}; e x ∈ X. Poiché \overline{U}^{o}_{1} = ∅ si può dare un insieme aperto (ad esempio una sfera) che contiene x ed all’interno di essa trovare un’altra sfera aperta che non ha punti in comune con U_{1}. Dunque si può dare S(x; r) (sfera aperta di centro x e raggio r) tale che S(x; r) ⊃ B_{1}(x_{1}; r_{1}) e B_{1}(x_{1}; r_{1}) ∩ U_{1} = ∅. All’interno di B_{1}(x_{1}; r_{1}) si può trovare una sfera aperta B_{2}(x_{2}; r_{2}) tale che B_{2}(x_{2}; r_{2}) ∩ U_{2} = ∅ e così via. Prendendo i raggi delle varie sfere B_{j} pari a r_{j} → 0, ne segue che la successione {x_{j}} è di Cauchy e quindi converge ad un punto p ∈ X per ipotesi di spazio completo. Se indichiamo con p ≐ lim_{k→+∞} x_{k} ne segue per costruzione

che p ∉ U_{k} per ogni k. Infatti p appartiene a ciascuna delle sfere B_{j}(x_{j}; r_{j}) da cui la non appartenenza di p a ciascun U_{k}. Ma l’unione degli U_{k} copre X e la contraddizione si risolve riconoscendo la falsità dell’ipotesi ossia che X potesse scriversi come ∪_{k≥1}U_{k}.

Per convenzione si dice: Uno spazio metrico completo è di seconda categoria.

A volte la conclusione del Teorema di Baire viene data nella seguente forma ed in questo caso è un corollario del precedente Teorema 1.10.2. Inoltre il Teorema stesso è conseguenza del corollario che segue ed infatti sono equivalenti Corollario 1.10.2 Sia X uno spazio metrico completo ed O_{i} una famiglia numerabile di sottoinsiemi aperti densi. Allora ∩_{i=1}^{∞}O_{i} ≠ ∅

Facciamo vedere ora che dal Teorema 1.10.2 segue la affermazione del Corollario 1.10.2. Sia

quindi X = ∩_{i=1}^{∞}O_{i} ∪ (∩_{i=1}^{∞}O_{i})^{c} = (∩_{i=1}^{∞}O_{i}) ∪ (∪_{i=1}^{∞}O_{i}^{c}). Ora O_{k}^{c}^{o}=\overline{O_{k}^{c}}^{o}= ∅ e quindi, dal teorema

precedente, essendo X completo, non può aversi X = ∪_{i=1}^{∞}O_{i}^{c} da cui il fatto che ∩_{i=1}^{∞}O_{i} ≠ ∅. Facciamo vedere ora come il Teorema 1.10.2 segua dal Corollario 1.10.2. In questo caso

l’ipotesi è è avere famiglia di aperti O_{i} =O_{i}^{o} tali che \overline{O_{i}} = X ed inoltre ∩_{i=1}^{∞}O_{i} ≠ ∅. Abbiamo

bisogno del Teorema 2.10.1

Supponiamo che il Teorema 1.10.2 sia falso e quindi possa scriversi X = ∪_{i=1}^{∞}A_{i} con \overline{A}_{i}^{o}= ∅.

Certamente si ha X ⊂ ∪_{i=1}^{∞}\overline{A}_{i} ⟹ ∅ ⊃ ∩_{i=1}^{∞}\overline{A}_{i}^{c}. Ma abbiamo \overline{A}_{i}^{c} = X (essendo \overline{A}_{i}^{o}= ∅) ed inoltre gli \overline{A}_{i}^{c} sono aperti contraddicendo l’ipotesi ossia il Corollario 1.10.2.

• Come applicazione del teorema di Baire facciamo vedere che R\Q non è un F_{σ} ossia non si può scrivere R\Q = ∪_{k≥1}F_{k} dove F_{k} = \overline{F}_{k}. Se per assurdo fosse possibile allora si potrebbe scrivere R = ∪_{r∈Q}{r} ∪_{k} F_{k} ed essendo R completo almeno uno degli insiemi che costituiscono le due unioni deve avere interno non vuoto. Ciò è impossibile in quanto ogni singolo punto r ∈ R ha chiaramente interno vuoto e F_{k} pure non può avere interno non vuoto a causa della densità dei razionali.

• Lo spazio metrico ([a, b], d), essendo completo, non è di prima categoria.

• Lo spazio metrico ((a, b), d), pure non è di prima categoria. Infatti se lo fosse, sarebbe di prima categoria anche lo spazio ([a, b], d). Esercizio Dimostrare che non può esistere una funzione continua f: R → R tale che f(Q) ⊂ Q^{c} e f(Q^{c}) ⊂ Q Suggerimento: si immagini che tale funzione, detta g(x) esista e si costruisca f ∘ g dove f(x) è la funzione dell’esercizio 6.5** e se ne ricavi una contraddizione.

Esercizio Dimostrare che non può esistere una funzione f: R → R per cui Q^{c} ⊂ Disc(f) e \overline{Cont(f)} = R

Dimostrazione Siano {a_{i}}_{i=1}^{∞} ⊂ Q e {b_{i}}_{i=1}^{∞} ⊂ Q tali che {a_{i}} ∪ {b_{i}} = Q e {a_{i}} ∩ {b_{i}} = ∅. Inoltre Q^{c} ∪ \{a_{i}\} = Disc(f) ed è quindi un F_{σ} e \overline{\{b_{i}\}} = R. Facciamo vedere che non è possibile. Poiché Disc(f) è un F_{σ} si ha Disc(f) = ∪_{k=1}^{∞}F_{k} = Q^{c} ∪ \{a_{i}\} e F_{k} = \overline{F}_{k}. Inoltre abbiamo che F_{k}^{o} = ∅ essendo {b_{i}} ovunque denso. Ne seguirebbe che R = {b_{i}} ∪ ∪_{k=1}^{∞}F_{k} il che è impossibile perché vorrebbe dire che R è di prima categoria

Esercizio Dimostrare o confutare la seguente affermazione: esiste una funzione f tale che f: R → R tale Q^{c} ⊂ Disc(f) ⇒ Disc(f) = R

L’affermazione è falsa. In base al risultato precedente non può essere \overline{Cont(f)} = R ma può essere Cont(f) non denso in alcun punto. Infatti la funzione f_{2} data nell’esercizio 5.5 fa al caso nostro.

Esercizio Dimostrare o confutare con un esempio la affermazione: esiste una funzione continua f: R → R tale che f(Q) ⊂ Q^{c} e f(Q^{c}) ⊂ Q. Ragioniamo per assurdo supponendo che tale funzione, detta f(x) esista. Sia data la funzione f_{2} nell’esercizio 5.5 e costruiamo h(x) ≐ f_{2} ∘ f(x). Se x_{0} ∈ Q allora f(x_{0}) ∈ Q^{c} e quindi h(x_{0}) = 0 è continua in x_{0} ∈ Q. Sia invece x_{1} ∈ Q^{c} e quindi f(x_{1}) ∈ Q. Ne segue che h(x_{1}) ≠ 0 ma se prendiamo y_{n} → x_{1} con y_{n} ∈ Q, otteniamo h(y_{n}) ≐ 0. Ne consegue che h(x) è continua su Q e discontinua su Q^{c} il che è impossibile.

Esercizio Dimostrare o confutare con un esempio la affermazione: esiste una funzione continua f: R → R tale che f(Q) ⊂ Q e f(Q^{c}) ⊂ Q^{c}. certamente si: f(x) = αx + β con α e β razionali

Esercizio Può esistere una funzione f: R → R tale che Q^{c} ⊂ Disc(f) e Cont(f) è denso in un punto p?

Un altro esempio di applicazione del teorema di Baire è il corollario

Corollario 2.10.2 Uno spazio metrico completo senza punti isolati è non numerabile. Tale risultato deriva dal seguente: Uno spazio metrico completo numerabile ha almeno un punto isolato Dimostrazione Sia X lo spazio metrico numerabile costituito da una quantità numerabile di punti {x_{k}} k ∈ N per cui X = ∪_{k=1}^{∞}{x_{k}}. Essendo X completo, almeno un suo elemento, diciamo x_{j}, deve avere la chiusura con almeno un punto interno. Ora la chiusura di x_{j} è esattamente x_{j} e può avere interno non vuoto solo se x_{j} è isolato. Infatti in tal caso non si contraddice la definizione di non densità in quanto le sfere aperte di X che contornano x_{j} e che hanno raggio sufficientemente piccolo sono tutte costituite da un solo punto ossia x_{j}.

Il risultato precedente a questo punto è ovvio. Tra l’altro questo aspetto del Teorema di Baire consente di dire che se si ha un insieme F per cui F = F′ allora tale insieme deve necessariamente essere non numerabile ed è il caso dell’insieme di Cantor (ternario o no).

Alla luce del corollario precedente si può inoltre dire che lo spazio metrico (Q; |x − y|) non è completo. Infatti non vi sono punti isolati ed è numerabile.

Lo spazio metrico (N; d) descritto all’inizio è numerabile e completo e quindi deve avere almeno un punto isolato. Infatti tutti i punti sono isolati. Si può osservare che ciascun punto di (N, d) ha chiusura avente interno non vuoto e questo è in linea col fatto che (N, d) è completo.

