Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Esercizi (e dintorni) di Analisi Matematica I, II

Paolo Perfetti Dipartimento di Matematica II Università di Roma via della Ricerca Scientifica 00133 Roma - E-mail:Perfetti@mat.uniroma2.it

La seguente raccolta di esercizi, con riguardo anche all’ordine dei capitoli ed al contenuto dei primi, fu pensata per chi intendeva sostenere l’esame di Analisi Matematica I per il corso di laurea in Ingegneria presso la Seconda Università degli Studi di Roma fino all’A.A. 1998–1999. Nondimeno molti degli esercizi sono validi anche per altri corsi di laurea. Nell’A.A. 1999–2000 si tolse dal programma l’argomento “funzioni di due variabili” e si inserì “le serie” (numeriche e di potenze). Inoltre successivamente è stato inserito il capitolo 8.1 che ha sempre fatto parte di un corso di Analisi Matematica II. L’avvento della riforma universitaria a partire dall’A.A. 2000–2001, avendo riguardato in profondità la struttura e la durata stessa dei corsi che infatti ora si chiamano “moduli”, renderebbe probabilmente necessaria non tanto qualche ulteriore sostituzione quanto una vera e propria soppressione di interi capitoli da questa come da qualunque altra raccolta “tradizionale” di esercizi. Si è ritenuto quindi di lasciare le cose in conformità al periodo in cui si decise di scrivere le presenti note^{1}. Gli esercizi contraddistinti da un asterisco ed a maggior ragione quelli con due o più asterischi, richiedendo maggiore perizia, possono essere risolti in un secondo momento^{2}. Nella maggior parte dei casi vengono dati i risultati nonché lo svolgimento (sovente non unico) ma è bene che lo studente/ssa cerchi di farne a meno il più possibile. In caso contrario, non saper risolvere i problemi sarebbe conseguenza di un uso smodato dei suggerimenti per la risoluzione^{3}. I riferimenti a Teoremi, Lemmi e quant’altro, contenuti nel libro di testo, sono scritti con il presente stile. Lo stile è il presente se il riferimento è contenuto nelle note a pié pagina allora . Nel capitolo sugli integrali vengono enunciati e dimostrati dei teoremi eventualmente richiamati con il presente stile. Il software che ha consentito il disegno dei grafici è stato scritto da E.Callegari che ringrazio per avermene concesso l’uso. Le figure

1 Una parte degli esercizi è presa da raccolte che i Prof. M.Bertsch e R.Dal Passo hanno dato a docenti ed esercitatori di Analisi Matematica I del corso di laurea già citato tra l’A.A. 1993–1994 e l’A.A. 1998–1999 e che possono ritrovarsi nei libri: i) M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi Matematica, I edizione settembre 1996, ARACNE EDITRICE, via Raffaele Garofalo, 133 A/B 00173 Roma tel.0672672233/22, ii) M.Bertsch - R.Dal Passo Elementi di Analisi Matematica, I edizione ottobre 2001, ARACNE EDITRICE Un’altra parte di esercizi è stata presa dai seguenti libri: Tom M.Apostol Calcolo, Volume primo Analisi I, Editrice Boringhieri, E.Giusti Esercizi e complementi di analisi matematica - volume primo, Editrice Boringhieri, J.R.Cecconi - G.Stampacchia Analisi Matematica Volume I, Funzioni di una variabile, Liguori Editore, G.E.Šilov Analisi Matematica - Funzioni di una variabile e Funzioni di più variabili reali, Edizioni Mir, P.Marcellini - C. Sbordone Esercitazioni di Matematica, vol.1^{o} e 2^{o}, Liguori Editore, B.R.Gelbaum, J.M.H.Olmsted Controesempi in analisi matematica, Edizioni Mursia, I.S.Sominski, The method of mathematical induction, Mir Publishers Moscow, P.P. Korovkin Inequalities, Mir Publishers Moscow, A.I.Markushevich Recursion sequences, Mir Publishers Moscow, I.A.Maron, Problems in calculus of one variable, Mir Publishers Moscow, G.N.Berman, A problem book in mathematical analysis, Mir Publishers Moscow, A.Ghizzetti, F.Rosati Complementi ed Esercizi di Analisi Matematica vol.II Terza Edizione 1972–73, Libreria eredi Virgilio Veschi. Una terza parte è costituita da esercizi che sono stati dati durante gli esoneri ed esami nei vari anni ed infine un’ultima

parte è stata pensata dall’estensore di questa raccolta. A meno che non venga esplicitato diversamente, i richiami di teoria si riferiscono al libro Bertsch-Dal Passo

