Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

§12 Appendice 4: Alcuni controesempi nella teoria delle serie tri–

gonometriche e di Fourier (dalle funzioni continue la cui serie di Fourier

diverge in un punto (Fejér, Lebesgue) alle funzioni sommabili la cui serie di Fourier diverge quasi ovunque (Kolmogorov, Hardy) alle funzioni sommabili la cui serie di Fourier diverge ovunque (Kolmogorov) passando per le serie trigonometriche divergenti ovunque pur avendo i coefficienti tendenti a zero (Steinhaus))

In questa appendice verranno dati alcuni risultati molto belli (per lo meno secondo il giudizio di chi scrive) riguardanti la costruzione di controesempi nella teoria delle serie trigonometriche e di Fourier. Tali risultati si collocano tra la fine del 1800 ed il 1930 e portano i nomi dei padri fondatori dell’analisi: Charles Jean Gustave Nicolas de La Vallée–Poussin (1866–1962), Henri Lebesgue (1875–1941), G.H.Hardy (1877–1947), Lipót Fejér (1880–1959), Nikolai Nikolaevich Luzin (1883–1950), Hugo Dyonizy Steinhaus (1887–1972), Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987). Poiché la teoria della integrazione coinvolta nelle varie formule è quella di Lebesgue, è necessario conoscere alquanto bene tale teoria con tutti i teoremi che ne conseguono. Inoltre è necessario avere familiarità con i fondamenti della teoria delle serie di Fourier. Come testo di riferimento si può consultare A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin “Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale” edizioni Mir 1980 pag.247–447 (successivamente indicato con [Kol])^{(1.12)} Il materiale di questo capitolo è tratto da N.K.Bary: A treatise on trigonometric series, vol. I–II, Pergamon Press 1964. L’altro testo fondamentale sulle serie trigonometriche è A.Zygmund: Trigonometric Series, vol. I–II, Cambridge University Press, 1979

12.0 Notazioni

Se f ∈ L_{1}([0, 2π]) possiamo definire le quantità (i coefficienti di Fourier) \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dxf(x) cos kx =^{def}a_{k}

e \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dxf(x) sin kx =^{def}b_{k} e per ciascun valore intero n, possiamo definire la grandezza

S_{n}(x; f) =^{def} \frac{a_{o}}{2} +∑_{k=1}^{n}(a_{k} cos kx+b_{k} sin kx) (le somme parziali di Fourier). Il limite per n → +∞ si indica con σ(x, f). Una serie trigonometrica \frac{a_{o}}{2} + ∑_{k=1}^{∞} a_{k} cos kx + b_{k} sin kx si dice convergente nel punto x se esiste lim_{n→+∞} ∑_{k=1}^{n}(a_{k} cos kx + b_{k} sin kx); assolutamente convergente nel punto x se esiste lim_{n→+∞} ∑_{k=1}^{n}(|a_{k} cos kx| + |b_{k} sin kx|). Naturalmente dire che le serie convergono in x equivale a dire che che se scriviamo ad esempio R_{n}(x, f) =^{def}σ(f) − S_{n}(x, f), si ha R_{n}(x, f) → 0 per n → +∞ (per la convergenza assoluta si devono prendere i moduli). Dato un insieme E ⊂ [0, 2π] si dice che la serie converge uniformemente in E se R_{n}(x, f) → 0 per n → +∞ uniformemente in E. Scrivendo l’espressione dei coefficienti di Fourier in \frac{a_{o}}{2} + ∑_{k=1}^{n}(a_{k} cos kx + b_{k} sin kx) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} dtf(t) + ∑_{k=1}^{n}(\frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dtf(t) cos kt cos kx + \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dtf(t) sin kt sin kx) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dtf(t)\{\frac{1}{2} + ∑_{k=1}^{n} cos k(t − x)\}. Si può verificare (per esem-

pio per induzione) che \frac{1}{2} + ∑_{k=1}^{n} cos k(t − x) = \frac{sin(t−x)(n+ \frac{1}{2} )}{2 sin \frac{t−x}{2}} ed otteniamo quindi S_{n}(x, f) =

\frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dtf(t)\frac{sin(t−x)(n+ \frac{1}{2} )}{2 sin \frac{t−x}{2}}. La quantità D_{n}(t − x) =^{def} \frac{1}{π} \frac{sin(t−x)(n+ \frac{1}{2} )}{2 sin \frac{t−x}{2}} è detta Nucleo di Dirichlet di ordine n e la somma parziale di Fourier di ordine n, (S_{n}(x; f)) appunto, è il prodotto di convoluzione con il nucleo di Dirichlet di ordine n. Una parte importante di quanto segue (ed in generale delle serie di Fourier) passa attraverso la media aritmetica delle prime n + 1 somme

parziali di Fourier ossia σ_{n}(x; f) =^{def} \frac{1}{n+1} ∑_{k=0}^{n} S_{k}(x, f) = \frac{1}{2π(n+1)} ∫_{0}^{2π} dtf(t)(\frac{sin(n+1) \frac{t−x}{2}}{sin \frac{t−x}{2}} )^{2} e

K_{n}(x) =^{def} \frac{1}{n+1} ∑_{k=0}^{n} D_{k}(x), è il nucleo di Fejér di ordine n

12.1 Un esempio di funzione continua la cui serie di Fourier converge ovunque ma non uniformemente

(1.12) ad ogni modo innumerevoli sono i testi che trattano gli argomenti citati

Sia Q(x, n) =^{def}[\frac{cos nx}{n} + \frac{cos(n+1)x}{n−1} + … + \frac{cos(2n−1)x}{1}] − [\frac{cos(2n+1)x}{1} + \frac{cos(2n+2)x}{2} + … + \frac{cos 3nx}{n}] =

∑_{k=0}^{n−1} \frac{cos(n+k)x}{n−k} − ∑_{k=1}^{n} \frac{cos(2n+k)x}{k} = 2 sin(2nx) ∑_{k=1}^{n} \frac{sin kx}{k}

Sia inoltre \overline{Q}(x, n) =^{def}[\frac{sin nx}{n} + \frac{sin(n+1)x}{n−1} +…+ \frac{sin(2n−1)x}{1}]−[\frac{sin(2n+1)x}{1} + \frac{sin(2n+2)x}{2} +…+ \frac{sin 3nx}{n}] =

∑_{k=0}^{n−1} \frac{sin(n+k)x}{n−k} − ∑_{k=1}^{n} \frac{sin(2n+k)x}{k} = −2 cos(2nx) ∑_{k=1}^{n} \frac{sin kx}{k}

I polinomi Q(x, n) e \overline{Q}(x, n) (la cui costruzione è dovuta a Fejér) godono di alcune proprietà che verranno usate ed il cui elenco è il seguente:

i) |Q(x, n)| ≤ C, |\overline{Q}(x, n)| ≤ C, per una opportuna costante C

ii) Se φ(x, Q) indica ∑_{k=0}^{p} \frac{cos(n+k)x}{n−k}, p ≤ n−1 oppure ∑_{k=0}^{n−1} \frac{cos(n+k)x}{n−k} −∑_{k=1}^{p} \frac{cos(2n+k)x}{k}, p ≤ n (la stessa cosa per i seni) si ha |φ(x, Q)| ≤ 2(1 + ln n) e |φ(x, \overline{Q})| ≤ 2(1 + ln n)

iii) Se δ ≤ |x| ≤ π allora |φ(x, Q)| ≤ M_{δ}, |φ(x, Q)| ≤ M_{δ} e M_{δ} dipende solamente da δ

iv) Se P (x, n) =^{def} \frac{cos nx}{n} + \frac{cos(n+1)x}{n−1} +…+ \frac{cos(2n−1)x}{1} e \overline{P} (x, n) =^{def} \frac{sin nx}{n} + \frac{sin(n+1)x}{n−1} +…+ \frac{sin(2n−1)x}{1}

si ha P (0, n) > ln n, \overline{P} (\frac{π}{4n}, n) > \frac{ln n}{\sqrt{2}}

Tali proprietà verranno dimostrate dopo. Sia a intero maggiore di 1 e sia n_{k} = a^{k^{2}}. Siano inoltre \overline{Q}_{k} =^{def}\overline{Q}(x; n_{k}) e g(x) = ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k^{2}} \overline{Q}_{k}(x). La funzione g(x) è continua essendo |\overline{Q}_{k}| ≤ C (usando la i)) e quindi per il criterio di Weierstrass. Per induzione si mostra che a^{(k+1)^{2}} > 3a^{k^{2}} per k ≥ 2 e con la condizione su a. Questo vuol dire che nella serie che definisce g(x) non vi sono mai due contributi recanti sin qx con lo stesso q in entrambi i casi. Essendo g(x) continua si può costruire la successione {S_{n}(x, g)}_{n=1}^{∞} dove S_{n}(x, g) = ∑_{j=1}^{n} b_{j} sin jx e dove i b_{j} sono i coefficienti di Fourier della funzione g (i coefficienti a_{j} relativi ai coseni sono nulli in quanto la g contiene solo seni). Naturalmente i valori b_{j} sono non nulli solo per per n_{k} ≤ j ≤ 2n_{k} − 1, 2n_{k} + 1 ≤ j ≤ 3n_{k} per k ≥ 2. La sottosuccessione \{S_{3n_{k}}(x, g)\}_{k=2}^{∞} coincide con ∑_{j=2}^{k} \frac{1}{j^{2}} \overline{Q}_{j}(x) e quindi tale sottosuccessione converge uniformemente alla funzione g(x). Ma allora la serie ∑_{j=1}^{n} b_{j} sin jx è la serie di Fourier della funzione g(x) sulla base del Lemma 12.1.1 e che indichiamo con σ(g). Vogliamo dimostrare che converge a g(x) ma non uniformemente in [0, 2π]. Cominciamo dalla convergenza puntuale. Dobbiamo far vedere che R_{n}(x, g) =^{def}S_{n}(x, g) − g(x) tende a zero per n → +∞. Se n è abbastanza grande si ha S_{n}(x, g) = ∑_{k=2}^{m_{n}} \frac{1}{k^{2}} \overline{Q}_{k}(x) + \frac{1}{(m_{n}+1)^{2}} φ(x, \overline{Q}_{m_{n}+1}) (il secondo termine può essere nullo). | ∑_{k=2}^{m_{n}} \frac{1}{k^{2}} \overline{Q}_{k}(x)| ≤ C ∑_{k=2}^{m_{n}} \frac{1}{k^{2}} ≤ A e |\frac{1}{(m_{n}+1)^{2}} φ(x, \overline{Q}_{m_{n}+1})| ≤

\frac{1}{(m_{n}+1)^{2}} 2(1 + ln a^{(m_{n}+1)^{2}}) < 2(1 + ln a) (si è usata la ii)) per ogni n ≠ 0 e per ogni x. Dalla definizione di R_{n}(x, g) segue che R_{n}(x, g) = \frac{1}{(m_{n}+1)^{2}} φ(x, \overline{Q}_{m_{n}+1}) − ∑_{k=m_{n}+1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} \overline{Q}_{k}(x) e sia 0 < δ ≤ |x| ≤ π. Dalla iii) abbiamo che |R_{n}(x, g)| ≤ \frac{M_{δ}}{(1+m_{n})^{2}} + ∑_{k=m_{n}+1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} |\overline{Q}_{k}(x)| e per m_{n} abbastanza grande si ha |R_{n}(x, g)| piccolo a piacere per 0 < δ ≤ |x| ≤ π. Dunque la successione {S_{n}(x, g)} converge alla funzione g(x) per 0 < δ ≤ |x| ≤ π. Da ciò segue la convergenza puntuale per ogni valore x ≠ 0. Per x = 0 si ha S_{n}(0, g) = 0 per ogni n e quindi la serie di Fourier σ(g) converge per ogni valore di x ∈ [−π, π]. Sia ora ν_{m} =^{def}2n_{m} − 1 e S_{ν_{m}}(x, g) = S_{2n_{m}−1}(x, g) = S_{n_{m−1}}(x, g) + ∑_{n_{m}}^{2n_{m}−1} b_{j} sin jx = ∑_{k=2}^{m−1} \frac{1}{k^{2}} \overline{Q}_{k}(x) + \frac{1}{m^{2}} \overline{P} (x, n_{m}); inoltre R_{ν_{m}} = S_{ν_{m}}(x, g)−g(x) = \frac{1}{m^{2}} \overline{P} (x, n_{m})−∑_{k=m+1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} |\overline{Q}_{k}(x)| e consideriamo x_{m} = \frac{π}{4n_{m}} Si ha R_{ν_{m}}(\frac{π}{4n_{m}}) > \frac{1}{m^{2}} \overline{P} (\frac{π}{4n_{m}} , n_{m}) − C ∑_{k=m}^{∞} \frac{1}{k^{2}} > \frac{1}{m^{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} ln(a^{m^{2}}) − \frac{C}{m} > \frac{ln a}{\sqrt{2}} − C e se \frac{ln a}{\sqrt{2}} − C > 1

ossia a > e^{\sqrt{2}(1+C)} allora R_{ν_{m}}(\frac{π}{4n_{m}}) > 1 ossia la serie non è uniformemente convergente in alcun intorno dell’origine.