Il teorema di Baire unitamente al risultato secondo cui Disc(f) = F_{σ} e di prima categoria se f(x) = lim_{n→+∞} f_{n}(x) puntualmente e f_{n} ∈ C(X; R), consente di rispondere negativamente alla domanda rimasta non risposta se è possibile che le discontinuità della derivata di una funzione possano costituire tutto un intervallo ad eccezione di una sua quantità numerabile. Si ha infatti il corollario

Corollario 3.10.2 Dato un intervallo chiuso I ed un suo sottoinsieme numerabile {a_{i}}. Non esiste una funzione f ∈ C(I; R) che sia derivabile su I e la cui derivata f′ sia discontinua su I\{a_{i}} e continua su {a_{i}}

Dimostrazione Supponiamo che una tale funzione esista. Sappiamo che Disc(f′) = F_{σ} ed

inoltre è di prima categoria ossia Disc(f′) = ∪_{k=1}^{∞}F_{k} con \overline{F}_{k} = F_{k} ed inoltre F_{k}^{o} = ∅. Ma allora I = (∪_{k=1}^{∞}F_{k}) ∪ {a_{i}}. Ma il Teorema di Baire vieta ad I tale scomposizione in quanto I è esso stesso uno spazio metrico completo e quindi non lo si può scrivere come unione numerabile di insiemi non densi in alcun punto.

Un’altra conseguenza del Teorema di Baire è il seguente celebre teorema dovuto a Stefan Banach (nato nel 1892 in Cracovia (all’epoca parte dell’Impero Austro–Ungarico) e morto nel 1945 in Leopoli (Ucraina); uno dei fondatori dell’analisi funzionale). Prima però introduciamo le Derivate di Dini:

D^{+}f(x) = f^{+}(x) =^{def} \overline{lim}_{h→0^{+}} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}, D_{+}f(x) = f_{+}(x) =^{def} \underline{lim}_{h→0^{+}} \frac{f(x + h) − f(x)}{h},

D^{−}f(x) = f^{−}(x) =^{def} \overline{lim}_{h→0^{−}} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}, D_{−}f(x) = f_{−}(x) =^{def} \underline{lim}_{h→0^{−}} \frac{f(x + h) − f(x)}{h},

(consideriamo pure i limiti infiniti) e sono dette rispettivamente D^{+}f(x)–derivata superiore destra, D_{+}f(x)–derivata inferiore destra, D^{−}f(x)–derivata superiore sinistra, D_{−}f(x)–derivata inferiore sinistra. Chiaramente si hanno le relazioni D_{+}f(x) ≤ D^{+}f(x), D_{−}f(x) ≤ D^{−}f(x) e una funzione è derivabile a destra se D_{+}f(x) = D^{+}f(x) mentre è derivabile a sinistra se D_{−}f(x) = D^{−}f(x) con i limiti che possono assumere il valore ±∞. Se una funzione è derivabile a destra diciamo che esiste f′_{+}(x) mentre se è derivabile a sinistra diciamo che esiste f′_{−}(x). Sia inoltre Q = C([a, b]; R) lo spazio delle funzioni continue sull’intervallo [a, b] con la metrica del massimo (come all’inizio del capitolo 10.1). Abbiamo il seguente celebre Teorema (vedi [B], [M], [K] pag.420–421, [Y] pag.72–73, [HS] pag.260–261, [ST] pag.60–62, [O] pag.45–46)

Teorema Nello spazio Q l’insieme delle funzioni che in almeno un punto x_{o} ∈ [a, b) ammettono D^{+}f(x_{o}) e D_{+}f(x_{o}) finite (detto F) è un insieme di prima categoria.

Osservazione i) Ne segue che il complementare di F è denso grazie alla Proposizione a pagina 1 e al Corollario 1.10.1. Il complementare contiene l’insieme delle funzioni che in ogni punto di [a, b) ammettono D^{+}f(x) oppure D_{+}f(x) infinito. Quindi sono dense le funzioni continue ma non derivabili a destra in nessun punto di [a, b). Poiché lo stesso discorso può farsi per (a, b], ne segue che sono dense le funzioni che non sono derivabili in nessun punto di [a, b] ii) Se si omette il termine finita il teorema non è valido.

Dimostrazione Mostreremo che l’insieme delle funzioni aventi rapporto incrementale destro definitivamente limitato sia superiormente che inferiormente in almeno un punto di [a, b], costituiscono un insieme di prima categoria e F_{σ} ossia può scriversi come ∪_{i=1}^{∞}F_{k} dove F_{k} = \overline{F}_{k}

e F^{o}_{k} = ∅. Tali funzioni sono quelle per cui esiste un punto, diciamo x_{o}, in cui si ha −m ≤ D_{+}f(x_{o}) ≤ D^{+}f(x_{o}) ≤ m < ∞ per un qualche m^{(1.10.2)}. Definiamo l’insieme ∪_{N=1}^{∞}{f ∈

Q |∃ x ∈ [a, b − \frac{b − a}{N}] : 0 < h ≤ \frac{b − a}{N} ⇒ |\frac{f(x + h) − f(x)}{h}| ≤ N\} =^{def} ∪_{N=1}^{∞} F_{N}. Dimostriamo

(1.10.2) Le funzioni derivabili a destra con derivata finita sono un sottoinsieme dell’insieme precedente e quindi esse stesse

sono un sottoinsieme di prima categoria. Peraltro va osservato che l’insieme delle funzioni derivabili a destra in almeno un punto è sì contenuto all’interno di un insieme di prima categoria ma è contemporaneamente denso. Infatti tali funzioni contengono al loro interno le funzioni C^{1}([a,b];R) (derivabili con continuità in ogni punto di [a,b]). Inoltre essendo l’insieme oggetto del Teorema un insieme di prima categoria e F_{σ}, il complementare è denso e residuale

che esso coincide con l’insieme delle funzioni che hanno rapporto incrementale destro definitivamente limitato sia superiormente che inferiormente in almeno un punto ossia quelle funzioni per le quali in almeno un punto (diverso da funzione a funzione) si ha −m ≤ D_{+}f(x) ≤ D^{+}f(x) ≤ m.

Infatti se f ∈ F_{N} allora, −N ≤ inf_{h∈(0, \frac{b−a}{N}]} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≤ sup_{h∈(0, \frac{b−a}{N}]} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≤ N. Ne

segue −N ≤ sup_{δ∈(0, \frac{b−a}{N}]} inf_{h∈(0,δ]} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≤ inf_{δ∈(0, \frac{b−a}{N}]} sup_{h∈(0,δ]} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≤ N che equiv-

ale a scrivere −N ≤ D_{+}f(x) ≤ D^{+}f(x) ≤ N e quindi è limitato.

Viceversa supponiamo che una certa funzione abbia −m ≤ D_{+}f(x_{o}) ≤ D^{+}f(x_{o}) ≤ m < ∞

per x_{o} ∈ [a, b). D^{+}f(x_{o}) ≤ m vuol dire I =^{def} inf_{0<δ≤b−x_{o}} sup_{0<h≤δ} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≤ m e quindi

∀ ε > 0 ∃ δ_{ε,x_{o}} > 0, 0 < δ_{ε,x_{o}} ≤ b − x_{o} : I ≤ sup_{0<h≤δ_{ε,xo}} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} < I + ε ≤ m + ε. −m ≤

D_{+}f(x_{o}) vuol dire che S =^{def} sup_{0<δ≤b−x_{o}} inf_{0<h≤δ} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≥ −m e quindi ∀ ε > 0 ∃ δ′_{ε,x_{o}} >

0, 0 < δ′_{ε,x_{o}} ≤ b − x_{o} : S ≥ inf_{0<h≤δ′_{ε,xo}} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} > S − ε ≥ −m − ε. Se definiamo

δ̃_{ε,x_{o}} = min\{δ_{ε,x_{o}}, δ′_{ε,x_{o}}\} si ottiene che 0 < h ≤ δ̃_{ε,x_{o}} ⇒ −m − ε ≤ \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≤ m + ε.

Prendendo ora N > max\{m + ε, \frac{b − a}{δ̃_{x_{o},m}} \} segue che f ∈ F_{N} in quanto si ottiene sia b − \frac{b−a}{N} > x_{o}

che \frac{b−a}{N} < δ̃_{ε,x_{o}} e la seconda implica la prima essendo δ̃_{ε,x_{o}} < b − x_{o}.

