Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

§10 Appendice 3: Il Teorema delle funzioni implicite per funzioni da R^{k} × R^{n} in R^{n} ^{(1.10)}

Ipotesi  Sia data una funzione \underline{F} (\underline{x}, \underline{y}): R^{k} × R^{n} → R^{n} tale che:  1)\underline{F} (\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o}) = \underline{0},  2)

\underline{F} (\underline{x}, \underline{y}) è continua in (\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o}) ossia ∀ ε > 0 ∃ (δ_{ε}, ρ_{ε}) : |\underline{x} − \underline{x}_{o}| < δ_{ε} ∧ |\underline{y} − \underline{y}_{o}| < ρ_{ε} ⇒ |\underline{F} (\underline{x}, \underline{y})−\underline{F} (\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})| < ε 3) \underline{F} \underline{y}(\underline{x}, \underline{y}) è continua in (\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o}) ossia ∀ ε > 0 ∃ (δ_{ε}, ρ_{ε}) | |\underline{x}−\underline{x}_{o}| < δ_{ε} ∧|\underline{y} −\underline{y}_{o}| < ρ_{ε} ⇒ |\underline{F} \underline{y}(\underline{x}, \underline{y})−\underline{F} \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})| < ε 4) l’operatore lineare \underline{F} \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o}) ha inverso

limitato e sia A = |(\underline{F} (−1) ; \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o}))| ≐ sup_{|v|≤1} |(\underline{F} (−1) ; \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o}))\underline{v}| ^{(2.10)}

Indichiamo X_{α} ≐ |\underline{x} − \underline{x}_{o}| < α e Y_{β} ≐ |\underline{y} − \underline{y}_{o}| < β

Tesi 1) Esiste un intorno X_{α} di \underline{x}_{o} tale che per ogni \underline{x} ∈ X_{α} esiste unico \underline{y} ∈ \overline{Y}_{β} tale che \underline{F} (\underline{x}, \underline{y}) = \underline{0}. Risulta definita quindi una funzione \underline{f}: X_{α} → \overline{Y}_{β} tale \underline{F} (\underline{x}, \underline{f}(\underline{x})) ≡ 0 in X_{α}. \underline{f} è continua in \underline{x}_{o} e inoltre per ogni coppia (\underline{x}, \underline{y}) ∈ X_{α} × \overline{Y}_{β} tale che \underline{F} (\underline{x}, \underline{y}) = 0, risulta \underline{y} = \underline{f}(\underline{x}).

Dimostrazione Applichiamo il “Teorema delle Contrazioni” (o del Punto Fisso).

Contrazione Per ogni \underline{x} ∈ X_{δ_{ε}} definiamo la seguente funzione di \underline{y} ∈ Y_{ρ_{ε}}, \underline{M}(\underline{x}, \underline{y}) ≐ \underline{y} − \underline{F} (−1) ; \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})\underline{F} (\underline{x}, \underline{y}). Cerchiamo il punto fisso di \underline{M}(\underline{x}, \underline{y}) ossia quel valore di ˜ \underline{y} per cui \underline{M}(\underline{x}, \underline{ỹ)} =

˜\underline{y}. Poiché il determinante di \underline{F} (−1) ; \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o}) è diverso da zero ne consegue che \underline{F} (\underline{x}, ˜ \underline{y}) = ˜ \underline{y}.

Si ha \underline{M}(\underline{x}, \underline{y}) − \underline{M}(\underline{x}, \underline{y}′) = \underline{F} (−1) ; \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})(\underline{F} \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})(\underline{y} − \underline{y}′) + \underline{F} (\underline{x}, \underline{y}′) − \underline{F} (\underline{x}, \underline{y})) e quindi,

usando il teorema di Lagrange prima (che deriva dalla ipotesi 3) e la continuità poi (sempre dalla ipotesi 3) |\underline{M}(\underline{x}, \underline{y})−\underline{M}(\underline{x}, \underline{y}′)| ≤ A|\underline{y}−\underline{y}′|·|\underline{F} \underline{y}(\underline{x}, ˜ \underline{y})−\underline{F} \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})| ≤ Aε|\underline{y}−\underline{y}′| (˜\underline{y} ∈ [\underline{y}, \underline{y}′]) ([\underline{y}, \underline{y}′] = \{\underline{u} ∈ R^{n} : \underline{u} = λ\underline{y} + (1 − λ)\underline{y}′, 0 < λ < 1\}). Prendiamo ε tale che Aε ≤ \frac{1}{2}. In tal modo restano definiti δ_{ε} e ρ_{ε}.

Invarianza \underline{M}(\underline{x}, \underline{y}) − \underline{y}_{o} = \underline{M}(\underline{x}, \underline{y}) − \underline{M}(\underline{x}, \underline{y}_{o}) + \underline{M}(\underline{x}, \underline{y}_{o}) − \underline{y}_{o} = \underline{F} (−1) ; \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})(−\underline{F} (\underline{x}, \underline{y}) +

\underline{F} (\underline{x}, \underline{y}_{o}) + \underline{F} \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})(\underline{y} − \underline{y}_{o})) − (\underline{F} (−1) ; \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o}))(\underline{F} (\underline{x}, \underline{y}_{o}) − \underline{F} (\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})) =

= \underline{F} (−1) ; \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})(\underline{F} \underline{y}(\underline{x}, ˜ \underline{y}) − \underline{F} \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o}))(\underline{y}_{o} − \underline{y}) − \underline{F} (−1) ; \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})(\underline{F} (\underline{x}, \underline{y}_{o}) − \underline{F} (\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o}))