Un esempio dovuto a Fejér di una funzione continua la cui serie di Fourier diverge in un punto

Si ripete pari pari il discorso precedente con la differenza che stavolta si prendono le funzioni Q(x, n) che contengono i coseni. Dalle precendenti stime otteniamo che |S_{n}(x, g)| ≤ A + 2(1 + ln a) per δ ≤ |x| ≤ π ossia le somme parziali sono limitate nell’insieme interessato. Stavolta però S_{n}(0, n) non è identicamente nullo e quindi non si può dire che la serie di Fourier σ(g) converga in x = 0. Infatti diverge come tra un attimo sarà chiaro. Sia ν_{m} = 2n_{m} − 1 e μ_{n} = 3n_{m−1}. S_{ν_{m}}(0, g) = ∑_{k=2}^{m−1} \frac{1}{k^{2}} Q_{k}(0) + \frac{1}{m^{2}} P (0, n_{m}), mentre S_{μ_{m}}(0, g) = ∑_{k=2}^{m−1} \frac{1}{k^{2}} Q_{k}(0) per cui S_{ν_{m}}(0, g) − S_{μ_{m}}(0, g) = \frac{1}{m^{2}} P (0, n_{m}) > \frac{m^{2}}{m^{2}} ln a = ln a e quindi S_{n}(0, g) non è una successione di Cauchy e non può quindi convergere.

Se ripetessimo lo stesso discorso scegliendo n_{k} = a^{k^{3}} allora \frac{1}{m^{2}} P (0, n_{m}) > m ln a e la serie divergerebbe avendo anche somme parziali illimitate.

Chi conosce i fondamenti della teoria degli operatori lineari ed in particolare il Teorema di Banach–Steinhaus, sa che la dimostrazione della esistenza di funzioni continue aventi la serie di Fourier divergente in almeno un punto può ottenersi per via astratta senza ricorrere ad esempi specifici. Si veda a tal proposito pag.405–406 del libro di Kolmogorov–Fomin. Il problema di tali dimostrazioni è che non forniscono esempi concreti. È lo stesso problema della esistenza in astratto delle funzioni continue ma non derivabili che si ottiene attraverso il Teorema di Baire (vedi la Appendice 2) senza però dare un esempio concreto.

Dimostriamo ora il lemma 12.1.1 e le proprietà i)–iv)

Lemma 12.1.1 Sia data la serie trigonometrica \frac{a_{o}}{2} + ∑_{k=1}^{∞} a_{k} cos kx + b_{k} sin kx e supponiamo che una sua sottosuccessione di somme parziali converga uniformemente ad una funzione f. Allora la serie è la serie di Fourier della funzione f

Dimostrazione Per ipotesi esiste una sottosuccessione dei numeri naturali {n_{k}} tale che S_{n_{k}}(x) → f(x) per k → +∞ uniformemente in [0, 2π] e quindi f(x) = S_{n_{k}}(x) + o(1). Ne segue che \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) cos ix = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} S_{n_{k}}(x) cos ix + o(1). Se n_{k} < i, l’integrale è zero mentre se n_{k} ≥ i, vale a_{i} che è quanto dovevamo dimostrare.

Lemma 12.1.2 Siano u_{o}, u_{1}, …, u_{n}, v_{o}, v_{1}, …, v_{n} 2n numeri reali. Allora ∑_{k=m}^{n} u_{k}v_{k} = ∑_{k=m}^{n−1}(u_{k} − u_{k+1})V_{k} + u_{n}V_{n} − u_{m}V_{m−1} dove V_{k} = ∑_{j=0}^{k} v_{j}

Se ne trae il seguente

Corollario 12.1.1 Se u_{k} ≥ 0, u_{k} ↘ 0 e |V_{k}| ≤ M ∀ m ≤ k ≤ n allora | ∑_{k=m}^{n} u_{k}v_{k}| ≤ 2Mu_{m} Dimostrazione Ovvia.

Supponiamo ora che u_{i}(x) e v_{i}(x) sono funzioni definite sull’intervallo [a, b]. Dal corollario 12.1.1 si arriva al seguente

Lemma 12.1.3 Se u_{k}(x) ↘ 0, |V_{n}(x)| ≤ M per x ∈ [a, b] allora la serie ∑_{n=0}^{∞} u_{n}(x)v_{n}(x) converge uniformemente ed assolutamente in [a, b] e per la somma S(x) si ha |S(x)| ≤ Mu_{o} Dimostrazione ∑_{k=0}^{n} u_{k}(x)v_{k}(x) = ∑_{k=0}^{n−1}(u_{k}(x) − u_{k+1}(x))V_{k}(x) + u_{n}(x)V_{n}(x) (V_{−1} ≡ 0). | ∑_{k=0}^{n−1}(u_{k}(x) − u_{k+1}(x))V_{k}(x)| ≤ M ∑_{k=0}^{n−1}(u_{k}(x) − u_{k+1}(x)) per a ≤ x ≤ b. ∑_{k=j_{o}}^{∞} M(u_{k} − u_{k+1}) = lim_{N→+∞} M(u_{j_{o}} −u_{N}) = Mu_{j_{o}} che tende a zero uniformemente in [a, b] essendo la successione u_{k} decrescente a zero. La convergenza assoluta segue sempre dal fatto che u_{k}(x) ↘ 0. La stima |S(x)| ≤ Mu_{o} a questo punto è ovvia.

Lemma 12.1.4 Se a_{k} ↘ 0 e b_{k} ↘ 0 allora la serie \frac{1}{2}a_{o} + ∑_{k=1}^{∞} a_{k} cos kx converge per ogni valore di x tale che 0 < |x| < π mentre nell’intervallo δ ≤ |x| ≤ π la convergenza è uniforme. La serie ∑_{k=0}^{∞} a_{k} sin kx converge in [−π, π] e nell’intervallo δ ≤ |x| ≤ π la convergenza è uniforme.

Dimostrazione Sia δ ≤ |x| ≤ π Abbiamo che D_{n}(x) =^{def} \frac{1}{2} + ∑_{k=1}^{n} cos kx = \frac{sin (n+ \frac{1}{2} )x}{2 sin \frac{x}{2}} mentre

\overline{D}_{n}(x) =^{def} ∑_{k=1}^{n} sin kx = \frac{cos \frac{x}{2} −cos (n+ \frac{1}{2} )x}{2 sin \frac{x}{2}}. Essendo la funzione \frac{sin x}{x} decrscente fra 0 e \frac{π}{2} si ha

\frac{sin x}{x} ≥ \frac{2}{π} e quindi 2\frac{sin \frac{x}{2}}{x} ≥ \frac{2}{π} per 0 < x ≤ π e quindi |D_{n}(x)| ≤ \frac{π}{2x} per 0 < x ≤ π mentre |\overline{D}_{n}(x)| ≤ \frac{π}{x} . Se δ ≤ |x| ≤ π si ha |D_{n}(x)| ≤ \frac{π}{2δ} e |\overline{D}_{n}(x)| ≤ \frac{π}{δ} . Possiamo applicare il risultato del lemma 12.1.3 ponendo u_{k} = a_{k} e b_{k} rispettivamente e dire che per δ ≤ |x| ≤ π |\frac{1}{2}a_{o} + ∑_{k=0}^{∞} a_{k} cos kx| ≤ \frac{1}{2}|a_{o}|\frac{π}{2δ} mentre | ∑_{k=1}^{∞} a_{k} sin kx| ≤ \frac{π}{δ} |a_{1}|. La serie ∑_{k=1}^{∞} a_{k} sin kx converge ovviamente anche per x = 0 e quindi converge per ogni valore di |x| ≤ π.

Ne segue il seguente Corollario 12.1.2 Se b_{k} ↘ 0 condizione necessaria e sufficiente perché ∑_{k=1}^{n} b_{k} sin kx converga uniformemente in [0, 2π] è che kb_{k} → 0

Dimostrazione Necessità : Sappiamo che la serie converge uniformemente in [0, 2π] e quindi ∀ ε > 0 ∃ n_{ε} : k ≥ n_{ε}, q ≥ n_{ε} q > k ⇒ | ∑_{j=k}^{q} b_{j} sin jx| < ε. Prendiamo q = 2k − 1 e

x = \frac{π}{4k}; abbiamo sin jx = sin \frac{jπ}{4k} e \frac{π}{4} ≤ \frac{jπ}{4k} ≤ \frac{π}{2} da cui sin \frac{jπ}{4k} ≥ \frac{\sqrt{2}}{2}. Ne segue che \frac{\sqrt{2}}{2}kb_{2k} ≤ | ∑_{j=k}^{2k−1} b_{j} sin jx| < ε e quindi (2k)b_{2k} → 0 per k → +∞. Ripetendo lo stesso ragionamento si può dire che (2k + 1)b_{2k+1} → 0 e quindi kb_{k} → 0. Sufficienza. Sappiamo che kb_{k} → 0 e da questo vogliamo inferire l’uniforme convergenza. Dal lemma 12.1.4 segue che ci basta dimostrare l’uniforme convergenza in un intervallo (−a, a) con a > 0 qualsiasi. Sia ξ_{n} =^{def} sup_{k≥n} kb_{k} (nel senso che ad ogni valore di n corrisponde un valore di ξ_{n}) e sia N tale che \frac{1}{N−1} ≤ |x| ≤ \frac{1}{N} . Dobbiamo far vedere che ∀ ε > 0 ∃ n_{ε} : M > n_{ε} ⇒ | ∑_{j=n_{ε}}^{M}, b_{j} sin jx| < ε per cui applichiamo il lemma 12.1.2 ed otteniamo ∑_{k=n_{ε}}^{M−1}(b_{k} − b_{k+1})V_{k} + b_{M}V_{M} − b_{n_{ε}}V_{n_{ε}−1}. Ora supponiamo che N < n_{ε}; (nel senso che dopo dovremo esaminare il caso in cui N ≥ n_{ε}) |V_{k}| ≤ \frac{π}{|x|} ≤ π(N − 1) per ogni k per cui b_{M}|V_{M−1}| ≤ b_{M}πN ≤ πb_{M}M essendo la successione {b_{k}} decrescente. b_{n_{ε}}V_{n_{ε}−1} ≤ b_{n_{ε}}Nπ ≤ b_{n_{ε}}n_{ε}π per le stesse ragioni. | ∑_{k=n_{ε}}^{M−1}(b_{k} − b_{k+1})V_{k}| ≤ πN(b_{n_{ε}} − b_{M}) ≤ π2n_{ε}b_{n_{ε}}. Riunendo allora si può maggiorare come 4πn_{ε}b_{n_{ε}} e dobbiamo trovare n_{ε} in modo che 4πn_{ε}b_{n_{ε}} ≤ ε, Sia ora n tale che ξ_{n} ≤ \frac{ε}{4π} (in tal modo n dipende da ε) e quindi n_{ε} è quel valore per cui ξ_{n} ≤ \frac{ε}{4π} . La successione logica delle varie quantità è la seguente: si fissa dapprima ε e quindi resta fissato il valore ξ_{n}; ancora non sappiamo chi è n ma si ricava dalla relazione ξ_{n} =^{def} sup_{k≥n} kb_{k} e quindi si stabilisce se N < n_{ε} oppure N ≥ n_{ε}.

Leggermente diverso è il caso in cui N ≥ n_{ε}. In tal caso dobbiamo far vedere che ∀ ε > 0 ∃ n_{ε} : M > n_{ε} ⇒ | ∑_{j=n_{ε}}^{N−1} b_{j} sin jx + ∑_{j=N}^{M} b_{j} sin jx| < ε ed abbiamo due contributi alla somma. Per quanto riguarda il primo possiamo stimare | ∑_{j=n_{ε}}^{N−1} b_{j} sin jx| ≤ ∑_{j=n_{ε}}^{N−1} b_{j}j|x| ≤ \frac{N−n_{ε}}{N−1} (n_{ε}b_{n_{ε}}) ≤ 2n_{ε}b_{n_{ε}}. Nel secondo contributo riapplichiamo il lemma 12.1.2 ed otteniamo | ∑_{k=N}^{M−1}(b_{k} − b_{k+1})V_{k} + b_{M}V_{M} − b_{N}V_{N−1}| ≤ π2(N − 1)(b_{N} + b_{M}) ≤ 4πNb_{N} ≤ ε. Di nuovo fissiamo n in modo tale che ξ_{n} ≤ \frac{ε}{4π} e quindi 4πNb_{N} ≤ ε.