Facciamo vedere che F_{N} è chiuso e non denso in alcun punto ossia F_{N} = \overline{F}_{N} e F^{o}_{N} = ∅. Cominciamo dalla chiusura. Sia {f_{k}} una successione di funzioni appartenenti a F_{N} tale che ∥f_{k} −f∥⟶_{k→+∞}0. Vogliamo mostrare che f ∈ F_{N}. Per definizione, per ogni k vi è un punto x_{k} ∈ [a, b − \frac{b−a}{N}] in cui f_{k} ha rapporto incrementale destro definitivamente limitato. La successione x_{k} ammette una sottosuccessione \{x_{k_{j}}\} convergente ad un punto x_{o} ∈ [a, b − \frac{b−a}{N}]. Chiaramente

f_{k_{j}}(x) → f(x) e quindi f_{k_{j}}(x_{o}) → f(x_{o}). Abbiamo |\frac{f(x_{o} + h) − f(x_{o})}{h}| ≤ ∑_{r=1}^{5} g_{r} dove g_{1} =

|\frac{f(x_{o} + h) − f_{k_{j}}(x_{o} + h)}{h}|, g_{2} = |\frac{f_{k_{j}}(x_{o} + h) − f_{k_{j}}(x_{k_{j}} + h)}{h}|,

g_{3} = |\frac{f_{k_{j}}(x_{k_{j}} + h) − f_{k_{j}}(x_{k_{j}})}{h}|, g_{4} = |\frac{f_{k_{j}}(x_{k_{j}}) − f_{k_{j}}(x_{o})}{h}|, g_{5} = |\frac{f_{k_{j}}(x_{o}) − f(x_{o})}{h}|. Fissiamo

ora h ≠ 0 (avendo in mente che il ragionamento seguente deve potersi ripetere qualunque sia h ≠ 0). Il primo ed il quinto termine sono maggiorabili con ε per la convergenza della sottosuccessione {f_{k_{j}}}. Si tenga presente che tanto più piccolo è h, tanto più grande deve essere k_{j}. Il secondo ed il quarto sono maggiorabili con ε per la continuità delle funzioni coinvolte. Il terzo termine è maggiorabile con N per ipotesi. Dunque la somma è maggiorabile con N +4ε ed essendo ε piccolo a piacere essa è ≤ N. Dunque F_{N} = \overline{F}_{N}. Che F_{N} abbia interno vuoto deriva dal fatto che il complementare è denso. Il complementare è costituito dalle funzioni che in ogni punto di [a, b − \frac{b−a}{N}] ammettono rapporto incrementale destro non minore o uguale in modulo

a N e dal punto di vista insiemistico si scrive come F_{N}^{c} = \{f ∈ Q |∀ x ∈ [a, b − \frac{b − a}{N}] ∃ 0 <

h ≤ \frac{b − a}{N} ∧ |\frac{f(x + h) − f(x)}{h}| > N\}. Tale insieme contiene le funzioni che in ogni punto di [a, b) ammettono rapporto incrementale destro maggiore in modulo di N che a sua volta contiene l’insieme delle funzioni continue, lineari a tratti le quali, nei punti in cui sono derivabili hanno derivata in modulo maggiore di N e nei punti in cui non sono derivabili hanno rapporto incrementale destro maggiore in modulo di N. Tale insieme è denso in C([a, b]; R) con la metrica uniforme ossia quella propria dello spazio C([a, b]; R). Per dimostrare questo consideriamo una funzione continua (detta f) e quindi uniformemente continua. Sia δ_{ε} quella quantità per cui |x − x′| < δ_{ε} ⇒ |f(x) − f(x′)| < ε. Consideriamo il rettangolo [a, b] × [c, d] dove c = min_{a≤x≤b} f(x),

d = max_{a≤x≤b} f(x) e frazioniamolo in rettangolini {R_{i}} in modo tale che: 1) la base dei rettangolini

è lunga δ_{ε} o anche meno dimodoché 1 ≤ i ≤ M dove M ≤ [\frac{b−a}{δ_{ε}}] + 1 e l’altezza è ε 2)

[a, b] = ∪_{i=1}^{M}B_{i} e B_{i} è la base di ciascun rettangolino 3) il grafico della funzione è contenuto in

R =^{def} ∪_{i=1}^{M} R_{i}.

Chiaramente esiste una funzione continua g(x), lineare a tratti il cui grafico è interamente contenuto all’interno di R e tale che, laddove la funzione è derivabile, la sua derivata è maggiore di N in modulo. Laddove non è derivabile, il rapporto incrementale destro è maggiore di N in modulo (basta prendere un “dente di sega”). Chiaramente ∥f − g∥ < ε per costruzione ma la g appartiene all’insieme complementare a F_{N}.

Chiaramente gli stessi argomenti valgono se si fosse considerata la derivata sinistra. Poiché l’unione numerabile (ed a maggior ragione finita) di insiemi di prima categoria è ancora un insieme di prima categoria, ne segue che le funzioni continue che in almeno un punto ammettono rapporto incrementale destro oppure sinistro finiti, costituiscono un sottoinsieme di prima categoria nello spazio delle funzioni continue. A maggior ragione è di prima categoria l’insieme delle funzioni che in almeno un punto sono derivabili (con derivata finita). Infatti tali funzioni debbono avere rapporti incrementali finiti sia a sinistra che a destra ed inoltre debbono avere limite uguale. Segue facilmente il

Corollario 2.10.2 È di prima categoria l’insieme delle funzioni appartenenti a Q tali che in almeno un punto di (a, b) ammettono −∞ < D_{−}(x) ≤ D^{−}(x) < ∞ e/o −∞ < D_{+}(x) ≤ D^{+}(x) < ∞

Dimostrazione Siano dati gli insiemi ∪_{N=1}^{∞}\{f ∈ Q |∃ x ∈ [a, b − \frac{b − a}{N}] : 0 < h ≤ \frac{b − a}{N} ⇒

|\frac{f(x + h) − f(x)}{h}| ≤ N\} =^{def} ∪_{N=1}^{∞} F_{N} e ∪_{N=1}^{∞}\{f |∃ x ∈ [a + \frac{−b + a}{N}, b] : \frac{b − a}{N} ≤ h < 0 ⇒

|\frac{f(x + h) − f(x)}{h}| ≤ N\} =^{def} ∪_{N=1}^{∞} F̃_{N}. Gli insiemi ∪_{N=1}^{∞}F_{N} ∪ (∪_{N=1}^{∞}F̃_{N}) oppure ∪_{N=1}^{∞}F_{N} ∩

∪_{N=1}^{∞}F̃_{N} sono certamente di prima categoria essendo intersezione oppure unione di insiemi di prima categoria per quanto dimostrato nel Teorema

Il Teorema ed il Corollario 2.10.2 ci dicono che è di prima categoria l’insieme delle funzioni continue che in almeno un punto hanno −∞ < D_{+}f(x) ≤ D^{+}f(x) < +∞ e/o −∞ < D_{−}f(x) ≤ D^{−}f(x) < +∞. Ne segue che essendo Q completo, è di seconda categoria e denso il complementare che è costituito dalle funzioni che in ogni punto che verificano: una delle seguenti cinque possibilità : i) D_{+}(x) = D^{+}(x) = +∞, ii) D_{+}(x) = D^{+}(x) = −∞, iii) D_{+}(x) = −∞, D^{+}(x) = +∞, iv) −∞ < D_{+}(x) ∧ D^{+}(x) = +∞, v) −∞ = D_{+}(x) ∧ D^{+}(x) < +∞ oppure una delle una delle seguenti cinque possibilità : vi) D_{−}(x) = D^{−}(x) = +∞, vii) D_{−}(x) = D^{−}(x) = −∞, viii) D_{−}(x) = −∞, D^{−}(x) = +∞, ix) −∞ < D_{−}(x) ∧ D^{−}(x) = +∞, x) −∞ = D_{−}(x) ∧ D^{−}(x) < +∞.

Si tenga ad ogni modo presente che non in tutti i punti può aversi una qualsiasi delle i)–x). Vale infatti il seguente Teorema (vedi [Bo] pag. 122–123 ^{(2.10.2)} e [E]). Nell’esercizio 3) di 18.5 si dimostra lo stesso risultato nell’ipotesi che la funzione sia derivabile.

(2.10.2) L’enunciato e la dimostrazione che si trovano nel libro sono quelli del Teorema 3.10.2. Inoltre la seconda parte

dell’enunciato, che corrisponderebbe alla ii), è sbagliato in quanto lì si dice che il limite superiore sinistro è maggiore

Teorema 3.10.2 Data una funzione continua f: [a, b] → R, se C > \frac{f(b)−f(a)}{b−a} allora si verifica

1) esiste una infinità non–numerabile di punti x, x′

i) \overline{lim}_{h→0^{+}} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≤ C ii) \overline{lim}_{h→0^{−}} \frac{f(x′ + h) − f(x′)}{h} ≤ C

Se c < \frac{f(b)−f(a)}{b−a} allora si verifica

2) esiste una infinità non–numerabile di punti x, x′

iii) \underline{lim}_{h→0^{−}} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≥ c iv) \underline{lim}_{h→0^{+}} \frac{f(x′ + h) − f(x′)}{h} ≥ c

Dimostrazione Sia data la funzione g(x) = f(x) − f(a) − k \frac{x − a}{b − a} e k > f(b) − f(a) per cui

g(a) = 0 mentre g(b) = f(b) − f(a) − k < 0. Prendiamo un valore s tale che 0 = g(a) > s > g(b) e consideriamo l’insieme g^{(−1)}([s, M]) ∩ [a, b] dove M = max_{[a,b]} g(x). Tale insieme è

compatto e quindi ammette massimo che chiamiamo x_{s} e che non può essere uguale a b in quanto essendo x_{s} ∈ g^{(−1)}([s, M]) si ha g(x_{s}) ≥ s. Per costruzione inoltre si ha x > x_{s} ⇒

g(x) < g(x_{s}) e ciò implica sup_{x>x_{s}} \frac{g(x) − g(x_{s})}{x − x_{s}} ≤ 0; ne segue che \overline{lim}_{x→x_{s}^{+}} \frac{g(x) − g(x_{s})}{x − x_{s}} ≤ 0; ossia

\overline{lim}_{x→x_{s}^{+}} \frac{f(x) − f(x_{s})}{x − x_{s}} − \frac{k}{b − a} ≤ 0; . Dalla continuità della funzione g(x) segue che g(x_{s}) = s e

quindi se cambia s cambia x_{s} da cui la non–numerabilità . La i) di 1) è dimostrata. Nella stessa situazione prendiamo g^{(−1)}([m, s])∩[a, b] ≠ ∅ essendo s > g(b) e dove m = min_{[a,b]} g(x).