2 Va da sé che il numero di asterischi eventualmente assegnati dipende da una scelta personale e che esercizi giudicati difficili da alcuni possono non esserlo per altri e viceversa. Inoltre tale assegnazione è basata sulla preparazione media degli studenti e non su quella di eventuali lettori più esperti

3 È forse utile sottolineare che la “teoria” esposta nei libri di testo, ossia l’insieme dei teoremi, proposizioni, lemmi etc., serve proprio a risolvere gli esercizi e che senza questi ultimi tale teoria non avrebbe motivo di esistere. Non si deve quindi pensare che gli esercizi servano a verificare se si è capita bene la teoria in essi applicata; la disposizione mentale giusta suggerisce, invece, di considerare la teoria come qualcosa che scaturisce da esigenze concrete (gli esercizi appunto) e che nella sua generalità risolve una vasta classe di problemi

dei capitoli 1.2 e 4 sono state disegnate attraverso un programma denominato Texdraw scaricabile dalla rete con il relativo manuale. Sono presenti alcune appendici che richiedono una conoscenza approfondita degli argomenti. In particolare per la quarta appendice è necessario conoscere l’integrale di Lebesgue con tutti i teoremi che ne conseguono. Tali appendici riportano risultati “classici” di teoria della funzioni che spero verranno apprezzati per la loro “bellezza”. Per motivi di tempo, tali risultati non trovano spazio all’interno dei moduli offerti nei vari corsi di laurea tanto di Ingegneria quanto di Matematica. Poiché tale raccolta è andata ingrandendosi con il passare degli anni, non sempre all’inizio di ciascun capitolo si trovano gli esercizi più facili come ci si aspetterebbe.

Es: significa la presenza di una o più domande a cui ancora non si è data una risposta o per motivi di tempo o perché non si è riusciti nell’intento

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Indice

§1.0 Disequazioni §1.1 Estremo superiore ed inferiore - numeri razionali, irrazionali §1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità

trigonometriche

§1.3 Principio di induzione §1.4 Alcune disuguaglianze e relazioni algebriche §1.5 Topologia in R^{n} §2 Limiti elementari di funzioni §3 Successioni §4 Limiti di funzioni ed ordini di infinito/infinitesimo “senza Taylor” §5 Continuità, derivabilità, invertibilità, punti critici, massimi, minimi §5.1 Polinomi di Taylor, limiti di funzioni, ordini di infinito/infinitesimo §6 Grafici di funzioni §7 Funzioni di due variabili: continuità , derivabilità , differenziabilità ,

punti critici vincolati e non vincolati

§8 Integrali, integrali impropri, funzioni integrali §8.1 Integrali curvilinei, doppi, tripli e superficiali; equazioni differenziali

ordinarie

§8.2 Serie numeriche e di funzioni §9 Appendice 1: Su due articoli di V.Volterra (1860–1940) pubblicati negli

anni 1880–1881 (il primo esempio di una funzione continua e derivabile sui reali con derivata limitata ma non integrabile secondo Riemann in nessun intervallo)

§10 Appendice 2: Spazi metrici completi e Teoremi di R. Baire (1874–1932) con qualche applicazione (non Banach (1892–1945) – Steinhaus (1887– 1972))

§11 Appendice 3: Il Teorema delle funzioni implicite per funzioni da R^{k}×R^{n}

in R^{n}

§12 Appendice 4: Alcuni controesempi nella teoria delle serie trigonometri–

che e di Fourier (dalle funzioni continue la cui serie di Fourier diverge in un punto (Lebesgue (1875–1941), Fejér (1880–1959) ) alle funzioni sommabili la cui serie di Fourier diverge quasi ovunque (Kolmogorov (1903–1987), Hardy (1877–1947)) alle funzioni sommabili la cui serie di Fourier diverge ovunque (Kolmogorov)) passando per le serie trigonometriche i cui coefficienti tendono a zero e nonostante ciò divergono ovunque (Steinhaus)

ogni elenco di esercizi è seguito dalle soluzioni e dallo svolgimento o risoluzioni 7/giugno/2008; Esclusivamente per uso personale; è vietata qualsiasi forma di commercializzazione 3

§13 Appendice 5: Una funzione derivabile ma monotona in nessun intervallo

§14 Appendice 6: Le equazioni algebriche di terzo grado a coefficienti reali

(una interessante applicazione dei numeri complessi; la formula di G. Cardano (Pavia 1501 – Roma 1576))

§15 Appendice 7: Una rassegna parziale sulle funzioni continue ma non derivabili in nessun punto

§16 Appendice 8: Teoria della misura di Peano–Jordan e di Lebesgue

§17 Appendice 9: Una funzione che non ammette derivata unilatera né finita né infinita in nessun punto

§19 Appendice 10: Una raccolta di funzioni e risultati “interessanti”