Grazie al Lemma 12.1.3 possiamo dimostrare il seguente corollario Corollario 12.1.3 Se b_{k} ↘ 0 e kb_{k} ≤ A per ogni k allora si ha | ∑_{k=1}^{n} b_{k} sin kx| ≤ M per ogni valore di n. Dimostrazione b_{k} ↘ 0 implica che la serie è uniformemente convergente in un intervallo δ_{o} ≤ |x| ≤ π. La somma della serie è una funzione continua, limitata quindi, con la coseguenza che | ∑_{k=1}^{n} b_{k} sin kx| ≤ M per ogni n. Ci basta quindi dimostrare la relazione in un intervallo [−δ_{o}, δ_{o}]. Sia x ≠ 0 (per x = 0 la serie chiaramente converge) \frac{1}{N} ≤ |x| ≤ \frac{1}{N−1} e scriviamo ∑_{k=1}^{n} b_{k} sin kx = ∑_{k=1}^{N−1} b_{k} sin kx + ∑_{k=N}^{n} b_{k} sin kx dove n ≥ N. Usando il lemma 12.1.2 abbiamo | ∑_{k=N}^{n} b_{k} sin kx| ≤ | ∑_{k=N}^{n−1}(b_{k}−b_{k+1})V_{k}|+b_{n}|V_{n}|+b_{N}|V_{N−1}| ≤ πN(b_{N} +b_{n})+πN(b_{n}+b_{N}) ≤ 3πNb_{N} ≤ 3πA. | ∑_{k=1}^{N−1} b_{k} sin kx| ≤ ∑_{k=1}^{N} b_{k}k|x| ≤ A(N − 1)|x| ≤ A.

Il corollario 12.1.3 dimostra la proprietà i) non appena si definisce b_{k} = \frac{1}{k} . La proprietà ii) è immediata. Ad esempio per p ≤ n − 1 si ha | ∑_{k=0}^{p} \frac{cos(n+k)x}{n−k}| ≤ ∑_{k=0}^{p} \frac{1}{n−k} ≤ 1 + \frac{1}{2} + … + \frac{1}{n} ≤ 1 + ln n. La stima 2(1 + ln n) su ∑_{k=0}^{n−1} \frac{cos(n+k)x}{n−k} − ∑_{k=1}^{p} \frac{cos(2n+k)x}{k}, è immediata. Le stesse stime sono valide se al posto dei coseni si scrivono dei seni. Per la proprietà iii)

consideriamo | ∑_{k=0}^{p} \frac{cos(n+k)x}{n−k}| ≤ \frac{1}{n−p}| ∑_{k=0}^{p} cos(n + k)x| = |\frac{1}{n−p} \frac{sin \frac{2p+2n+1}{2} x−sin \frac{2n−1}{2} x}{2 sin \frac{x}{2}}| e quindi

|\frac{1}{n−p} \frac{sin \frac{2p+2n+1}{2} x−sin \frac{2n−1}{2} x}{2 sin \frac{x}{2}}| ≤ 2(inf_{x∈[δ,π]} sin \frac{x}{2})^{−1} ≤ 2\frac{π}{2δ} . La stessa cosa accade per le altre sommatorie di seni e coseni per cui la iii) è provata. La iv) è immediata.

Tra l’altro dal corollario 12.1.3 segue che esistono serie trigonometriche che convergono uniformemente su [0, 2π] ma non convergono assolutamente. Sia data la serie ∑_{k=2}^{∞} \frac{sin kx}{k ln k}; possiamo applicare il corollario 12.1.3 e quindi dire che la serie converge uniformemente. Del resto ∑_{k=2}^{∞} \frac{| sin kx|}{k ln k} ≥ ∑_{k=2}^{∞} \frac{sin^{2} kx}{k ln k} = \frac{1}{2} ∑_{k=2}^{∞} \frac{1−cos 2kx}{k ln k}. La seconda serie converge in [0, 2π] e se convergesse pure ∑_{k=2}^{∞} \frac{| sin kx|}{k ln k} allora convergerebbe pure ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k ln k} il che è falso.

12.2 Un esempio, dovuto a Lebesgue, di funzione continua la cui serie di Fourier diverge in un punto

Sia \{n_{i}\} una successione di interi da definirsi, sia a_{o} = 1, a_{k} =^{def} ∏_{j=1}^{k} n_{j}, sia I_{k} = (\frac{π}{a_{k}} , \frac{π}{a_{k−1}} ), sia c_{k} ↘ 0 una successione di numeri tendente a zero. Definiamo una funzione nel seguente modo f(x) = c_{k} sin a_{k}x per x ∈ I_{k},; f(0) = 0 ed inoltre è pari ossia f(−x) = f(x). f si annulla agli estremi degli intervalli I_{k} in quanto sin a_{k} \frac{π}{a_{k}} = 0 ed inoltre sin a_{k} \frac{π}{a_{k−1}} = sin πn_{k} = 0. Dunque la funzione è continua, nulla nell’origine e lim_{x→0} f(x) = 0. Se x ∈ [δ, x] la funzione è a variazione limitata e quindi σ(f) converge ad essa. Si vuol dimostrare che la serie diverge in x = 0. Sappiamo dal Teorema 12.2.1 che S_{n}(x, f) = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dt\frac{sin nt}{t}f(x + t) + o(1) per cui

S_{n}(0, f) = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} dt\frac{sin nt}{t}f(t)+o(1) e si dimostrerà che J_{k} =^{def} ∫_{0}^{π} dt\frac{sin a_{k}t}{t}f(t) tende a +∞ per k → +∞ e quindi S_{a_{k}}(0, f) diverge per k → +∞. J_{k} = ∫_{0}^{π/a_{k}} dt\frac{sin a_{k}t}{t}f(t) + ∫_{π/a_{k}}^{π/a_{k−1}} dt\frac{sin a_{k}t}{t}f(t) + ∫_{π/a_{k−1}}^{π} dt\frac{sin a_{k}t}{t}f(t) = A_{k} + B_{k} + C_{k}. |A_{k}| ≤ \frac{π}{a_{k}} max_{x∈[0, \frac{π}{a_{k}} ]} |f(x)|a_{k} ≤ πc_{k} che tende a zero per

k → +∞. In C_{k} abbiamo t ≥ \frac{π}{a_{k−1}} e quindi \frac{f(t)}{t} è continua. Applicando il lemma 12.2.1 si ha lim_{n→+∞} ∫_{π/a_{k−1}}^{π} dt\frac{sin nt}{t}f(t) = 0 e quindi per ogni ε > 0 esiste a_{k} tale che

| ∫_{π/a_{k−1}}^{π} dt\frac{sin a_{k}t}{t}f(t)| < ε. Per quanto riguarda C_{k} abbiamo

C_{k} = c_{k} ∫_{π/a_{k}}^{π/a_{k−1}} \frac{sin^{2} a_{k}t}{t} = c_{k} ∫_{π/a_{k}}^{π/a_{k−1}} \frac{1−cos 2a_{k}t}{t} = \frac{c_{k}}{2} ln n_{k} − c_{k} ∫_{π/a_{k}}^{π/a_{k−1}} \frac{cos 2a_{k}t}{t}. Integrando per parti il secondo integrale si può maggiorare con una costante K. Scegliendo c_{k} = \frac{1}{\sqrt{ln n_{k}}} abbiamo J_{k} → +∞ per k → +∞.

È opportuno osservare che la ragione della non convergenza della serie di Fourier nell’origine è dovuta al fatto che la funzione non è a variazione limitata in un qualsiasi intorno dell’origine stessa.

Diamo ora la dimostrazione di alcuni risultati che sono stati usati. Servono alcuni risultati preliminari.

Lemma 12.2.1 Se f(x) è una funzione sommabile in [a, b] allora lim_{n→+∞} ∫_{0}^{2π} f(x) sin nxdx = 0 = lim_{n→+∞} ∫_{0}^{2π} f(x) cos nxdx

Dimostrazione La prima dimostrazione che diamo è quella contenuta a pagina 402 del libro di Kolmogorov. Supponiamo che f ∈ C^{1}([a, b]) e quindi integrando per parti si ha \frac{sin nx}{n}f(x)|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} dx\frac{sin nx}{n}f′(x). Il limite per n → +∞ è chiaramente zero. Se invece f ∈ L_{1}([a, b]) la derivata non si può più fare ma essendo le funzioni C^{1}([a, b]) dense nello spazio delle funzioni L_{1}([a, b]) ossia \overline{C^{1}([a, b])} = L_{1}([a, b]) (la chiusura va intesa nel senso della metrica di L_{1},) allora ∀ ε > ∃ φ_{ε} ∈ C^{1}([a, b]) : ∥f − φ_{ε}∥_{L_{1}} < ε. Il risultato segue ora facilmente.

Teorema 12.2.1 Data una funzione sommabile f in [−π, π] si ha

S_{n}(x) =^{def} \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x + u)\frac{sin(2n+ \frac{1}{2} )u}{2 sin \frac{u}{2}} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x + u)\frac{sin nu}{u}du + o(1)

Dimostrazione \frac{sin(2n+ \frac{1}{2} )x}{2 sin \frac{x}{2}} = \frac{sin nx}{2 tan \frac{x}{2}} + \frac{1}{2} cos nx = \frac{sin nx}{x} + sin nx(\frac{1}{2 tan \frac{x}{2}} − \frac{1}{x}) + \frac{1}{2} cos nx. Sia g(x) = \frac{1}{2 tan \frac{x}{2}} − \frac{1}{x}, g(0) = 0. La funzione è continua in [−π, π] e si estende per periodicità a tutto l’asse reale e quindi f(x + u)(\frac{1}{2 tan \frac{u}{2}} − \frac{1}{u}) è sommabile. Il lemma 12.2.1 ci dice che tanto \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x + u) sin nu(\frac{1}{2 tan \frac{u}{2}} − \frac{1}{u}) quanto \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x + u)\frac{1}{2} cos nu tendono a zero per n → +∞.

Dimostriamo ora il seguente teorema

Teorema 12.2.2 La serie di Fourier di una funzione f a variazione limitata converge ad f nei punti in cui è continua ed al valore \frac{f(x+0)+f(x−0)}{2} nei punti in cui è discontinua. Se (a′, b′) ⊂ (a, b) è un intervallo in cui la funzione è continua, la serie di Fourier converge ivi uniformemente

Abbiamo bisogno di alcuni lemmi.

Lemma 12.2.2 La convergenza o divergenza in x della serie di Fourier di una funzione sommabile dipende solamente dal comportamento della funzione nell’intorno del punto x

Dimostrazione Definiamo una funzione periodica g(x+2π) = g(x) e g(u) = \{ \begin{matrix}0 |x| < δ \\ u^{−1} δ ≤ |x| ≤ π \end{matrix}

Poi dal teorema 12.2.1 scriviamo S_{n}(x) = \frac{1}{π} ∫_{−δ}^{δ} f(x+u)\frac{sin nu}{u}du+ \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x+u)g(u) sin nudu+

o(1) e dal fatto che g(x)f(x) è sommabile si ha S_{n}(x) = \frac{1}{π} ∫_{−δ}^{δ} f(x + u)\frac{sin(nu)}{u}du + o(1)

S_{n}(x) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{δ}(f(x + u) + f(x − u))\frac{sin nu}{u}du + o(1) e se fosse f(x) ≡ 1 avremmo S_{n}(x) = 1 per ogni n. Ne segue che 1 = \frac{2}{π} ∫_{0}^{δ} \frac{sin nu}{u}du + o(1) e quindi S = \frac{2}{π} ∫_{0}^{δ} S \frac{sin nu}{u}du + o(1). Una ulteriore conseguenza è che S_{n}(x) − S = \frac{1}{π} ∫_{0}^{δ}[f(x + u) + f(x − u) − 2S]\frac{sin nu}{u}du + o(1).

Ne segue il seguente

Lemma 12.2.3 La serie di Fourier σ(f) converge al valore S se e solo se lim_{n→+∞} \frac{1}{π} ∫_{0}^{δ}[f(x + u) + f(x − u) − 2S]\frac{sin nu}{u}du = 0. Il valore S potrebbe benissimo essere f(x).

Lemma 12.2.4 Sia f(x) continua in (a, b) e sia ε > 0. Condizione necessaria e sufficiente perché la serie di Fourier σ(f) converga uniformemente in [a + ε, b − ε] è che

lim_{n→+∞} ∫_{0}^{δ} φ_{x}(u)\frac{sin nu}{u}du = 0 uniformemente in (a, b), 0 < δ < ε e φ_{x}(u) =^{def}f(x + u) + f(x − u) − 2f(x), a + ε ≤ x ≤ b − ε, |u| ≤ δ.