In tal caso g^{(−1)}([m, s])∩[a, b] ha un minimo y_{s} che non può essere uguale ad a in quanto g(a) = 0.

In modo analogo a prima abbiamo che x < y_{s} ⇒ g(x) > g(y_{s}) per cui sup_{x<y_{s}} \frac{g(x) − g(y_{s})}{x − y_{s}} ≤ 0;

ne segue che \overline{lim}_{x→y_{s}^{−}} \frac{g(x) − g(y_{s})}{x − y_{s}} ≤ 0; ossia \overline{lim}_{x→y_{s}^{−}} \frac{f(x) − f(y_{s})}{x − y_{s}} − \frac{k}{b − a} ≤ 0; e la conclusione

è la ii) di 1). Per ottenere le altre si deve prendere k < f(b) − f(a)

Enunciamo e dimostriamo ora il seguente Teorema. (vedi [S] dove si dice che il risultato è ottenibile attraverso una diretta applicazione delle tecniche usate per dimostrare il Teorema). Le uniche referenze in cui ho trovato la dimostrazione sono [BG] e [Br1] pag.143 dove però è ottenuta come corollario di un teorema più generale e secondo l’opinione di chi scrive è meno diretta della seguente. Altre referenze dove si cita tale risultato senza dimostrazione sono [Br] e [O] pag. 46, righe 22 e 23 dall’alto.

Teorema 4.10.2 È di prima categoria l’insieme delle funzioni di Q le quali, in almeno un punto di (a, b) ammettono derivata bilatera infinita Osservazioni i) Di conseguenza è di seconda categoria il sottoinsieme di X delle funzioni che in nessun punto di (a, b) ammettono derivata bilatera infinita ii) Nell’enunciato si intende che se a destra la derivata è ±∞ allora a sinistra è ±∞ (hanno lo stesso segno).

Dimostrazione Sia S l’insieme delle funzioni di Q le quali, in almeno un punto di (a, b) ammettono derivata bilatera infinita.

F_{n,m} = \{f ∈ Q | ∃ x ∈ [a + \frac{b − a}{n}, b − \frac{b − a}{n}], ∃ ξ_{n,m} > 0, λ_{n,m} ≤ \frac{b − a}{n} indipendenti da f,

od uguale ad un numero c che è strettamente minore di \frac{f(b)−f(a)}{b−a} . Infatti nella edizione degli anni novanta contenente alcune pagine in più , si corregge tale errore dicendo che il limite inferiore destro è minore o uguale ad un numero che è strettamente maggiore di \frac{f(b)−f(a)}{b−a} .

λ_{n,m} − ξ_{n,m} > \frac{1}{m} : ξ_{n,m} ≤ |h| ≤ λ_{n,m} ⇒ \frac{f(x+h)−f(x)}{h} ≥ n\} e sia

E_{n,m} = \{f ∈ Q | ∃ x ∈ [a + \frac{b − a}{n}, b − \frac{b − a}{n}], ∃ ξ_{n,m} > 0, λ_{n,m} ≤ \frac{b − a}{n} indipendenti da f,

λ_{n,m} − ξ_{n,m} > \frac{1}{m} : ξ_{n,m} ≤ |h| ≤ λ_{n,m} ⇒ \frac{f(x+h)−f(x)}{h} ≤ −n\}

Chiaramente si ha S ⊂ ∪_{n=2}^{∞} ∪_{m=1}^{∞} (F_{n,m} ∪ E_{n,m}). Infatfi se Q(h) = \frac{f(x + h) − f(x)}{h} h ≠

0, Q è una funzine continua di h e quindi Q^{−1}[n, +∞) è un insieme chiuso che contiene un

intervallo chiuso. Vogliamo dimostrare che F_{n,m} = \overline{F}_{n,m} e F^{o}_{n,m} = ∅ (lo stesso dicasi per E_{n,m}). Cominciamo dalla chiusura. Sia f_{k} → f una successione dove f_{k} ∈ F_{n,m}. Per ogni k vi è un x_{k} e quindi una sottosuccessione x_{k_{j}} tale che x_{k_{j}} ⟶_{j→+∞}x_{o} e x_{o} ∈ [a+ \frac{b−a}{n}, b− \frac{b−a}{n}]. Scriviamo quindi

\frac{f(x_{o} + h) − f(x_{o})}{h} ≥ g_{1} −∑_{i=2}^{5} |g_{i}| e g_{1} = \frac{f_{k_{j}}(x_{k_{j}} + h) − f_{k_{j}}(x_{k_{j}})}{h}, g_{2} = \frac{f(x_{o} + h) − f_{k_{j}}(x_{o} + h)}{h},

g_{3} = \frac{f_{k_{j}}(x_{o} + h) − f_{k_{j}}(x_{k_{j}} + h)}{h}, g_{4} = \frac{f_{k_{j}}(x_{k_{j}}) − f_{k_{j}}(x_{o})}{h}, g_{5} = \frac{f_{k_{j}}(x_{o}) − f(x_{o})}{h}. Procedendo

esattamente come prima nel caso del Teorema si ha:

∀ ε > 0 ∀ ξ_{n,m} < |h| < λ_{n,m} \frac{f(x_{o} + h) − f(x_{o})}{h} > n − 4ε da cui ≥ n

Ne segue che f ∈ F_{n,m}. Dobbiamo far vedere ora che F^{o}_{n,m} = ∅. Basta chiaramente far vedere che \overline{F^{c}}_{n,m} = X. F_{n,m}^{c} è l’insieme delle funzioni per le quali, in ogni punto si verifica:

F_{n,m}^{c} = \{f ∈ Q: ∀ x ∈ [a + \frac{b − a}{n}, b − \frac{b − a}{n}], ∀ 0 < ξ < λ < \frac{b − a}{n}, λ − ξ > \frac{1}{m}, ∃ h_{o}: ξ < |h_{o}| <

λ ∧ n > \frac{f(x + h_{o}) − f(x)}{h_{o}}\}.

Vogliamo dimostrare che le funzioni lineari a tratti e la cui pendenza nei punti in cui sono derivabili è sufficientemente elevata sono un sottoinsieme di F_{n,m}^{c} per qualsiasi n, m. Poiché tali funzioni sono dense in Q, ne segue che \overline{F^{c}}_{n,m} = Q.

Fissiamo quindi x ∈ [a + \frac{b − a}{n}, b − \frac{b − a}{n}] ed il valore intero n ≥ 2. Siano dati ξ, λ tali che

0 < ξ < λ < \frac{b − a}{n}, λ−ξ = \frac{1}{m} e siano a′ = x_{o}+ξ, b′ = x_{o}+λ. Consideriamo una funzione lineare a tratti p(x) tale che p(a) = p(b) = 0 (altrimenti si considera p(x) + αx + β con opportuni α e β). Se T < \frac{1}{2m} è la distanza massima sull’asse delle x fra due estremi consecutivi, dal Teorema di Weieestrass sulle funzioni continue segue che esiste y ∈ (ξ, λ) tale che p(x) = p(y) e quindi

\frac{p(x + h_{o}) − p(x)}{h_{o}} = 0 < n, x + h_{o} = y.

Quanto abbiamo ottenuto da Teorema 4.10.2 ci dice che nel senso della categoria quasi nessuna funzione ammette in almeno un punto derivata bilatera che sia +∞ oppure −∞. Riunendo con il Teorema possiamo dire che nel senso della categoria quasi nessuna funzione in almeno un punto ammette derivata unilatera finita e neppure derivata bilatera infinita. A questo punto ci si può chiedere quanto numerose siano nel senso della categoria le funzioni che in almeno un punto ammettano derivata unilatera infinita. Contrariamente a quanto ci si aspetterebbe dai teoremi testé dimostrati, esse sono numerose. Sono quindi rare le funzioni che in almeno un punto ammettono derivata bilatera infinita mentre sono numerose le funzioni che in almeno un punto ammettono derivata unilatera infinita. Le funzioni non derivabili in nessun punto che comunemente si trovano nei libri di testo appartengono ai casi citati (vedi Appendice 7.. Trovare funzioni non derivabili che in nessun punto ammettono derivata unilatera infinita è molto difficile (vedi [Be], [Pe], [Mo], [Ma] e le referenze internamente scritte alcune delle quali testé citate,) e la ragione sta nel contenuto del teorema che segue (vedi [S]) ^{(3.10.2)}. Prima di darne enunciato e dimostrazione cerchiamo di capire perché non è di prima categoria l’insieme

delle funzioni continue che in almeno un punto ammettono derivata destra infinita. Tale

insieme, detto S̃ è sottoinsieme di ∪_{n=2}^{∞} ∪_{m=1}^{∞} (F̃_{n,m} ∪ Ẽ_{n,m}), dove