Ora prendiamo ε′ a cui corrisponde X_{δ_{ε′}} . Per la ipotesi 3) si ha che \underline{x} ∈ X_{min\{δ_{ε′} ,δ_{ε}\}} ∧ \underline{y} ∈ Y_{ρ_{ε}} ⇒ |\underline{F} \underline{y}(\underline{x}, ˜ \underline{y})−\underline{F} \underline{y}(\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})| < ε ed inoltre |\underline{F} (\underline{x}, \underline{y}_{o})−\underline{F} (\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o})| < ε′. Si può quindi maggiorare

|\underline{M}(\underline{x}, \underline{y}) − \underline{y}_{o}| ≤ Aερ_{ε} + Aε′ ≤ ρ_{ε} che è vera per Aε′ ≤ \frac{1}{2}ρ_{ε}^{(3.10)}

Possiamo applicare il Teorema delle Contrazioni e dire che ∀ ε, ε′, ε′ ≤ \frac{1}{2A}ρ_{ε}, ε ≤ \frac{1}{2A} ∀\underline{x} ∈ X_{min\{δ_{ε′} ,δ_{ε}\}} la mappa \underline{M}(\underline{x}, \underline{y}) è una contrazione da \overline{Y}_{ρ_{ε}} in se stesso e quindi ammette un unico punto fisso \underline{y} essendo \overline{Y}_{ρ_{ε}} completo. La coppia (\underline{x}, \underline{y}) verifica \underline{M}(\underline{x}, \underline{y}) = 0 e quindi \underline{F} (\underline{x}, \underline{y}) = 0. Per costruzione si è definita una funzione \underline{f}: X_{min\{δ_{ε′} ,δ_{ε}\}} → \overline{Y}_{ρ_{ε}} tale che \underline{F} (\underline{x}, \underline{f}(\underline{x})) ≡ 0 per \underline{x} ∈ X_{min\{δ_{ε′} ,δ_{ε}\}}. Poiché il Teorema delle Contrazioni comporta l’unicità e poiché \underline{F} (\underline{x}_{o}, \underline{y}_{o}) = \underline{0}, ne segue che \underline{f}(\underline{x}_{o}) = \underline{y}_{o}. Poiché nella relazione |\underline{M}(\underline{x}, \underline{y})−\underline{y}_{o}| ≤ Aερ_{ε} +Aε′ ≤ ρ_{ε} avremmo potuto sostituire a ρ_{ε} qualsiasi numero positivo r, prendendo Aε < \frac{1}{2}, Aε′ < \frac{1}{2}r, ne segue la continuità della funzione \underline{f} in \underline{x}_{o}. Infatti dobbiamo dimostrare che è possibile soddisfare la definizione ∀ r > 0 ∃ δ_{r} > 0 : |\underline{x}−\underline{x}_{o}| < δ_{r} ⇒ |\underline{y} − \underline{y}_{o}| < r. Dato r prendiamo ε che soddisfa Aε ≤ \frac{1}{2} e ε′ tale che ε′ ≤ \frac{1}{2A}r. Da essi scaturiscono δ_{ε} e δ_{ε′} da cui X_{min{δ_{ε′} ,δ_{ε}}}. Il Teorema delle contrazioni ci dice che non appena \underline{x} ∈ X_{min\{δ_{ε′} ,δ_{ε}\}} si ha \underline{y} ∈ Y_{r} e quindi la continuità (è chiaro che min\{δ_{ε′}, δ_{ε}\} dipende da r).

(1.10) Tale dimostrazione è presa dal libro di A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin Elementi di teoria delle funzioni e di analisi

funzionale edizioni Mir 1980 (2.10) Essendo lo spazio R^{n} ad un numero finito di dimensioni ed essendo gli elementi di \underline{F} \underline{y}(\underline{x},\underline{y}) funzioni continue in

(\underline{x}_{o},\underline{y}_{o}), la matrice (\underline{F} \underline{y}(\underline{x}_{o},\underline{y}_{o}))^{−1} esiste e definisce un operatore lineare (e limitato data la continutà ) se e solo se \underline{F} \underline{y}(\underline{x}_{o},\underline{y}_{o}) ha determinante non nullo (3.10) Non è detto si possa prendere ε′=ε in quanto non è detto che Aερ_{ε}+Aε≤ρ_{ε}. Ciò implica che il Teorema delle

funzioni implicite ha carattere locale ossia sebbene il dominio della funzione \underline{F} , nelle variabili \underline{x} è B_{\underline{x}o} (δ_{ε}), il dominio della funzione \underline{f}(\underline{x}) sarà in generale più piccolo (vedi δ_{ε′} successivamente).

Per dimostrare l’ultimo punto del Teorema supponiamo che esista una coppia (\overline{\underline{x}}, \overline{\underline{y}}) tale che \underline{F} (\overline{\underline{x}}, \overline{\underline{y}}) ma che \overline{\underline{y}} ≠ \underline{f}(\overline{\underline{x}}). Chiaramente \underline{M}(\overline{\underline{x}}, \overline{\underline{y}}) = \overline{\underline{y}} essendo \underline{F} (\overline{\underline{x}}, \overline{\underline{y}}). Sia ˜ \underline{y} = \underline{f}(\overline{\underline{x}}). |\overline{\underline{y}} − ˜ \underline{y}| = |\underline{M}(\overline{\underline{x}}, \overline{\underline{y}}) − \underline{M}(\overline{\underline{x}}, ˜ \underline{y})| ≤ \frac{1}{2}|\overline{\underline{y}} − ˜ \underline{y}| il che è un assurdo a meno che |\overline{\underline{y}} − ˜ \underline{y}| = 0.