Dimostrazione Basta osservare che la funzione è uniformemente continua in un qualsiasi intervallo chiuso contenuto in (a, b). In tal modo |u| < δ_{ε} ⇒ |φ_{x}(u)| < ε e per qualsiasi x ∈ [a+ε, b−ε] da cui la convergenza uniforme in [a + ε, b − ε]

Dimostrazione del teorema 12.2.1 È sufficiente dimostrarlo per funzioni non decrescenti in quanto ogni funzione a variazione limitata può scriversi come somma di funzioni monotone ([Kol] pag. 303). Sia S =^{def} \frac{1}{2}(f(x + 0) + f(x − 0)) e quindi f(x + u) + f(x − u) − 2S = [f(x + u) − f(x + 0)] + [f(x − u) − f(x − 0)]. Stimiamo ora ∫_{0}^{δ}(f(x + u) − f(x + 0))\frac{sin nu}{u}. Sappiamo che ∀ ε > 0 ∃ δ_{1} < δ : 0 ≤ u ≤ δ_{1} ⇒ |f(x + u) − f(x + 0)| < ε (è una conseguenza della monotonia). Essendo ∫_{0}^{δ} \frac{sin nu}{u} ≤ A ne segue che | ∫_{0}^{δ}(f(x + u) − f(x + 0))\frac{sin nu}{u}| ≤ εA e quindi | ∫_{0}^{δ}(f(x + u) − f(x + 0) − 2S)\frac{sin nu}{u}| ≤ 2Aε A partire dal teorema 12.2.2 si può dimostrare il seguente corollario

Corollario 12.2.1 Se f è una funzione a variazione limitata e continua in [−π, π], con f(π) = f(−π) allora la sua serie di Fourier converge uniformemente su tutta la retta reale. In particolare se una funzione è assolutamente continua e periodica in R allora la sua serie di Fourier converge uniformemente.

Sia data una funzione f sommabile in [0, 2π] e periodica e si costruisca la sua serie di Fourier (che non sappiamo se converge). Scriviamo per questo f(x) ∼ \frac{a_{o}}{2} + ∑_{k=1}^{∞} a_{k} cos kx + b_{k} sin kx e quindi F (x) ∼ \frac{a_{o}}{2} x + C + ∑_{k=1}^{∞} \frac{−b_{k} cos kx+a_{k} cos kx}{k} dove F è l’integrale di f. La funzione F (x) − \frac{a_{o}}{2} x è assolutamente continua e quindi ad essa converge uniformemente la sua serie di Fourier. In particolare deve convergere l’espressione ∑_{k=1}^{∞} \frac{b_{k}}{k} . Tale osservazione è importante qualora si voglia stabilire se una certa serie trigonometrica convergente q.o. definisce una funzione sommabile ^{(2.12)}. Ad esempio la serie trigonometrica ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{ln k} non può definire una funzione sommabile, ancorché la serie converga per ogni x ∈ R, in quanto ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k ln k} diverge mentre dovrebbe convergere. La questione di stabilire se esiste una funzione g(x) sommabile, diversa quindi da f(x), tale che la sua serie di Fourier sia ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{ln k} richiede un ulteriore ragionamento. Il teorema che si usa e che verrà dimostrato fra poco è che per una funzione sommabile lim_{n→+∞} σ_{n}(x; f) − f(x) = 0 q.o. (per la definizione di σ_{n}(x; f) si veda il 12.0) ossia per una funzione sommabile le somme di Fejér convergono alla funzione q.o.. Supponiamo allora che esista questa funzione g(x) sommabile tale che S_{n}(x; g) = ∑_{k=1}^{n} \frac{sin kx}{ln k}. Abbiamo σ_{n}(x; g) − g(x) → 0 q.o.. Ma σ_{n}(x; g) = σ_{n}(x; f) e quindi f = g q.o. il che è falso essendo g sommabile ed f no. Come si vede essenziale è il Teorema sulla convergenza q.o.. delle somme parziali di Fejér; teorema che ora andiamo a dimostrare.

Lemma 12.2.5 Se f ∈ L_{1}(a, b), q.o. si ha lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{x}^{x+h} dt|f(t) − f(x)| = 0

Dimostrazione I punti in cui lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{x}^{x+h} dt|f(t) − f(x)| = 0 sono detti punti di Lebesgue. Sia

dato un numero razionale r e sia F (u) =^{def} ∫_{0}^{u} dt|f(t)−r|; |f(t)−r| è una funzione sommabile per cui q.o. F′(u) = |f(u) − r|. Sia E_{r} l’insieme dei punti in cui F′(u) = |f(u) − r| è falsa (chiaramente μ(E_{r}) = 0). Sia E =^{def} ∪_{k} E_{r_{k}} dove {r_{k}} è una numerazione dei razionali e chiaramente si ha μ(E) = 0. Sia ora x_{o} ∉ E e r ∈ Q tale che |f(x_{o}) − r| < ε. |f(t) − f(x_{o})| = |(f(t) − r) + (r − f(x_{o}))| ≤ |f(t) − r| + |r − f(x_{o})| = (|f(t) − r| − |f(x_{o}) − r|) + |f(x_{o}) − r| + |r − f(x_{o})| x_{o} ∉ E ⇒ x_{o} ∉ E_{r_{k}} per ogni k per cui lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{x_{o}}^{x_{o}+h} dt|f(t) − r| = |f(x_{o}) − r|. Quindi

abbiamo \frac{1}{h} ∫_{x_{o}}^{x_{o}+h} dt|f(t) − f(x_{o})| = o(1)

Osservazione 1) I punti in cui f(x) è continua sono punti di Lebesgue essendo vera la maggiorazione \frac{1}{h} ∫_{x}^{x+h} dt|f(t) − f(x)| ≤ sup_{x<t<x+h} |f(t) − f(x)| 2) Detta F (x) la primitiva di una funzione sommabile, nei punti di Lebesgue si ha l’uguaglianza F′(x) = f(x). In questo caso infatti si ha la disuguaglianza |\frac{1}{h}(F (x+h)−F (x)−f(x))| ≤ \frac{1}{|h|} ∫_{min\{x,x+h\}}^{max\{x,x+h\}} dt|f(t)−f(x)| il cui limite h → 0 è zero. 3) Il viceversa non è vero ossia se x_{o} è un punto in cui la funzione F (x) è derivabile, non è detto che sia un punto di Lebesgue (chiaramente non può essere un punto in cui f(x) è continua ma d’altra parte non può essere un punto con una discontinuità di salto). Si

prenda la funzione \{ \begin{matrix}sin x^{−1} x ≠ 0 \\ 0 x = 0 \end{matrix} . Nel capitolo sugli integrali esercizio 22.8 si è dimostrato

che, detta F (x) = ∫_{0}^{x} dtf(t), si ha F′(0) = f(0) = 0. Vogliamo ora far vedere che non esiste lim_{h→0} \frac{1}{h} ∫_{0}^{h} dt|f(t)|. Per questo trasformiamo l’integrale come lim_{h→0^{+}} \frac{1}{h} ∫_{1/h}^{+∞} dz \frac{| sin z|}{z^{2}} (poi

bisognerà fare anche il limite a h → 0^{−}). lim_{h→0^{+}} \frac{1}{h} ∫_{1/h}^{+∞} dz \frac{| sin z|}{z^{2}} ≥ lim_{h→0^{+}} \frac{1}{h} ∫_{1/h}^{+∞} dz \frac{sin^{2} z}{z^{2}} = \frac{1}{2} lim_{h→0^{+}} \frac{1}{h} ∫_{1/h}^{+∞} dz \frac{1−cos(2z)}{z^{2}}. Il primo limite fa \frac{1}{2}. Il secondo integrale si fa per parti ottenendo

(2.12) Si veda pure il Teorema 12.3.1 per una serie trigonometrica divergente che non deriva da alcuna funzione sommabile

−\frac{1}{2h} \frac{sin(2t)}{2t^{2}} |\begin{matrix}+∞ \\ 1/h \end{matrix} + \frac{1}{2} ∫_{1/h}^{+∞} dt\frac{sin(2t)}{t^{3}} = −\frac{1}{4}h − \frac{1}{2h} ∫_{1/h}^{+∞} dt\frac{sin(2t)}{t^{3}}. Il primo contributo ha limite 0

mentre il secondo si maggiora con \frac{2}{h} ∫_{1/h}^{+∞} \frac{dt}{t^{3}} e nel limite fa zero. Dunque il limite cercato è \frac{1}{2}

Corollario 12.2.2 Data una funzione sommabile, q.o. si ha Φ_{x}(t) =^{def} ∫_{0}^{h} du(f(x + u) + f(x − u) − 2f(u)) = o(t)

Dimostrazione Basta cambiare variabili

Teorema 12.2.3 Sia data una funzione f sommabile in [0, 2π]. Nei punti x in cui \frac{1}{h} ∫_{o}^{h} |f(x + t) + f(x − t) − 2f(x)|dt = o(h) si ha σ_{n}(x; f) → f(x)

Osservazioni Se la funzione è continua in x oppure ha una discontinuità di prima specie (salto) oppure è continua in un intervallo valgono dei Teoremi più forti che daremo dopo.

Dimostrazione Detta φ_{x}(t) =^{def}|f(x + t) + f(x − t) − 2f(x)| e detta Φ_{x}(t) = ∫_{0}^{t} du|φ_{x}(u)| si ha σ_{n}(x) − f(x) = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} duφ_{x}(u)K_{n}(u) e K_{n}(u) è descritta al 12.0. Dal fatto che |D_{k}(x)| ≤

k + \frac{1}{2} se k ≤ n segue che |K_{n}(x)| ≤ 2n. |\frac{1}{π} ∫_{0}^{1/n} dtφ_{x}(t)K_{n}(t)| ≤ \frac{2n}{π} ∫_{0}^{2n} dtφ_{x}(t) = \frac{2n}{π}Φ_{x}(\frac{1}{n}) = o(1) poiché Φ_{x}(t) = o(t). Inoltre dal fatto che 0 < K_{n}(x) < \frac{1}{2(n+1) sin^{2} sin^{2} \frac{u}{2}} ≤ \frac{π^{2}}{2u^{2}(n+1)} si

può stimare |\frac{1}{π} ∫_{1/n}^{π} φ_{x}(t)K_{n}(t)| ≤ \frac{1}{π} \frac{π^{2}}{2n} ∫_{1/n}^{π} |φ_{x}(t)|\frac{1}{t^{2}} dt = \frac{π}{2n} ∫_{1/n}^{2π} dt\frac{1}{t^{2}} (Φ_{x})′ = \frac{π}{2n}[π^{−2}Φ_{x}(π) −

n^{2}Φ_{x}(\frac{1}{n})]+\frac{π}{n} ∫_{1/n}^{π} dt\frac{Φ_{x}(t)}{t^{3}}. Essendo Φ_{x}(t) = o(t) abbiamo \frac{π}{2n}π^{−2}Φ_{x}(π) = o(1) e sommando con l’integrale fra 0 e \frac{1}{n} otteniamo σ_{n}(x; f) − f(x) = o(1) con la condizione che Φ_{x}(t) = o(t). \frac{1}{n}n^{2}Φ_{x}(\frac{1}{n}) = o(1). L’integrale si stima allo stesso modo per cui \frac{1}{π} ∫_{1/n}^{π} dtφ_{x}(t)K_{n}(t) = o(1)

Corollario 12.2.3 Se f ∈ L_{1}(0, 2π) σ_{n}(x; f) → f(x) q.o.

Dimostrazione Si applica il Teorema 12.2.3 in tutti i punti consentiti dal Corollario 12.2.2

12.3 Una serie trigonometrica (non di Fourier), dovuta a Steinhaus, che diverge ovunque ed i cui coefficienti tendono a zero

Teorema di Lusin–Denjoy Se la serie trigonometrica \frac{a_{o}}{2} +∑_{k=1}^{∞} a_{k} cos kx+b_{k} sin kx converge assolutamente nell’insieme E ⊆ [0, 2π] con μ(E) > 0 allora ∑_{k=1}^{∞}(|a_{k}| + |b_{k}|) < ∞

Dimostrazione Sia ρ_{k} = \sqrt{a_{k}^{2} + b_{k}^{2}} k = 1, 2, … e sia α_{0} = 0, \frac{a_{0}}{2} = ρ_{0}, a_{k} = ρ_{k} cos α_{k}, b_{k} = ρ_{k} sin α_{k}. La serie diventa ∑_{k=0}^{∞} ρ_{k} cos(kx − α_{k}) e la convergenza assoluta in E implica che ∑_{k=0}^{∞} ρ_{k}| cos(kx − α_{k})| < ∞. Dal teorema di Yegorov esiste un insieme P ⊂ E, μ(P) > 0 nel quale la serie converge uniformemente. Sia S(x) la somma della serie per x ∈ P. Abbiamo ∫_{P} S(x)dx = ∑_{k=0}^{∞} ρ_{k} ∫_{P} cos(kx − α_{k})dx. Abbiamo le disuguaglianze ∫_{P} | cos(kx − α_{k})|dx ≥ ∫_{P} cos^{2}(kx − α_{k})dx = \frac{1}{2} ∫_{P} (1 + cos 2(kx − α_{k}))dx = \frac{1}{2}μ(P) + \frac{1}{2} ∫_{P} cos 2(kx − α_{k})dx. Se X_{P} è la funzione caratteristica dell’insieme P si ha ∫_{P} cos 2(kx − α_{k})dx = ∫_{−π}^{π} X_{P} cos 2(kx − α_{k})dx = cos α_{k} ∫_{−π}^{π} X_{P} cos 2kxdx sin α_{k} ∫_{−π}^{π} X_{P} sin 2kxdx. Sia ∫_{−π}^{π} X_{P} sin 2kxdx che ∫_{−π}^{π} X_{P} cos 2kxdx tendono a zero per n → +∞ essendo X_{P} ∈ L([−π, π]) e quindi ∫_{P} | cos(kx − α_{k})|dx ≥ \frac{1}{4}μ(P). Ma allora deve aversi ∑_{k=1}^{∞} ρ_{k} < ∞ e quindi ∑_{k} |a_{k}| + ∑_{k} |b_{k}| < ∞.