F̃_{n,m} = \{f ∈ Q | ∃ x ∈ [a, b− \frac{b − a}{n}], ∃ ξ_{n,m} > 0, λ_{n,m} ≤ \frac{b − a}{n} indipendenti da f, λ_{n,m}−ξ_{n,m} >

\frac{1}{m} : ξ_{n,m} ≤ h ≤ λ_{n,m} ⇒ \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≥ n\} e

Ẽ_{n,m} = \{f ∈ Q | ∃ x ∈ [a, b− \frac{b − a}{n}], ∃ ξ_{n,m} > 0, λ_{n,m} ≤ \frac{b − a}{n} indipendenti da f, λ_{n,m}−ξ_{n,m} >

\frac{1}{m} : ξ_{n,m} ≤ h ≤ λ_{n,m} ⇒ \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≤ −n\}

Se S̃ fosse di prima categoria e volessimo riproporre l’argomento di prima dovremmo dimostrare

che F̃_{n,m}^{c} = \{f ∈ Q: ∀ x ∈ [a, b − \frac{b − a}{n}], ∀ 0 < ξ < λ < \frac{b − a}{n}, λ − ξ > \frac{1}{m}, ∃ h_{o}: ξ < h_{o} <

λ ∧ n > \frac{f(x + h_{o}) − f(x)}{h_{o}}\} n ≥ 2, è denso in X. Questo è impossibile in relazione alla seconda

parte del ragionamento precedente. Infatti non è specificato se x < a′ < b′ oppure b′ < a′ < x. È essenziale la possibilità di avere rapporti incrementali arbitrariamente grandi a sinistra oppure a destra. Nel caso in questione si possono avere grandi solo a destra.

Diamo ora enunciato e dimostrazione del Teorema di Saks

Teorema di S.Saks La classe delle funzioni continue in (0, 1) che hanno derivata destra +∞ in un insieme avente la potenza del continuo, è di seconda categoria in ogni sfera aperta dell’insieme Q ^{(4.10.2)}

Prima ci vuole un lemma

Lemma Sia x(t) una funzione continua in (a, b) e supponiamo che si abbia la condizione |x(t) − mt + n| < \frac{b−a}{8}ε con m > 0 e ε > 0 per ogni a ≤ t ≤ b (successivamente indicata con (1)). Allora esiste nell’intervallo (a, \frac{a+b}{2}) un insieme non–numerabile di punti c per i quali si ha x(t) − x(c) ≥ (m − ε)(t − c) per ogni c ≤ t ≤ b (successivamente indicata con (2))^{(5.10.2)}.

Dimostrazione Supponiamo che i punti c (a ≤ c ≤ \frac{a+b}{2}) soddisfacenti la (2) siano in quantità numerabile e quindi siano essi {c_{j}}. Sia η un numero positivo arbitrario. Consideriamo l’insieme T costituito dai punti t che verificano la relazione x(t) − x(a) ≤ (m − ε)(t − a) + ∑_{n:c_{n}≤t} \frac{η}{2^{n}} (successivamente indicata con (3)) dove la somma è estesa solamente ai valori di n per cui c_{n} ≤ t. Sia T_{0} un maggiorante di T. Facciamo vedere che T_{0} ≥ \frac{a+b}{2}. Infatti se t è un punto arbitrario di (a, \frac{a+b}{2}) che verifica la (3) ma non appartiene alla successione \{c_{j}\} allora per ipotesi esiste u > t tale che x(u) − x(t) < (m − ε)(u − t) in quanto se così non fosse allora, per ipotesi, si avrebbe x(u)−x(t) ≥ (m−ε)(u−t) per ogni u > t e questo implicherebbe che t ∈ {c_{k}}. Riunendo il tutto otteniamo x(u)−x(a) = ((x(u)−x(t))+(x(t)−x(a)) ≤ (m−ε)(u−t)+(m−ε)(t−a)+∑_{n:c_{n}≤t} \frac{η}{2^{n}} e dunque ∀ t ∈ (a, \frac{a+b}{2}) ∃ u > t: u ∈ T da cui segue che t non può essere un maggiorante dell’insieme T. Il secondo caso è quello per cui t ∈ {c_{i}} per cui supponiamo che t = c_{k}. Abbiamo per ipotesi la relazione x(c_{k}) − x(a) ≤ (m − ε)(c_{k} − a) + ∑_{n:c_{n}≤c_{k}} \frac{η}{2^{n}} . Inoltre per continuità della funzione x(t) abbiamo che esiste u > c_{k} tale che x(u) − x(c_{k}) < \frac{η}{2^{k}} e sommando si ottiene x(u) − x(a) = (x(u) − x(c_{k})) + (x(c_{k}) − x(a)) ≤ \frac{η}{2^{k}} + (m − ε)(c_{k} − a) + ∑_{n:c_{n}≤c_{k}} \frac{η}{2^{n}} ≤ \frac{η}{2^{k}} +(m−ε)(u−a)+∑_{n:c_{n}≤c_{k}} \frac{η}{2^{n}} ≤ (m−ε)(u−a)+∑_{n:c_{n}≤u} \frac{η}{2^{n}} . Ne segue che u > c_{k} verifica la (3) e quindi t non può essere maggiorante dell’insieme T. Abbiamo fino ad ora stabilito che un qualsiasi maggiorante dell’insieme T appartiene all’intervallo (a, \frac{a+b}{2}). Ora possiamo stabilire la catena di disuguaglianze per T_{0} maggiorante dell’insieme T \frac{b−a}{4}ε ≥ |x(T_{0}) − m_{T_{0}} + n| + |x(a) − ma + n| ≥ |(x(T_{0}) − m_{T_{0}} + n)) − (x(a) − ma + n)| ≥ m(T_{0} − a) − |x(T_{0}) − x(a)| ≥ m(T_{0} − a) − (m − ε)(T_{0} − a) − ∑_{n:c_{n}≤T_{0}} \frac{η}{2^{n}} > ε(T_{0} − a) − η > \frac{b−a}{2}ε − η e questo è una contraddizione non appena η è piccolo.

(3.10.2) Forse è il caso di ricordare che Saks fu ucciso per mano della Gestapo durante l’occupazione della Polonia.

Purtroppo numerosi appartenenti alla fiorentissima scuola matematica polacca nata all’inizio del ventesimo secolo, furono uccisi per mano dei Nazisti. Chi fosse interessato può leggere gli articoli [Ku] e [Ku1]. In tali articoli si ripercorre la storia della matematica sviluppatasi in Polonia dai primi del 1900 fino alla seconda guerra e vengono elencati alcuni (quelli più noti) fra coloro che furono purtroppo uccisi. Si possono inoltre leggere due delle pagine iniziali del volume di Fundamenta Mathematicae che venne pubblicato nel 1945 per avere un’idea di quanto accadde (le pagine sono in formato jpg) ed il link per il loro scaricamento si può trovare accanto al link per il file presente (4.10.2) Per quanto mi è dato conoscere, non ho trovato in nessun libro da me consultato la riproposizione della di-

mostrazione. Al contrario il Teorema si trova in numerosi testi (5.10.2) Ai fini della applicazione del lemma basta che i punti c siano due

Passiamo ora alla dimostrazione del Teorema di S.Saks

Dimostrazione Sia K una qualsiasi sfera aperta nello spazio C =^{def}C((0, 1)); R) ed {A_{n}} una suc-

cessione di insiemi tale che A_{n} ⊂ C ed inoltre \overline{A}_{n}^{o} = ∅. Si mostrerà che nell’insieme K\ ∪_{k=1}^{∞} A_{k} vi è almeno una funzione la cui derivata destra esiste ed è +∞ in un insieme di punti P tale che P′ = P (da cui la non–numerabilità ). Ora K è di seconda categoria (non è completo^{(6.10.2)} ) e quindi K\ ∪_{n=1}^{∞} A_{k} è di seconda categoria. Poiché K è arbitraria ne segue che l’insieme delle funzioni che in ogni punto di un insieme non–numerabile (che dipende dalla funzione) ammettono derivata destra uguale a +∞ costituisce un insieme di seconda categoria in C. A tal fine si definisce: una successione di intervalli, una successione di funzioni x_{j}(t), 0 ≤ t ≤ 1, ed una successione di sfere aperte K_{j} in C, di raggio r_{j}, che soddisfano le A)–E) seguenti.