Teorema di Cantor–Lebesgue Se una serie trigonometrica converge su di un insieme di misura positiva allora i suoi coefficienti di Fourier tendono a zero

Dimostrazione Se ∑_{k=0}^{∞} ρ_{k} cos(kx−α_{k}) converge in E con μ(E) > 0 allora lim_{k→+∞} ρ_{k} cos(kx− α_{k}) = 0 per ogni x ∈ E. Supponiamo che esista una successione {n_{i}}_{i=1}^{∞} tale che ρ_{n_{k}} ≥ δ > 0. Ne consegue che lim_{k→+∞} cos(kx − α_{k}) = 0 per ogni x ∈ E e quindi lim_{k→+∞} cos^{2}(kx − α_{k}) = 0 e quindi ∫_{E} lim_{k→+∞} cos^{2}(kx − α_{k})dx = 0. Scambiando integrale e limite abbiamo lim_{k→+∞} ∫_{E} cos^{2}(kx − α_{k})dx = 0. Ripetendo il ragionamento precedente si arriva ad avere lim_{k→+∞} ∫_{E} cos^{2}(kx − α_{k})dx = \frac{1}{2}μ(E).

Se cade quella parte di ipotesi per cui μ(E) > 0 allora la conclusione non vale come mostra l’esempio ∑_{k=0}^{∞} sin(k!x).

Il ragionamento inverso al teorema di Cantor–Lebesgue non funziona. Se si dispone di una serie trigonometrica i cui coefficienti tendono a zero non è detto che essa converga su di un insieme a misura positiva ed anzi può non convergere affatto come mostra il seguente

Teorema 12.3.1 La serie trigonometrica ∑_{k=3}^{∞} \frac{cos k(x−ln ln k)}{ln k} diverge per ogni valore di x^{(2.12.?)}

Dimostrazione Siano  l_{k} =^{def}[ln k],  v_{k} =^{def} ln ln k,  g_{n}(x) =^{def} ∑_{k=n+1}^{n+l_{n}} \frac{cos k(x−v_{k})}{ln k},

g_{n} =^{def} ∑_{k=n+1}^{n+l_{n}} \frac{1}{ln k}; |g_{n} − g_{n}(x)| ≤ \frac{1}{2} ∑_{k=n+1}^{n+l_{n}} \frac{k^{2}(x−v_{k})^{2}}{ln k} ≤ \frac{1}{2 ln n} ∑_{k=n+1}^{n+l_{n}} k^{2}(x − v_{k})^{2}.

Per v_{n} ≤ x ≤ v_{n+1} e n + 1 ≤ k ≤ n + l_{n}, applicando il teorema di Lagrange abbiamo (n < ξ < n + l_{n})

|x − v_{k}| ≤ v_{n+l_{n}} − v_{n} = ln ln(n + l_{n}) − ln ln n = \frac{1}{ln ξ} \frac{l_{n}}{ξ} ≤ \frac{1}{n}

Ne segue che

|g_{n} − g_{n}(x)| ≤ \frac{l_{n}}{2 ln n}(n + l_{n})^{2} \frac{1}{n^{2}} ≤ \frac{1}{2} \frac{1}{n^{2}} (n + l_{n})^{2} ≤ \frac{1}{2}(1 + \frac{l_{n}}{n})^{2}

e quindi 0 < g_{n} − g_{n}(x) ≤ \frac{1}{2} + ε per n ≥ N_{ε}. Ora g_{n} ≥ \frac{l_{n}}{ln(n+l_{n})} → 1 per n → +∞ da cui g_{n} ≥ 1 − ε per n ≥ N_{ε} ossia g_{n}(x) > \frac{1}{2} − 2ε > \frac{1}{4} per n ≥ N_{ε} e v_{n} ≤ x ≤ v_{n+1}. Dunque abbiamo dimostrato che per ogni x ∈ [v_{k_{x}}, v_{k_{x}+1}] ⇒ g_{k_{x}}(x) > \frac{1}{4}. Per periodicità g_{k_{x}}(x) = g_{k_{x}}(x + 2πp) per ogni p intero e x + 2πp ∈ [v_{k_{p}}, v_{k_{p}+1}] con k_{p} → +∞. Dunque si ha una successione {k_{p}} per cui g_{k_{p}}(x) > \frac{1}{4}. Ne segue che la successione g_{k_{p}}(x) non è di Cauchy.

Nell’introduzione del capitolo è preannunciato che la serie ∑_{k=3}^{∞} \frac{cos k(x−ln ln k)}{ln k} non è la serie di Fourier di alcuna funzione sommabile in [0, 2π] ossia non esiste alcuna f ∈ L_{1}(0, 2π) tale che \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dxf(x) cos kx = \frac{cos(k ln ln k)}{ln k} e \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dxf(x) sin kx = \frac{sin(k ln ln k)}{ln k}. L’argomento usato a proposito della funzione ∑_{k=2}^{+∞} \frac{sin kx}{ln k} non funziona nel caso specifico poiché esso si basa sul fatto che la serie definisca una funzione (che poi tale funzione non sia sommabile è discorso successivo). Nel caso della serie di Steinhaus, ∑_{k=3}^{∞} \frac{cos k(x−ln ln k)}{ln k} non definisce funzione alcuna.

12.4 Una funzione continua la cui serie di Fourier non converge uniformemente in nessun intervallo di [0, 2π]

Sia g(x) la funzione costruita al 12.1 e sia {r_{i}} un ordinamento dei numeri razionali. Definiamo la funzione G(x) =^{def} ∑_{k=1}^{∞} 2^{−k}g(x − r_{k}). La funzione definita è continua per il criterio di Weierstrass e dunque ammette una serie di Fourier σ(G) le cui somme parziali sono date da S_{n}(x, G). S_{n}(x, G) = ∑_{k=1}^{∞} 2^{−k}S_{n}(x − r_{k}, g) e quindi R_{n}(x, G) = S_{n}(x, G) − G(x) = ∑_{k=1}^{∞} 2^{−k}(S_{n}(x − r_{k}, g)−g(x−r_{k})) = ∑_{k=1}^{∞} 2^{−k}R_{n}(x−r_{k}, g) = ∑_{k=1}^{N_{ε}} 2^{−k}R_{n}(x−r_{k}, g)+∑_{N_{ε}+1}^{∞} 2^{−k}R_{n}(x−r_{k}, g). Nella dimostrazione in 12.1 circa la funzione che converge ovunque in [0, 2π] ma non uniformemente nell’intorno di 0 si ha la stima |S_{n}(x, g)| ≤ 2(1+ln a) che adesso riprendiamo per dire che scegliendo N_{ε} opportuno (dipendente anche dal valore a) si ha ∑_{N_{ε}+1}^{∞} 2^{−k}|R_{n}(x − r_{k}, g)| < ε. D’altra parte ∑_{k=1}^{N_{ε}} 2^{−k}R_{n}(x − r_{k}, g) converge a zero per n → +∞. Dalla somma dei due contributi abbiamo che S_{n}(x, G) converge a G(x) in ogni punto dell’intervallo [0, 2π]. Prendiamo ora un numero razionale r_{j_{o}} e facciamo vedere che la serie non converge uniformemente in alcun intervallo che circonda r_{j_{o}}. Ne segue che la serie non converge uniformemente in alcun intervallo. Scriviamo R_{n}(x, G) = ∑_{k=1}^{N,k≠j_{o}} 2^{−k}R_{n}(x − r_{k}, g) + 2^{−j_{o}}R_{n}(x − r_{j_{o}}, g) + ∑_{N+1}^{∞} 2^{−k}R_{n}(x − r_{k}, g). Sia δ_{N} la distanza minima tra r_{j_{o}} e r_{1}, r_{2}, …, r_{N} con N ≠ j_{o} e consideriamo un intervallo x appartenente all’intervallo (r_{j_{o}} − \frac{1}{4}δ_{N}, r_{j_{o}} + \frac{1}{4}δ_{N}). Da quanto scritto nella dimostrazione di 12.1 abbiamo che 2^{−j_{o}}R_{n}(x − r_{j_{o}}, g) non converge uniformemente per n → +∞ nel senso che vi è una successione di punti x_{k} tale che x_{k} → r_{j_{o}} e 2^{−j_{o}}R_{n}(x_{k} − r_{j_{o}}, g) > 2^{−j_{o}}. L’ultimo contributo tende a zero uniformemente per N → +∞ per le stesse ragioni di prima. Rimane da studiare il comportamento del primo contributo ∑_{k=1}^{N,k≠j_{o}} 2^{−k}R_{n}(x − r_{k}, g). In ciascuno dei termi presenti si ha |x − r_{k}| ≥ \frac{1}{2}δ_{N} e quindi sappiamo che |R_{n}(x − r_{k})| ≤ \frac{M}{δ_{N}} \frac{1}{(m_{n}+1)^{2}} e quindi prendendo n

(2.12.?) 1) H.Steinhaus: Sur une série trigonométrique divergente, C.R. de la Soc. sci. de Varsovie, V, fasc.3 (1912)

pp.223–227, 2) H.Steinhaus: A divergent trigonometrical series, Journal of London Mathematical Society, 4 (1929)

pp.86–88, 3) Sioban O’Shea: On a Divergent Trigonometrical Series Given by Steinhaus, Proocedings of the American Mathematical Society, Volume 10, Issue 1 (Feb., 1959) pp.60–70.

grande abbastanza si ha ∑_{k=1}^{N,k≠j_{o}} 2^{−k}|R_{n}(x − r_{k}, g)| ≤ 2^{−j_{o}−1}. La conclusione è la convergenza non uniforme nell’intervallo (r_{j_{o}} − \frac{1}{4}δ_{N}, r_{j_{o}} + \frac{1}{4}δ_{N}) data la densità dei razionali.

Diamo ora alcune definizioni

Definizione La successione {f_{n}(x)} è detta divergente limitatamente se −∞ < \underline{lim}_{n→+∞}f_{n}(x) < \overline{lim}_{n→+∞}f_{n}(x) < ∞. La stessa successione è detta divergente illimitatamente se \overline{lim}_{n→+∞}f_{n}(x) = ∞. Inoltre è detta divergente se verifica una qualsiasi delle precedenti definizioni.

Teorema 12.4.1 Sia data la successione {f_{n}(x)} dove f_{n} ∈ C([a, b]). Allora l’insieme dei punti in cui dovesse divergere illimitatamente è un insieme G_{δ}. Se inoltre tale insieme è denso allora è non–numerabile.

Dimostrazione Basta osservare che l’insieme in questione può scriversi come ∩_{M=1}^{∞} ∪_{k=1}^{∞} {x ∈ [a, b]: f_{k}(x) > M} che è chiaramente intersezione di aperti essendo le funzioni continue. Dunque l’insieme in questione è della forma O = ∩_{k=1}^{∞}O_{k} e quindi è un G_{δ}. Supponiamo che sia denso in [a, b] che è completo come spazio metrico. Il complementare di O è dato da [a, b]\O =^{def}O^{c} =

∪_{k=1}^{∞}O_{k}^{c} e ciascun O_{k}^{c} è chiuso. Non può accadere che O^{c}^{o} ≠ ∅ in quanto violerebbe la densità di

O e quindi deve per forza aversi O_{k}^{c}^{o} = ∅. Se O fosse numerabile ossia O = {a_{i}} vorrebbe dire che [a, b] = {a_{i}} ∪_{k=1}^{∞} O_{k}^{c} e ciascun elemento verifica la relazione secondo cui la chiusura ha interno vuoto e questo è impedito dalla completezza di [a, b]. La contraddizione si risolve dicendo che se \overline{O} = [a, b] allora O è non–numerabile.