A) K_{0} = K, K_{j+1} ⊂ K_{j}, (j = 0, 1, …), \overline{K}_{j} ∩ \overline{A}_{j} = ∅ j ≥ 1

B) x_{j}(t) = centro di K_{j} (j = 0, 1, …), r_{j} ≤ (j + 1)^{−1}

C) I_{n_{1},n_{2},...,n_{j−1},n_{j}} ⊂ I_{n_{1},n_{2},...,n_{j−1}} I_{n_{1},n_{2},...,n_{j−1},0} ∩ I_{n_{1},n_{2},...,n_{j−1},1} = ∅

|I_{n_{1},n_{2},...,n_{j−1},n_{j}}| ≤ j^{−1} (j ≥ 1, n_{j} = 0, 1) D) x_{j}(t) = jt + c in ogni intervallo I_{n_{1},n_{2},...,n_{j−1},n_{j}}

E) t ∈ I_{n_{1},n_{2},...,n_{j}} ∧ u ∈ (b_{n_{1},n_{2},...,n_{i+1}}, b_{n_{1},n_{2},...,n_{i}}) (1 < i < j) ⇒ \frac{x_{j}(u) − x_{j}(t)}{u − t} > i − 2

A parere di chi scrive la condizione E) potrebbe essere rimpiazzata dalla condizione t = b_{n_{1},n_{2},...,n_{j}} ∧ u ∈ (b_{n_{1},n_{2},...,n_{i+1}}, b_{n_{1},n_{2},...,n_{i}}) (1 < i < j) ⇒ \frac{x_{j}(u)−x_{j}(b_{n_{1},n_{2},...,n_{j}})}{u−b_{n_{1},n_{2},...,n_{j}}} > j − 1 (che chiamiamo E′). Ne vedremo fra poco il motivo. Supponiamo di avere dimostrato le proprietà A)–E). La successione {x_{j}} è uniformemente convergente e quindi converge ad una funzione continua x(t) ∈ K\ ∪_{n=1}^{∞} A_{n}. Si dimostra ora che x′_{+}(t) = +∞ in un insieme perfetto di punti. Per una data successione {n_{k}} costituita solamente

da zero ed uno consideriamo il punto t_{n_{1},n_{2},...,n_{j},...} =^{def}I_{n_{1}} ∩I_{n_{1},n_{2},}∩I_{n_{1},n_{2},n_{3}} ∩…∩I_{n_{1},n_{2},...,n_{j}} (fac-

ciamo vedere dopo che al variare di {n_{k}}, l’insieme ottenuto è un insieme perfetto). Sappiamo da E che \frac{x_{j}(u)−x_{j}(t)}{u−t} > i−2 per t ∈ I_{n_{1},n_{2},...,n_{j}} ∧ u ∈ (b_{n_{1},n_{2},...,n_{i+1}}, b_{n_{1},n_{2},...,n_{i}}) e 1 < i < j; ne segue che t < u (nel caso in cui i = j −1 si avrebbe t ∈ I_{n_{1},n_{2},...,n_{j}} e u ∈ (b_{n_{1},n_{2},...,n_{j}}, b_{n_{1},n_{2},...,n_{j−1}}) per cui anche in questo caso x ≠ t anche se la loro distanza potrebbe ridursi a zero). Se j > i > 1 allora t_{n_{1},n_{2},...,n_{j},n_{j+1}...} ∈ I_{n_{1},n_{2},...,n_{j}} ⇒ b_{n_{1},n_{2},...,n_{i},} > u > t_{n_{1},n_{2},...,n_{j},...} e quindi si ha la

disuguaglianza \frac{x_{j}(u)−x_{j}(t_{n_{1},n_{2},...,n_{j} ,...})}{u−t_{n_{1},n_{2},...,n_{j} ,...}} > i − 2. Passando al limite per j → +∞ si ha \frac{x(u)−x(t_{n_{1},n_{2},...,n_{j} ,...})}{u−t_{n_{1},n_{2},...,n_{j} ,...}} > i − 2 per i = 1, 2, … e b_{n_{1},n_{2},...,n_{i},} > u > t_{n_{1},n_{2},...,n_{j},...}. La conseguenza è che x′_{+}(t_{n_{1},n_{2},...,n_{j},...}) = +∞ in ogni punto di I che è un insieme perfetto in uno spazio completo ([0, 1]) e quindi è non–numerabile (come dimostrato nel corollario 2.10.2). Rimane da far vedere ora che è perfetto l’insieme dei punti t_{n_{1},n_{2},...,n_{j},...} al variare di {n_{k}}. Il punto t_{n_{1},n_{2},...,n_{j},...} è limite di una successione convergente i cui punti sono estremi degli intervalli I_{n_{1},n_{2},...,n_{j}} = I_{n_{1},n_{2},...,n_{j},0,...,0} che quindi appartengono all’insieme che stiamo studiando. Dunque il risultato è acquisito. Rimangono da verificare le proprietà A)–E). Si effettua la dimostrazione per induzione. Supponiamo che gli oggetti citati in A)–E) siano stati già trovati per

(6.10.2) È un fatto ben noto che l’intervallo (0,1) non è uno spazio metrico completo e neppure lo spazio metrico C è

completo con la metrica usuale del sup su (0,1). Una qualsiasi sfera aperta in C non è un insieme completo; ciononostante è di seconda categoria. Questo lo si vede osservando che è chiuso e non denso in alcun punto l’insieme delle funzioni f appartenenti a C tali che l’estremo superiore, preso in (0,1), è uguale ad un numero prefissato L.

j = 1, 2, …, r. Vogliamo trovarli per j = r + 1. Sappiamo che \overline{A}_{r}^{o} = ∅ per cui in ogni intorno di x_{r}(t), che è il centro di A_{r}, vi è un altro intorno (diciamo U) tale che U ∩A_{r} = ∅. Da questo segue che si può trovare una funzione continua g(t), vicina a x_{r}(t), tale che g ∈ K_{r}\\overline{A}_{r}. Ora x_{r}(t) è lineare in I_{n_{1},n_{2},...,n_{r}}. Applicando il Lemma si può determinare g abbastanza vicina a x_{r} ed in modo

tale che esistano due punti b_{n_{1},n_{2},...,n_{r},0} e b_{n_{1},n_{2},...,n_{r+1},1} tali che \frac{g(t)−g(b_{n_{1},n_{2},...,nr ,n_{r+1}} )}{t−b_{n_{1},n_{2},...,nr ,n_{r+1}}} > r − 1 per b_{n_{1},n_{2},...,n_{r},n_{r+1}} < t < b_{n_{1},n_{2},...,n_{r},n_{r}}. Ora modifichiamo leggermente g(t) rimpiazzandola con funzione h(t) lineare e con coefficiente r + 1 in una coppia di intervalli δ′_{n_{1},n_{2},...,n_{r}} e δn_{1},n_{2},...,n_{r}^{′′} appartenenti ambedue a I_{n_{1},n_{2},...,n_{r}} i cui estremi destri sono i punti b_{n_{1},n_{2},...,n_{r},0} e b_{n_{1},n_{2},...,n_{r},1} rispettivamente. Possiamo fare in modo che la lunghezza di tali intervalli sia abbastanza piccola (ad esempio meno di \frac{1}{j+1}) ed inoltre h(t) abbastanza vicino a g(t) in modo tale da avere

h(t) ∈ K_{r}\\overline{A}_{r} e \frac{h(t)−h(b_{n_{1},n_{2},...,nr ,n_{r+1}} )}{t−b_{n_{1},n_{2},...,nr ,n_{r+1}}} > r − 1 per b_{n_{1},n_{2},...,n_{r},n_{r+1}} < t < b_{n_{1},n_{2},...,n_{r},n_{r}}. La fun-

zione h(t) così ottenuta sarà la funzione x_{r+1}(t) e gli intervalli δ′_{n_{1},n_{2},...,n_{r}}, δn_{1},n_{2},...,n_{r}^{′′} saranno gli intervalli ottenuti al passo r + 1, I_{n_{1},n_{2},...,n_{r},0} e I_{n_{1},n_{2},...,n_{r},1}. Da ultimo prendiamo una sfera aperta con centro x_{r+1}, raggio minore di \frac{1}{r+1} in modo tale che K_{r+1} ⊂ K_{r} e \overline{K}_{r+1} ∩ \overline{A}_{r+1} = ∅. Le proprietà A)–D) sono evidenti. Resta da far vedere la E). Il punto è che guardando alla dimostrazione sembra che sia necessaria una condizione tipo la E’). In altre parole sembra che la variabilità della t nella condizione E) non sia affatto necessaria ma sia sufficiente considerare t = b_{n_{1},n_{2},...,n_{j}}

Le funzioni continue e mai derivabili sono “alquanto numerose” ed un campionario è dato nell’

Appendice 7

Attraverso il Teorema di Baire si risolvano gli esercizi seguenti

1) È data la funzione f: [0, 1] → R continua. Si definisce f_{k}(x) ≐ ∫_{0}^{x} dx_{1}f(x_{1}) ∫_{0}^{x_{1}} dx_{2}f(x_{2}) … ∫_{0}^{x_{k−1}} dx_{k}f(x_{k}) e si suppone che per ogni x ∈ [0, 1] esiste un valore di k (che sarà lo stesso per infiniti valori di x) tale che f_{k}(x) = 0. Se ne concluda che f ≡ 0 (se accade che f_{k} ≡ 0 la conclusione è ovvia. L’esercizio è preso da [Bo]

2) Si consideri la retta reale e si ordini l’insieme dei numeri razionali ossia si costruisca una corrispondenza f: Q ⊂ R → N che sia biunivoca. Sia Q = ∪_{r_{k}∈Q}{r_{k}}. Intorno a ciascun numero razionale e centrato in esso si consideri un intervallo aperto di lunghezza 2^{−k−n} dove k sta ad indicare il numero razionale mentre n è un numero intero positivo. Sia A_{k,n} l’intervallo costruito e si consideri l’insieme A ≐ ∩_{n=1}^{∞} ∪_{k=1}^{∞} A_{k,n} ≐ ∩_{n=1}^{∞}A_{n}. Si dimostri che:

2.1) A è ovunque denso

2.2) Per ogni ε > 0, A può essere ricoperto da un’unione numerabile di intervalli aperti la somma delle cui misure è minore di ε (ha quindi misura di Lebesgue nulla ^{(7.10.2)})

(7.10.2) Il concetto di misura di Lebesgue verrà affrontato in uno dei moduli successivi a quelli cui tale raccolta di esercizi si

riferisce. Ad ogni modo la definizione di insieme avente misura di Lebesgue nulla è facile da enunciare (vedi l’esercizio

2.3) A non è un F_{σ} ossia non può scriversi come unione numerabile di insiemi chiusi.

Dal terzo punto se ne conclude che non può esistere una funzione le cui discontinuità sono esattamente date da A pur avendo misura di Lebesgue nulla Notare la profonda differenza fra tale insieme e l’insieme Q. Per quest’ultimo valgono le prime due affermazioni ma non la terza ed infatti la funzione dell’esercizio 6.5** ha proprio Q quale insieme delle sue discontinuità .

Al contrario l’insieme Q^{c} soddisfa la prima e terza affermazione ma non la seconda.

3) È dato un intervallo chiuso e limitato in R; dimostrare che non può essere scritto come unione numerabile di insiemi chiusi disgiunti

4) Sia data la funzione continua f: [0, ∞) → R tale che lim_{n→+∞} f(nx) = 0 per ogni x > 0. Si dimostri che lim_{x→+∞} f(x) = 0

Dimostrazione di 1) Supponiamo che f(x_{0}) ≠ 0. Dalla continuità segue che esiste un intervallo aperto U che contiene x_{0} e tale che f(x) ≠ 0 per x ∈ U. Sia K un intervallo chiuso e limitato contenuto in U. Per ipotesi ∀ x ∈ K ∃k_{x} | f_{k_{x}}(x) ≠ 0. Sia A_{j} = {x ∈ [0, 1] | f_{j}(x) = 0}; A_{j} è un insieme chiuso (perché?)^{(8.10.2)} e limitato ed inoltre K = ∪_{j=0}^{∞}K ∩ A_{j}. K è uno spazio metrico completo (perché?) ^{(9.10.2)} e quindi almeno uno degli insiemi K ∩ A_{j} ha interno non vuoto da cui segue che vi è un intervallo B ⊂ K ∩ A_{j} in cui f_{j} ≡ 0. Derivando si arriva a f ≡ 0 per x ∈ B contrariamente all’ipotesi.

Dimostrazione delle affermazioni 2. 2.1) A ⊃ Q ⇒ \overline{A} ⊃ \overline{Q} = R 2.2) La famiglia di intervalli {A_{k,n}}_{k=1}^{∞} è unione numerabile di insiemi aperti la somma delle cui misure è maggiorata da ∑_{k=0}^{∞} 2^{−k−n} = \frac{2}{2^{n}} = \frac{1}{2^{n−1}} . La intersezione ∩_{n=1}^{∞}A_{n}, essendo sottoinsieme di ciascun A_{n}, sarà ricopribile con intervalli aperti in quantità numerabile la somma delle cui misure è minore di \frac{1}{2^{n−1}} per ogni n e quindi è verificata la seconda proprietà . 2.3) Il complementare di A è dato da A^{c} = ∪_{n=1}^{∞} ∩_{k=1}^{∞} A_{k,n}^{c} ≐ ∪_{n=1}^{∞}B_{n} ed essendo A_{k,n}^{c} = (−∞, r_{k} − \frac{1}{2^{k+n}}] ∪ [r_{k} + \frac{1}{2^{k+n}} , +∞) un insieme chiuso ne segue che B_{n} = \overline{B}_{n}. Dunque si ha A^{c} = ∪_{n=1}^{∞}\overline{B}_{n}.

Poiché A^{c} ∩ Q = ∅ ne segue che A^{c}^{o}= ∅. Supponiamo ora che A possa scriversi come unione numerabile di insiemi chiusi ossia A = ∪_{k=1}^{∞}C_{k} dove C_{k} = \overline{C}_{k}. Si ha R = (∪_{k=1}^{∞}C_{k}) ∪ (∪_{n=1}^{∞}\overline{B}_{n}).

B^{o}_{n} = ∅ e quindi, essendo R di seconda categoria, segue che almeno uno dei C_{k} deve avere

interno non vuoto. Se si dimostra che A^{o} = ∅, si entra in contraddizione con il fatto che A possa essere scritto come un insieme di tipo F_{σ}. Sia dunque p ∈ A e sia S(p; s) una intervallo aperto con centro in p di lunghezza 2s. Dobbiamo far vedere che S(p; s) ⊄ A. Infatti precedentemente abbiamo mostrato che A si può ricoprire con una unione di insiemi aperti la somma delle cui misure è piccola a piacere e quindi più piccola di 2s qualunque sia s.

Da ultimo facciamo notare come l’insieme A abbia misura di Lebesgue nulla ma sia di seconda categoria mentre A^{c} sia prima categoria ma abbia misura di Lebesgue uguale ad 1. Infatti essendo A^{c} = ∪_{n=1}^{∞}B_{n} = ∪_{n=1}^{∞}\overline{B}_{n} e B^{o} _{n} = ∅ ne segue che è di prima categoria ma ha chiaramente misura 1 essendo il complementare di un insieme di misura nulla. D’altro canto se A^{c} è di prima categoria, A deve essere di seconda categoria ossia si può scrivere come unione numerabile di

34.8***).

(8.10.2) perché è la controimmagine continua di un insieme chiuso (9.10.2) perché è un sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico completo

insiemi A = ∪_{k=1}^{∞}U_{k} e \overline{U}^{o}_{k_{o}} ≠ ∅ per almeno un k_{o}. Non vi è contraddizione con il fatto che A non è un F_{σ} in quanto non si richiede che tutti gli U_{k} siano chiusi. La decomposizione della retta reale nell’unione di A e del suo complementare A^{c} è interessante in quanto mette in luce che misura di Lebesgue e categoria danno luogo ad insiemi di “grandezza” diversa. A^{c} ha misura uno ma è rappresentabile come unione di insiemi “pieni di buchi”. D’altro canto A ha misura nulla ma se lo si scrive come unione numerabile allora A ed i suoi punti di accumulazione debbono avere interno non vuoto ossia debbono riempire una sferetta (oltre ad essere densi).

Dimostrazione di 3)

Supponiamo che K = ∪_{i=1}^{∞}C_{i} dove \overline{C}_{i} = C_{i}. Quindi si ha K = ∪_{i=1}^{∞}C_{i} = ∪_{i=1}^{∞}C^{o}_{i} ∪_{i=1}^{∞} ∂C_{i}

da cui K\ ∪_{i=1}^{∞} C^{o}_{i} = ∪_{i=1}^{∞}∂C_{i}. K\ ∪_{i=1}^{∞} C^{o}_{i} è un insieme chiuso e limitato e quindi compatto e quindi completo. Per il Teorema di Baire almeno un ∂C_{j} deve avere interno non vuoto e questo è impossibile se C_{j} è un insieme chiuso oppure aperto (vedi esercizio 9.1.5*).

Dimostrazione di 4) Supponiamo che il limite non sia zero. Allora ∃ ε > 0 : ∀ n > 0 ∃ x_{n} > n: |f(x_{n})| ≥ ε. Essendo la funzione continua, intorno a ciascun x_{n} si può considerare un intorno aperto U_{x_{n}} tale che |f(x)| ≥ \frac{ε}{2} ∀ x ∈ U_{x_{n}}.

Sia ora E_{n,j} =^{def}\{x: |f(xn)| < \frac{1}{j}\}; si ha ∩_{n=1}^{∞}E_{n,ε} ⊂ [0, +∞). Ora E_{n,ε} = E^{o}_{n,ε} in quanto f è

continua ed inoltre \overline{E}_{n,ε} = [0, +∞) in quanto qualunque sia l’aperto O ⊂ [0, ∞), prendendo x sufficientemente piccolo si può arrivare ad avere nx ∈ O e contemporaneamente |f(xn)| < ε. Ma allora ∩_{n=1}^{∞}E_{n,ε} è residuale e quindi è denso anche esso. Prendiamo quindi gli insiemi U_{x_{n}} di prima. Per ogni n, all’interno di U_{x_{n}} deve esservi un elemento di ∩_{n=1}^{∞}E_{n,ε} da cui la contraddizione Tra l’altro (anche se non entra nella dimostrazione) si ha [0, +∞) = ∩_{j=1}^{∞} ∪_{k=1}^{∞} ∩_{n=k}^{∞}E_{n,j}. Si ha pure [0, +∞) = ∪_{k=1}^{∞} ∩_{n=k}^{∞} E_{n,ε} per un certo ε > 0. Infatti [0, +∞) = ∩_{j=1}^{∞} ∪_{k=1}^{∞} ∩_{n=k}^{∞}E_{n,j} ⊂ ∪_{k=1}^{∞} ∩_{n=k}^{∞} E_{n,ε}. D’altro canto ∪_{k=1}^{∞} ∩_{n=k}^{∞} E_{n,j} ⊂ [0, +∞) e quindi devono essere uguali.