12.5 Una funzione continua la cui serie di Fourier diverge su di un insieme non– numerabile

Sia data la funzione g(x) = ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k^{2}} Q_{k}(k!x) dove Q_{k}(x) è definito in 12.1 e n_{k} = a^{k^{3}}. È una serie uniformemente convergente di funzioni continue e quindi definisce una funzione continua. Se scriviamo la serie di Fourier di g(x) otteniamo \frac{a_{o}}{2} + ∑_{k=1}^{∞} a_{k} cos kx + b_{k} sin kx che è data esattamente da ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k^{2}} Q_{k}(k!x) in quanto 3n_{k}k! < n_{k+1}(k + 1)! (a maggior ragione se 3n_{k} <

n_{k+1} grazie ad una opportuna scelta di a; vedi il paragrafo 12.1). Se ν_{m} =^{def}2n_{m}−1 e μ_{m} =^{def}3n_{m−1} allora S_{ν_{m}}(x, g)−S_{μ_{m}}(x, g) = \frac{1}{m^{2}} P (m!x, n_{m}). Ora se x = 2π \frac{p}{q} esiste un intero m_{p} tale che m!2π \frac{p}{q} è multiplo di 2π per ogni intero maggiore o uguale a m_{p}. Ne segue che \frac{1}{m^{2}} P (m!2π \frac{p}{q}, n_{m}) > m ln a e quindi \{S_{3n_{k}}(x, g)\}_{k=1}^{∞} diverge a +∞. Conseguentemente si ha \overline{lim}_{n→+∞}S_{n}(x, g) = +∞ (ossia divergenza illimitata) su di un insieme denso di numeri e grazie al Teorema 12.4.1 la divergenza accade su di un insieme non–numerabile.

12.? Un esempio, dovuto a Kolmogorov, di funzione sommabile in [0, 2π] e la cui serie di Fourier diverge quasi ovunque^{(1.12.?)} Lemma 12.?.1 Esistono funzioni φ_{n}(x) tali che:

(1.12.?) Diamo qualche referenza bibliografica: 1) A.N.Kolmogorov: Une série de Fourier–Lebesgue divergente presque

1) φ_{n} ≥ 0, ∫_{0}^{2π} dxφ_{n}(x) = 2, n = 1, 2, …, 2) φ_{n}(x) a variazione limitata

3) ∃ A > 0 : |S_{p}(x, φ_{n})| < A ln n, p = 1, 2, …, ∀ x ∈ H_{n} e lim_{n→+∞} μ(H_{n}) = 2π

4) ∀ ε > 0 ∃ α_{ε} > 0 ∧ N_{ε} ∈ N : ∀ n > N_{ε} ∃ E_{n} :

a) μ(E_{n}) > 2π − ε, b) ∀ x ∈ E_{n} ∃ p_{x} : |S_{p_{x}}(x, φ_{n})| > α_{ε} ln n

c) n ≤ p_{x} ≤ m_{n}, m_{n} dipende solo da n e non da ε.

Dimostrazione Sia A_{k} =^{def} = k \frac{4π}{2n+1} k = 1, 2, …, n λ_{1} = 1, λ_{2} < λ_{3} < λ_{4} … una successione crescente da definirsi di numeri dispari. Sia inoltre m_{1} = n, 2m_{k} +1 = λ_{k}(2n+1) k = 2, 3, …, n. Siano dati gli intervalli aperti Δ_{k} =^{def}(A_{k} − \frac{1}{m_{k}^{2}} , A_{k} + \frac{1}{m_{k}^{2}} ) k = 1, 2, …, n.

Δ_{k} ∩ Δ_{k+1} = ∅; infatti A_{k} + \frac{1}{m_{k}^{2}} < A_{k+1} − \frac{1}{m_{k+1}^{2}} è implicata da \frac{4}{(λ_{k}(2n+1)−1)^{2}} < \frac{4π}{2n+1} −

\frac{4}{λ_{k+1}(2n+1)−1)^{2}} ossia \frac{1}{λ_{k}(2n+1)−1)^{2}} + \frac{1}{λ_{k+1}(2n+1)−1)^{2}} < \frac{π}{2n+1} che è implicata da \frac{2}{λ_{k}(2n+1)−1)^{2}} < \frac{π}{2n+1} e che a sua volta è implicata da \frac{2}{(2n+1)−1)^{2}} < \frac{π}{2n+1} ossia 4πn^{2} − 4n − 2 > 0 che è sempre vera.

Definiamo le seguenti funzioni φ_{n}(x) = \{ \begin{matrix}m_{k}^{2}/n x ∈ Δ_{k}, k = 1, 2, …, n \\ 0 altrimenti \end{matrix}

∫_{0}^{2π} dxφ_{n}(x) = ∑_{k=1}^{n} ∫_{Δ_{k}} dxφ_{n}(x) = \frac{2}{n}n. Inoltre ogni φ_{n} è positiva ed a variazione limitata e quindi si è dimostrata la 1) e la 2). Passiamo a dimostrare la 3).

partout, Fundamenta Mathematicae, 4 1923, 324–329 (ad ogni modo già il 2–VI–1922 il lavoro era scritto),

2) J.Marcinkiewicz: Sur les séries de Fourier, Fundamenta Mathematicae, 27 1938, 38–69 Vorrei citare a proposito un aneddoto raccontato da V.I.Arnol’d in una nota a pié pagina 132 del libro The Golden Years of the Moscow Mathematics. Racconta Arnol’d di un incontro da lui avuto con il matematico Maurice René Frechét (1878–1973) nel 1965 e scrive testualmente “Frechet said to me 1965: Oh, Kolmogorov–is the young man who constructed a summable function with Fourier series that diverges almost–everywhere?” All later achievements of Andrei Nikolaevich– in probability theory, topology, functional analysis, turbulence theory, the theory of dynamical systems–were of less value in the eyes of Frechet”.

Per molti anni, fino al 1966 (vedi [Kol] pag.405), è rimasto aperto il problema di dimostrare se divergeva o convergeva q.o. la serie di Fourier di una funzione L_{2} (il quadrato del modulo è sommabile). Nel 1966 il matematico L.Carleson ha dimostrato che tale serie converge q.o. e la referenza è : On the convergence and growth of partial sums of Fourier Series, Acta Mathematica 116 (1966) pp.135–157. Successivamente R.A.Hunt ha dimostrato lo stesso risultato per funzioni L_{p} (la potenza p>1 del modulo è sommabile) e la referenza è : On the convergence of Fourier Series, Proc. Conference Edwardsville, Ill., 1967,pp. 235–255. Per funzioni “a quadrato sommabile” lo stesso risultato ma con tecniche diverse, si può trovare in C.Feffermann: Pointwise Convergence of Fourier Series, Annals of Mathematics, 98, (1973) pp.551–571 (si veda pure Erratum:“Pointwise Convergence of Fourier Series, Annals of Mathematics (2) 146 (1997), no.1 p.239) e G.Gallavotti–A.Porzio: The Almost Everywhere Convergence of Fourier Series, quaderno del CNR–GNFM, Roma 1987. In quest’ultima referenza gli autori fanno uso di una tecnica di studio di problemi aventi singolarità che è nata nel contesto della Fisica Teorica negli anni 1950–1960, che tuttora trova vasta applicazione sia in Fisica Teorica che Fisica Matematica e che va sotto il nome di Gruppo di Rinormalizzazione. Qualcosa di molto simile è contenuto nell’articolo di Fefferman

φ_{n} A_{1}  A_{2}  A_{3} ^{. . . . . .}A_{n}  φ_{n} A_{k}  d_{k} A_{k+1}

Sia data la famiglia di intervalli chiusi d_{k} = [A_{k} + \frac{1}{n ln n}, A_{k+1} − \frac{1}{n ln n}], k = 1, 2, …, n − 1 e H_{n} = ∪_{k=1}^{n−1}d_{k}; μ(H_{n}) = (n − 1)[\frac{4π}{2n+1} − \frac{2}{n ln n}] → 2π per n → +∞. Gli intervalli Δ_{k} e d_{k} sono tali che d_{k} ∩ Δ_{j} = ∅ per ogni k, j. Basta verificare che A_{k} + \frac{1}{m_{k}^{2}} < A_{k} + \frac{1}{n ln n} e ciò è implicato

da \frac{1}{n} < \frac{1}{ln n}.  Sia x ∈ d_{k}.  La quantità che dobbiamo stimare è data da S_{p}(x, φ_{n}) =

\frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dtφ_{n}(t)\frac{sin(t−x)(p+ \frac{1}{2} )}{2 sin \frac{t−x}{2}} = S̃_{p}(x, φ_{n}) + o(1) e S̃_{p}(x, φ_{n}) =^{def} \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dtφ_{n}(t)\frac{sin p(t−x)}{t−x}. Inoltre si ha

\frac{1}{π} | ∫_{0}^{2π} dtφ_{n}(t)\frac{sin p(t−x)}{t−x}| ≤ ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{π} ∫_{Δ_{j}} dt\frac{φ_{n}(t)}{|t−x|} = ∑_{j=1}^{k−1} \frac{1}{π} ∫_{Δ_{j}} dt\frac{φ_{n}(t)}{|t−x|} + ∑_{j=k}^{k+1} \frac{1}{π} ∫_{Δ_{j}} dt\frac{φ_{n}(t)}{|t−x|} +

∑_{j=k+2}^{n} \frac{1}{π} ∫_{Δ_{j}} dt\frac{φ_{n}(t)}{|t−x|} ≐ B_{1} + B_{2} + B_{3}

Bisogna ora distinguere diversi casi. Il primo è quello per cui t ∈ Δ_{j} e j < k. In tal caso si ha x − t = (x − A_{k}) + (A_{k} − A_{j}) + (A_{j} − t) > (A_{k} + \frac{1}{n ln n} − A_{k}) + \frac{4π}{2n+1}(k − j) − |A_{j} − t| ≥ \frac{1}{n ln n}+\frac{4π}{2n+1}(k−j)−\frac{1}{m_{j}^{2}} > \frac{4π}{2n+1}(k−j)−\frac{1}{m_{k−1}^{2}} = \frac{4π}{2n+1}(k−j)−\frac{4}{(λ_{k−1}(2n+1)−1)^{2}} > \frac{4π}{2n+1}(k−j)−\frac{1}{n^{2}} >

\frac{4π}{2n+1}(k − j). Il contributo B_{1} si stima come |B_{1}| ≤ \frac{1}{π} ∑_{j=1}^{k−1}(max_{t∈Δ_{j}} φ_{n})|Δ_{j}|\frac{4π}{2n+1}(k − j) =

\frac{1}{π} ∑_{j=1}^{k−1} \frac{m_{j}^{2}}{n} \frac{2}{m_{j}^{2}} \frac{2n+1}{4π} \frac{1}{(k−j)} ≤ ∑_{j=1}^{k−1} \frac{1}{(k−j)} ≤ ln k ≤ ln n − 1 < ln n

Il secondo caso è quello per cui t ∈ Δ_{j} e j > k + 1. t − x = (t − A_{j}) + (A_{j} − A_{k+1}) + (A_{k+1} − x) ≥ \frac{4π}{2n+1}(k + 1 − j) + A_{k+1} − (A_{k+1} − \frac{1}{n ln n}) − \frac{1}{m_{j}^{2}} ≥ \frac{2π}{2n+1}(k + 1 − j). Naturalmente se k + 1 = n tale contributo è assente. Possiamo stimare B_{3} allo stesso modo di B_{1} ed ottenere ∑_{j=k+2}^{n} \frac{2}{(k−j−1)} < 2 ln n

Il terzo caso è quello in cui t ∈ Δ_{k} oppure t ∈ Δ_{k+1} ed in questo ambito il contributo maggiore a B_{2} è quello in cui t coincide con l’estremo sinistro dell’intervallo Δ_{n} e x con l’estremo destro di d_{n−1}. In tal caso t > x e t − x ≥ \frac{1}{n ln n} − \frac{1}{n^{2}} > \frac{1}{2n ln n}. Il contributo di B_{2} si stima come

|B_{2}| ≤ \frac{1}{π} \frac{m_{n}^{2}}{n} \frac{2}{m_{n}^{2}} 2n(ln n)2 < 3 ln n. Sommando i tre contributi otteniamo |S̃_{p}(x, φ_{n})| ≤ 6 ln n.

Dunque per ogni x ∈ d_{k} abbiamo |S_{p}(x, φ_{n})| < A ln n e poiché H_{n} = ∪_{k=1}^{n−1}d_{k} si ha x ∈ H_{n} ⇒ |S_{p}(x, φ_{n})| < A ln n. La proprietà 3) è dimostrata.

Passiamo ora alla proprietà 4).