Quello che ora facciamo è dare un’altra decomposizione della retta in due insiemi disgiunti A e B tali che A è di prima categoria ma ha misura piena mentre B è di seconda categoria ma ha misura nulla. Tale decomposizione è classica; si veda [O] pag. 6–9

Definizione Si dice che ξ ∈ R\Q è un numero di Liouville se per ogni numero positivo n esiste un numero razionale \frac{p_{n}}{q_{n}} , (p_{n}, q_{n}) = 1, q_{n} ∈ N\\{1\}, p_{n} ∈ Z tale che |ξ − \frac{p_{n}}{q_{n}} | < \frac{1}{q^{n}}

Indichiamo con L i numeri di Liouville. Per ogni numero razionale \frac{p}{q} con (p, q) = 1 costruiamo

l’insieme (\frac{p}{q} − \frac{1}{q^{n}} , \frac{p}{q} + \frac{1}{q^{n}}) e poi facciamone l’unione ∪_{q=2}^{∞} ∪_{p=−∞}^{∞} (\frac{p}{q} − \frac{1}{q^{n}} , \frac{p}{q} + \frac{1}{q^{n}}) =^{def} ∪_{q=2}^{∞}

∪_{p=−∞}^{∞}I_{n}(p, q) =^{def} G_{n}. Poi definiamo ∩_{n=1}^{∞}G_{n}. L = (R\Q)∩(∩_{n=1}^{∞}G_{n}). Ciascun G_{n} è aperto per costruzione e contiene Q per cui \overline{G}_{n} = R. Il complementare di L è dato da L^{c} = Q∪(∩_{n=1}^{∞}G_{n})^{c} =

Q ∪ (∪_{n=1}^{∞}G_{n}^{c}). \overline{G_{n}^{c}}^{o} = \overline{R\G_{n}}^{o} = (R\G_{n}^{o})^{o} = (R\G_{n})^{o} = R\\overline{G_{n}} = ∅ e quindi L^{c} è un insieme di prima categoria. La completezza di R impone che L sia di seconda categoria. D’altra parte considerando L ∩ (−l, l) (l intero) possiamo avere una stima superiore della somma delle lunghezze degli intervalli aperti interessati. Si avrebbe ∑_{q=2}^{∞} ∑_{p=−lq}^{lq} \frac{2}{q^{n}} = ∑_{q=2}^{∞} \frac{2(2l+1)q}{q^{n}} ≤ \frac{2(2l+1)}{n−2}. Poiché L ⊂ G_{n} per ogni n ne segue che la stima della somma delle misure degli intervalli aperti che lo contengono è nulla. Anche in questo caso si può dire L ≠ F_{σ}. Se infatti L = ∪_{k=1}^{∞}F_{k}

F_{k} = \overline{F}_{k}, poiché F_{k} ⊂ R\Q si ha \overline{F}_{k}^{o} = ∅ e quindi R = L ∪ L^{c} sarebbe scrivibile come unione di insiemi di prima categoria che è assurdo essendo R completo.

Esercizio Sia f: [a, b] → R continua tale che ogni punto del dominio sia un minimo o un massimo. Dimostrare che la funzione è costante.

[da: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=307069&amp;ml=1]

Dimostrazione Usiamo il seguente risultato: l’insieme delle ordinate dei punti di massimo e/o di minimo di una qualsiasi funzione, continua o no, è numerabile (A.Shoenflies: Die Entwickelung der Lenhre von dem Punktmannigflatigkeiten, Jahrebsbericht Deutschen Mathematiker– Vereinigung 8, Leipzig, 1900).

Sia {y_{n}}_{n≥1} l’insieme di tutte le ordinate della funzione che per il teorema enunciato sopra costituiscono un insieme numerabile. Sia

U_{k} = f^{(−1)}(y_{k}) = {x ∈ R: f(x) = y_{k}},  U^{o}_{k} = parte interna of U_{k}

e sia

U = ⋃_{k=1}^{∞} U^{o}_{k}, I = R\U

Chiaramente U_{k} ∩ U_{k′} = ∅ per ogni k ≠ k′. I è ancora chiuso (U è chiaramente aperto) ed anche completo in quanto un sottoinsieme chiuso di uno spazio completo è esso stesso completo. Inoltre f: I → R è continua. Definiamo A_{k} = {x ∈ I: f(x) = y_{k}} ed osserviamo che ciascun A_{k} è chiuso essendo l’immagine inversa sotto una funzione continua di un punto che è un insieme chiuso

Poiché ogni punto di I è un minimo o un massimo, risulta che I = ⋃_{k=1}^{∞} A_{k}. Dalla completezza

di I, il teorema di Baire implica che almeno uno degli A_{k}, diciamo A_{k_{0}}, è denso in almeno un

punto ossia \overline{A}^{o}_{k_{0}} = A^{o}_{k_{0}} ≠ ∅. Ciò vuol dire che esiste un intervallo (α, β), tale che (α, β) ⊂ A_{k_{0}} ma questo è impossibile in quanto abbiamo cancellato tutti gli aperti dove f era costante. La conclusione è che I = ∅ e quindi R = U è unione di aperti disgiunti. Sia

U = U^{o}_{1} ⋃ ( ⋃_{k=2}^{∞} U^{o}_{k}) ≐ U^{o}_{1} ∪ (U^{o}_{1})^{c}

ma avremmo (U^{o}_{1})^{c} sia aperto che chiuso ossia (U^{o}_{1})^{c} = R or (U^{o}_{1})^{c} = ∅. Il primo caso non può

capitare poiché U^{o}_{1} ≠ ∅. Il secondo caso implica R = U^{o}_{1} ossia R consiste di un solo insieme aperto dove f è constante.

Referenze

[B] Banach Stefan (1892 Cracovia (all’epoca nell’impero Austro–Ungarico) – 1945 Leopoli (ora Ucraina): Über die Baire’sche Kategorie gewisser Funktionenmengen, Studia Mathematica vol.3 (1931) pp.174–179,

[Be] Besicovitch A.S.: Discussion der stetigen Funktionen im Zusammenhang mit der Frage über ihre Differentiierbarkeit, Bulletin de l’Académie des Sciences de Russie, vol.19 (1925), pp.527– 540.

[BG] Bruckner A.M.–Garg K.M.: The Level Structure of a Residual Set of Continuous Functions, Transactions of the Americam Mathematical Society, Volume 232 (Sep.,1977), 307–321

[Bo] Boas R.P.: A primer of real functions, Collana “The Carus mathematical monograph, number thirteen” pubblicato da “The mathematical association of America” distribuito da John Wiley and Sons Inc. New York 1960,

[Br] Bruckner A.M.: The differentiability Properties of Typical Functions in C[a, b], American Mathematical Monthly, Volume 80, Issue 6(Jun. – Jul., 1973), 679–683

[Br1] Bruckner A.M.: Differentiation of real functions, CRM Monographs series, AMS Ed. Volume 5, 1994

[E] Erdos P.: Some remarks on Set Theory, The Annals of Mathematics, Second Series, Volume 44, Issue 4, (Oct.,1943), 643–646

[F] Fort M.K., Jr.: A Theorem Concerning Functions Discontinuous on a Dense Set, American Mathematical Monthly, volume 58, Issue 5(Jun.–Jul.,1951), 408–410

[HS] Hewitt E.–Stromberg K.: Real and Abstract Analysis, Springer–Verlag Eds., 1965

[K] Kuratowski Kasimir (Varsavia 1896 – Varsavia 1980): Topology Vol.1, Academic Press 1966

[Ku] Kuzawa Mary Grace: Fundamenta Mathematicae: An Examination of its Founding and Significance, Transactions of the American Mathematical Society, vol.77, Issue 5(May,1970) pp.485–492

[Ku1] Sister Mary Grace Kuzawa, Holy Family College: Correction to Fundamenta Mathematicae: An Examination of its Founding and Significance, Transactions of the American Mathematical Society, vol.78, Issue 8 (Oct.,1971) pp.874–875.

[M] Mazurkiewicz Stefan (Varsavia 1888 – Grodzisk (vicino Varsavia) 1945): Sur les fonctions dèrivables, Studia Mathematica, vol.3 (1931) pp.92–94,

[Ma] Maly J.: Where the Continuous Functions Without Unilateral Derivatives are Typical, Transactions of the American Mathematical Society, vol.283, Issue 1(Nov.,1984) pp.169–175

[Mo] Morse A.P.: A continuous function with no unilateral derivative, Transactions of the American Mathematical Society, vol.44, Issue 3(Nov.,1938) pp.496–507

[N] Natanson I.P.: Theory of functions of a real variable, Vol.II Frederick Ungar Publishing Co 1960

[O] Oxtoby J.C.: Measure and Category, Springer–Verlag Eds., 1996

[Pe] Pepper: On continuous functions without a derivative, Fundamenta Mathematicae vol.12 (1928) pp.244–253.

[S] Saks Stanislaw (1897 Kalisz–Polonia – 1942 Varsavia): On the functions of Besicovitch in the space of continuous functions, Fundamenta Mathematicae vol.19 (1932) pp.211–219

[ST] Singer I.M. – Thorpe J.A.: Lezioni di Toplogia Elementare e di Geometria, Boringhieri editore 1980,

[Y] Yosida K.: Functional Analysis, Springer–Verlag, Third edition, 1971