Per x ∈ d_{k−1} dobbiamo stimare in modulo la quantità \frac{1}{π} ∫_{∪_{j=1}^{n}Δ_{j}} dtφ_{n}(t)D_{m_{k}}(t − x) =

= (∫_{∪_{j=1}^{k−1}Δ_{j}} + ∫_{∪_{j=k}^{n}Δ_{j}})(\frac{1}{π} dtφ_{n}(t)D_{m_{k}}(t − x)) ≐ B_{1} + B_{2}.

|B_{1}| ≤ \frac{1}{π} ∑_{j=1}^{k−1} | ∫_{Δ_{j}} dtφ_{n}(t)\frac{sin(t−x)(m_{k}+ \frac{1}{2} )}{2 sin \frac{t−x}{2}}| = \frac{1}{π} ∑_{j=1}^{k−1} | ∫_{Δ_{j}} dtφ_{n}(t)\frac{sin m_{k}(t−x)}{t−x}| + o(1) e x − t >

A_{k−1} + \frac{1}{n ln n} − (A_{k−1} + \frac{1}{m_{k−1}^{2}} ) = \frac{1}{n ln n} − \frac{4}{(λ_{k−1}(2n+1)−1)^{2}} ≥ \frac{1}{n ln n} − \frac{1}{n^{2}} ≥ \frac{1}{2n ln n}. La funzione

φ_{n}(t) è stimabile con \frac{m_{j}^{2}}{n} per t ∈ Δ_{j} e quindi |\frac{φ_{n}(t)}{t−x}| ≤ \frac{m_{k−1}^{2}}{n} 2n ln n è limitata in ∪_{j=1}^{k−1}Δ_{j}. La conseguenza è che |\frac{1}{π} ∫_{∪_{j=1}^{k−1}Δ_{j}} dtφ_{n}(t)\frac{sin m_{k}(t−x)}{t−x}| tende a zero per m_{k} → +∞ grazie al Lemma 12.2.1. Si tenga presente che qui m_{k} è grande perché è grande λ_{k} e non perché n è grande. A differenza di prima (dove p = 1, 2, , …) stavolta cerchiamo un p_{x} e quindi possiamo prendere m_{k} così grande da rendere piccolo il contributo appena stimato.

Ora dobbiamo stimare l’integrale |\frac{1}{π} ∫_{∪_{j=k}^{n}Δ_{j}} dtφ_{n}(t)\frac{sin(t−x)(m_{k}+ \frac{1}{2} )}{2 sin \frac{t−x}{2}}| e x ∈ d_{k−1}. Non possiamo

ripetere il ragionamento fatto prima in quanto stavolta la stima di |\frac{φ_{n}(t)}{t−x}| comporta a numeratore una quantità maggiore od uguale a m_{k}^{2}. Scriviamo D_{m_{k}}(t − x) = (D_{m_{k}}(t − x) − D_{m_{k}}(A_{j} − x)) + D_{m_{k}}(A_{j} − x). L’integrale diventa \frac{1}{π} ∫_{∪_{j=k}^{n}Δ_{j}} dtφ_{n}(t)D_{m_{k}}(t − x) = \frac{1}{π} ∑_{j=k}^{n} ∫_{Δ_{j}} dtφ_{n}(t)(D_{m_{k}}(t −

x) − D_{m_{k}}(A_{j} − x)) + \frac{1}{π} ∑_{j=k}^{n} ∫_{Δ_{j}} dtφ_{n}(t)D_{m_{k}}(A_{j} − x). |D′_{m_{k}}(t)| ≤ m_{k}^{2} (basta ricordare la definizione D_{n}(t) = \frac{1}{2} + cos t + … + cos nt) e quindi per Lagrange |D_{m_{k}}(t − x) − D_{m_{k}}(A_{j} − x)| ≤ m_{k}^{2}|t − A_{j}| con t ∈ Δ_{j}. Ora |t − A_{j}| ≤ m_{j}^{−2} da cui |D_{m_{k}}(t − x) − D_{m_{k}}(A_{j} − x)| ≤

\frac{m_{k}^{2}}{m_{j}^{2}} ≤ 1 essendo j ≥ k. In tal modo si ha |\frac{1}{π} ∫_{∪_{j=k}^{n}Δ_{j}} dtφ_{n}(t)(D_{m_{k}}(t − x) − D_{m_{k}}(A_{j} − x))| ≤

\frac{1}{π} ∑_{j=k}^{n} ∫_{Δ_{j}} φ_{n}(t)dt ≤ ∑_{j=k}^{n} \frac{1}{π} \frac{m_{j}^{2}}{n} \frac{2}{m_{j}^{2}} ≤ ∑_{j=k}^{n} \frac{2}{π} \frac{1}{n} ≤ \frac{2}{π} e quindi \frac{1}{π} ∫_{∪_{j=k}^{n}Δ_{j}} dtφ_{n}(t)D_{m_{k}}(t − x) =

\frac{1}{π} ∫_{∪_{j=k}^{n}Δ_{j}} dtφ_{n}(t)D_{m_{k}}(A_{j} − x) + O(1).

D_{m_{k}}(A_{j} − x) = \frac{sin(A_{j}−x)(m_{k}+ \frac{1}{2} )}{2 sin \frac{A_{j} −x}{2}} = \frac{sin(A_{j}−x)(m_{k}+ \frac{1}{2} )}{2 sin \frac{A_{j} −x}{2}} = \frac{− sin (2m_{k}+1) \frac{x}{2}}{sin \frac{A_{j} −x}{2}} tenendo conto che 2m_{k} +

1 = λ_{k}(2n + 1). Per j ≥ k abbiamo 0 < A_{j} − x ≤ 2π per cui sin \frac{A_{j}−x}{2} > 0 e quindi |\frac{− sin (2m_{k}+1) \frac{x}{2}}{sin \frac{A_{j} −x}{2}} | = \frac{| sin (2m_{k}+1) \frac{x}{2} |}{sin \frac{A_{j} −x}{2}} ≥ \frac{| sin (2m_{k}+1) \frac{x}{2} |}{\frac{A_{j} −x}{2}}. Inoltre A_{j} − x ≤ A_{j} − A_{k−1} = (j − k + 1)\frac{4π}{2n+1}

per cui \frac{| sin (2m_{k}+1) \frac{x}{2} |}{\frac{A_{j} −x}{2}} ≥ | sin (2m_{k} + 1)\frac{x}{2}|\frac{1}{(j−k+1)} \frac{2n+1}{4π}. In tal modo si può stimare

\frac{1}{π} | ∑_{j=k}^{n} ∫_{Δ_{j}} dtφ_{n}(t)D_{m_{k}}(t − x)| ≥ \frac{1}{π} | sin (2m_{k} + 1)\frac{x}{2}| ∑_{j=k}^{n} \frac{1}{(j−k+1)} \frac{2n+1}{4π} \frac{2}{n} + O(1) > > \frac{1}{π^{2}} | sin (2m_{k} + 1)\frac{x}{2}| ∑_{j=k}^{n} \frac{1}{(j−k+1)} + O(1). Ora prendiamo k < n − \sqrt{n} e per tali k si ha

∑_{j=k}^{n} \frac{1}{(j−k+1)} = ∑_{j=1}^{n−k−1} \frac{1}{j} > \frac{1}{2} ln n. Dunque per x ∈ d_{k−1} e k < n − \sqrt{n} si ha S_{m_{k}}(x, φ_{n}) = |\frac{1}{π} ∫_{∪_{j=k}^{n}Δ_{j}} dtφ_{n}(t)D_{m_{k}}(t − x)| ≥ \frac{1}{2π^{2}} ln n| sin (2m_{k} + 1)\frac{x}{2}| + O(1).

Sia dato ora δ > 0 e sia G_{k−1}(δ) =^{def}\{x ∈ d_{k−1} : | sin(2m_{k} + 1)\frac{x}{2}| < δ\}. Sia inoltre G(δ) =^{def} ∪_{k=1}^{n} G_{k}(δ). Si ha μ(G(δ/n)) = O(δ). Infatti se x ∈ d_{k−1} allora \frac{A_{k−1}}{2} < \frac{x}{2} < \frac{A_{k}}{2} ossia (k − 1)\frac{2π}{2n+1} < \frac{x}{2} < k \frac{2π}{2n+1} ma 2m_{k} +1 = λ_{k}(2n+1) per cui | sin(2m_{k} +1)\frac{x}{2}| = | sin(λ_{k}(2n+1)(\frac{x}{2} −(k−1)\frac{2π}{2n+1}))| e quindi è sufficiente studiare il comportamento di | sin λ_{k}(2n + 1)t| per 0 < t < \frac{2π}{2n+1} ovvero | sin λ_{k}u| per 0 < u < 2π. L’insieme delle u per cui | sin λ_{k}u| < δ consiste di 4λ_{k} intervalli la cui lunghezza è \frac{arcsin δ}{λ_{k}} per cui la somma delle loro lunghezze è data da 4 arcsin δ. Ciò vuol dire che la somma delle lunghezze dei valori di x per cui | sin(2m_{k} + 1)\frac{x}{2}| < δ ha misura maggiorata da 8\frac{arcsin δ}{2n+1} e quindi μ(G(δ)) < \frac{4 arcsin δ}{n} e quindi μ(G(δ)) < O(δ/n).

Sia ora x ∈ d_{k−1} e x ∉ G(δ); | sin \frac{x}{2}(2m_{k} + 1)| ≥ δ e quindi S_{m_{k}}(x, φ_{n}) ≥ \frac{δ}{2π^{2}} ln n − O(1).

E_{n} =^{def} ∪_{k=1}^{[n−\sqrt{n}]−1} d_{k}, E_{n} =^{def}(G(δ))^{c} ∩E_{n}; μ(E_{n}) = ([n−\sqrt{n}]−1)(\frac{4π}{2n+1} − \frac{2}{n ln n}) → 2π per n → +∞.

Ne segue che μ(E_{n}) ≥ 2π − o(1) − O(δ/n) ossia μ(E_{n}) ≥ 2π − ε per n > N_{ε} e δ = δ_{ε} dove δ_{ε} è tale che |o(1)| + |O(δ_{ε}/N_{ε})| < ε.

x ∈ E_{n} ⇒ x ∈ E_{n} ∧ x ∉ G(δ) e quindi si può trovare un valore di k per cui x ∈ d_{k−1}, k < n−\sqrt{n}, x ∉ G(δ), |S_{m_{k}}(x, φ_{n})| ≥ \frac{δ}{2π^{2}} ln n − O(1), m_{1} ≤ m_{k} ≤ m_{n}; quindi essendo m_{1} = n possiamo asserire che per ogni x ∈ E_{n} esiste p_{x}, n ≤ p_{x} ≤ m_{n} tale che |S_{p_{x}}(x, φ_{n})| ≥ \frac{δ}{2π^{2}} ln n−O(1) mentre μ(E_{n}) ≥ 2π − ε per ogni n > N_{ε}. Se N_{ε} è abbastanza grande allora \frac{δ}{2π^{2}} ln n − O(1) > \frac{δ}{4π^{2}} ln n per n > N_{ε} e prendiamo α_{ε} = \frac{δ_{ε}}{4π^{2}} da cui |S_{p_{x}}(x, φ_{n})| ≥ α_{ε} ln n per n > N_{ε}

Osservazione 1) È opportuno confrontare la 3) e la 4) in quanto apparentemente sembrano andare in opposta direzione. Il punto centrale è la maggiorazione k < n − \sqrt{n}. Se infatti si arrivasse a k = n allora la stima relativa non potrebbe avere un ln n in \frac{1}{2π^{2}} ln n| sin(2m_{k} + 1)\frac{x}{2}|. Naturalmente togliere \sqrt{n} non impedisce di avere lim_{n→+∞} μ(E_{n}) = 2π. Successivamente ci si libera della presenza di x attraverso la costruzione dell’insieme G(δ). Nella 3) invece si prende ∪_{k=1}^{n−1}d_{k} per cui la stima \frac{1}{2π^{2}} ln n| sin(2m_{k} + 1)\frac{x}{2}| non può aversi ed inoltre non si è interessati a prendere il valore di p in S_{p}(x, φ_{n}) grande anche solo laddove potrebbe produrre un contributo piccolo dell’integrale (come in \frac{1}{π} ∑_{j=1}^{k−1} | ∫_{Δ_{j}} dtφ_{n}(t)\frac{sin(t−x)(m_{k}+ \frac{1}{2} )}{2 sin \frac{t−x}{2}}|) in quanto vogliamo stimare

dall’alto con ln n.  2) μ(\{x ∈ [0, 2π] : φ_{n}(x) ≠ 0\}) ≤ \frac{2}{n}  3) È opportuno evidenziare

che all’interno dei segmenti Δ_{k} si hanno delle stime “brutte.” Supponiamo infatti di stimare l’integrale S_{m_{k}}(x, φ_{n}) per x ∈ Δ_{1}. Uno degli integrale coinvolti è \frac{1}{π} | ∫_{Δ_{1}} dtφ_{n}(t)\frac{sin(t−x)(m_{k}+ \frac{1}{2} )}{2 sin \frac{t−x}{2}}| Ebbene quantunque grande sia m_{k}, non si può affermare che l’integrale tende a zero per k → +∞ in quanto la funzione \frac{φ_{n}(t)}{t−x} non è sommabile all’interno di Δ_{1} e quindi non si può applicare il Lemma 12.2.1. D’altro canto il problema rimane anche se si cerca di stimare la funzione D_{m_{k}}(t − x) con |t − x| ≥ 0 in quanto l’unica stima che va bene è |D_{m_{k}}(t − x)| ≤ \frac{π}{|t−x|} che

di nuovo non è sommabile. È interessante vedere come Kolmogorov risolve tale problema per costruire una funzione la cui serie di Fourier diverge ovunque (vedi i polinomi τ_{n}(x) nel Lemma

1.12.???

Teorema 12.?.2 A partire dalle funzioni {φ_{n}} si possono costruire due funzioni sommabili Φ(x) e F (x) (appartenenti entrambe a L([0, 2π]) tali che \overline{lim}_{n→∞}S_{n}(x, Φ) = +∞, \overline{lim}_{n→∞}S_{n}(x, F) < ∞ e sia S_{n}(x, Φ) che S_{n}(x, F) non convergono su di un insieme E ⊂ [0, 2π] tale che μ(E) = 2π

Dimostrazione Sia data una successione di interi n_{1} < n_{2} < n_{3} < … da definirsi e tale che ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{ln n_{k}}} < ∞. Φ(x) =^{def} ∑_{k=1}^{∞} \frac{φ_{n_{k}} (x)}{\sqrt{ln n_{k}}} e F (x) =^{def} ∑_{k=1}^{∞} \frac{φ_{n_{k}} (x)}{ln n_{k}} sono le funzioni da studiare. Φ e F sono definite q.o. grazie al teorema di Levi (vedi [Kol] a pag. 298). Negli altri eventuali punti, avendo misura nulla, si può dare un valore arbitrario a Φ e F. Consideriamo infatti la successione f_{k} = ∑_{j=1}^{k} \frac{φ_{n_{j}} (x)}{\sqrt{ln n_{j}}} che verifica la proprietà per cui f_{1} ≤ f_{2} ≤ …. Inoltre

∑_{j=1}^{∞} ∫_{o}^{2π} φ_{n_{j}}(x)dx(ln n_{j})^{−1/2} ≤ 2 ∑_{j=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{ln n_{j}}} < K dove K è una costante che dipenderà dalla

successione {n_{k}} che chiaramente verà scelta in modo tale che la serie sia convergente. Ne segue che q.o. esiste il limite lim_{k→+∞} f_{k}(x) =^{def}Φ(x). La stessa cosa accade quando si considera ln n_{k} al posto di \sqrt{ln n_{k}}.

Indicati rispettivamente con S_{p_{x}}(x, Φ) e con S_{p_{x}}(x, F) i polinomi trigonometrici di ordine p_{x}, calcolati in x per la Φ e la F, si dimostrerà che |S_{p_{x}}(x, Φ)−Φ(x)| ≥ c\sqrt{ln n_{k}} e |S_{p_{x}}(x, F)−F (x)| ≥ c per infiniti valori di n_{k} e q.o in x ∈ [0, 2π]. La conclusione è che le serie di Fourier divergono entrambe quasi ovunque ed inoltre \overline{lim}_{n→∞}|S_{n}(x, Φ)| = +∞. Al contempo facendo uso della 3) si avrà \overline{lim}_{n→∞}|S_{n}(x, F)| < ∞.

Dunque dobbiamo analizzare le quantità S_{p_{x}}(x, Φ) − Φ(x) e S_{p_{x}}(x, F) − F (x). Riscriviamo la

prima come S_{p_{x}}(x, Φ) − Φ(x) = ∑_{j=1}^{k−1} \frac{S_{px} (x,φ_{n_{j}})}{\sqrt{ln n_{j}}} − Φ(x) + \frac{S_{px} (x,φ_{n_{k}})}{\sqrt{ln n_{k}}} + ∑_{j=k+1}^{∞} \frac{S_{px} (x,φ_{n_{j}})}{\sqrt{ln n_{j}}}. Per

scrivere due dei quattro termini è necessario scambiare il limite j → +∞ di ∑_{k=1}^{n_{j}} \frac{φ_{n_{k}} (x)}{\sqrt{ln n_{k}}} con

l’integrale ∫_{0}^{2π} e questo è possibile grazie a teorema di Lebesgue (pag. 297 di [Kol] ).

Iniziamo a considerare ∑_{j=1}^{k−1} \frac{S_{p}(x,φ_{n_{j}})}{\sqrt{ln n_{j}}} − Φ(x) = ∑_{j=1}^{k−1}(\frac{S_{p}(x,φ_{n_{j}})}{\sqrt{ln n_{j}}} − \frac{φ_{n_{j}}}{\sqrt{ln n_{j}}} )+

+(∑_{j=1}^{k−1} \frac{φ_{n_{j}}}{\sqrt{ln n_{j}}} − Φ(x)) e la quantità analoga per la funzione F : ∑_{j=1}^{k−1} \frac{S_{p}(x,φ_{n_{j}})}{ln n_{j}} − F (x) =

∑_{j=1}^{k−1}(\frac{S_{p}(x,φ_{n_{j}})}{ln n_{j}} − \frac{φ_{n_{j}}}{ln n_{j}} ) + (∑_{j=1}^{k−1} \frac{φ_{n_{j}}}{ln n_{j}} − F (x)) Sia M l’insieme dei valori di x per cui le serie scritte all’inizio per Φ(x) e F (x) convergono a valori finiti. ∀ η > 0 ∃ k_{η,x} : k ≥ k_{η,x} ⇒ | ∑_{j=1}^{k−1} \frac{1}{\sqrt{ln n_{j}}} φ_{n_{j}}(x) − Φ(x)| < η e | ∑_{j=1}^{k−1} \frac{1}{ln n_{j}} φ_{n_{j}}(x) −

F (x)| < η. Dal Teorema di Levi si ha μ(M) = 2π

Essendo φ_{n_{i}} a variazione limitata, la successione, {S_{n}(x, φ_{n_{i}})}_{n=1}^{∞} converge a φ_{n_{i}} q.o. grazie al teorema 12.2.2 (a parte i punti di discontinuità della funzione φ_{n_{i}}). Dal teorema di Yegorov (vedi [Kol] pag.282) abbiamo che ∀ δ_{n_{i}} > 0 ∃ E_{δ_{n_{i}}} ⊂ [0, 2π] : μ(E_{δ_{n_{i}}}) > 2π − δ_{n_{i}} ∧ {S_{n}(x, φ_{n_{i}})} → φ_{n_{i}} uniformemente in E_{δ_{n_{i}}} e quindi ∀ ε > 0 ∃ p_{ε,n_{i}} : n > p_{ε,n_{i}} ⇒ |S_{p}(x, φ_{n_{i}}) − φ_{n_{i}}| < ε. Sia ora n_{1} = 1 e q_{1} = 1. Applicando il Teorema esiste l’insieme P_{2} tale che μ(P_{2}) ≥ 2π − δ_{n_{1}}2π − \frac{1}{2} per δ_{n_{1}} = \frac{1}{2} ed in P_{2} S_{n}(x, φ_{n_{1}}) converge a φ_{n_{1}} uniformemente ossia |S_{p}(x, φ_{n_{1}}) − φ_{n_{1}}| < \frac{1}{2} non appena p > p̃_{1} e x ∈ P_{2}. All’interno di P_{2} troviamo l’insieme P_{3} per cui μ(P_{3}) > μ(P_{2}) − δ_{n_{2}} > 2π −δ_{n_{1}} −δ_{n_{2}} ed in P_{3} S_{n}(x, φ_{n_{2}}) converge a φ_{n_{2}} uniformemente e quindi |S_{P} (x, φ_{n_{i}})−φ_{n_{i}}| < \frac{1}{3} per i = 1, 2 e P > P̃_{1,2}. Proseguendo sulla stessa falsariga arriviamo all’insieme P_{k} tale che μ(P_{k}) > 2π − \frac{1}{k} e per p > p̃_{1,2,...,k−1} si ha sup_{x∈P_{k}} |S_{P} (x, φ_{n_{i}}) − φ_{n_{i}}| < \frac{1}{k} con i = 1, 2, … k − 1. Sia q_{k} > max\{q_{k−1}, p̃_{1,2,...,k−1}\}. Dopo scegliamo n_{k} in modo che \sqrt{ln n_{k}} ≥ 2^{k}q_{k}

Sia P = \underline{lim}_{k→+∞}P_{k} =^{def} ∪_{N=1}^{∞} ∩_{k=N}^{∞}P_{k}. Si ha μ(P) = 2π. Infatti P^{c} = ∩_{N=1}^{∞} ∪_{k=N}^{∞} P_{k}^{c} e quindi

μ(P^{c}) ≤ μ(∪_{k=N}^{∞}P_{k}^{c}) per ogni N ≥ 1 e quindi μ(P^{c}) ≤ ∑_{k=N}^{∞} 2^{−k} che tende a zero per N → +∞. Se x_{o} ∈ P ⇒ x ∈ P_{k} per tutti i k ≥ k′_{x} da cui discende che |S_{p}(x_{o}, φ_{n_{i}})−φ_{n_{i}}(x_{o})| < \frac{1}{k} per p ≥ q_{k} e i = 1, 2, …, k − 1 e quindi |∑_{j=1}^{k−1}(\frac{1}{\sqrt{ln n_{j}}} S_{p}(x, φ_{n_{j}}) − \frac{1}{\sqrt{ln n_{j}}} φ_{n_{j}}(x))| < \frac{1}{k} ∑_{j=1}^{k−1} \frac{1}{\sqrt{ln n_{j}}} < \frac{1}{k}

poiché dalla scelta fatta per n_{k} abbiamo ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{ln n_{k}}} < ∑_{k=1}^{∞} 2^{−k} = 1. Se Ẽ =^{def} P ∩ M allora

x ∈ Ẽ implica | ∑_{j=1}^{k−1} \frac{1}{\sqrt{ln n_{j}}} S_{p}(x, φ_{n_{j}}) − Φ(x)| < η + \frac{1}{k} se p ≥ q_{k}, x ∈ E e k ≥ max\{k_{η,x}, k′_{x}\}.

Analogamente si ha | ∑_{j=1}^{k−1} \frac{1}{ln n_{j}} S_{p}(x, φ_{n_{j}})−F (x)| < η+ \frac{1}{k} se p ≥ q_{k}, x ∈ E e k ≥ max\{k_{η,x}, k′_{x}\}.

Stimiamo ora il contributo |S_{p_{x}}(x, φ_{n_{k}})|. Nella 4) del lemma 12.?.1 prendiamo un dato valore ε > 0 con l’idea di poter ripetere il ragionamento che segue per ogni numero ε positivo. Ad ε corrisponde α_{ε} e N_{ε}. Per n > N_{ε} abbiamo gli insiemi E_{n} con le caratteristiche scritte nel lemma.

Sia E =^{def} \overline{lim}_{k→+∞}E_{n_{k}} = ∩_{N=1}^{∞} ∪_{k=N}^{∞} E_{n_{k}}. μ(E) = lim_{N→+∞} μ(∪_{k=N}^{∞}E_{n_{k}}) e μ(∪_{k=N}^{∞}E_{n_{k}}) > 2π − ε

per ogni N sufficientemente grande da cui μ(E) > 2π−ε. Inoltre nell’insieme E vi sono quei punti che appartengono ad infiniti E_{n}. Definiamo l’insieme E = E∩P ∩M da cui μ(E) > 2π−ε. Se x ∈ E allora x ∈ E_{n_{k}} per infiniti valori n_{k} ed esiste p_{x}, n_{k} ≤ p_{x} ≤ m_{n_{k}}, tale che |S_{p_{x}}(x, φ_{n_{k}})| > α ln n_{k}

Da ultimo è rimasto ∑_{j=k+1}^{∞} \frac{S_{px} (x,φ_{n_{j}})}{\sqrt{ln n_{j}}}. Sappiamo che |S_{p_{x}}(x, φ_{n_{j}})| ≤ (p_{x} + 1) ∫_{0}^{2π} φ_{n_{j}}dt =

2(p_{x} + 1) < 4p_{x} ≤ 4m_{k}. Scegliendo i numeri \{n_{k}\} in modo che \sqrt{ln n_{k}} ≥ 2^{k}q_{k} abbiamo che | ∑_{j=k+1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{ln n_{j}}} S_{p_{x}}(x, φ_{n_{j}})| ≤ 4m_{k} ∑_{j=k+1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{ln n_{k}}} ≤ 4 ∑_{j=k+1}^{∞} 2^{−j} = 2^{−k+2}. Dunque alla fine

si ottiene |S_{p_{x}}(x, Φ)−Φ(x)| ≥ α\sqrt{ln n_{k}} −η − \frac{1}{k} −2^{−k+2} ≥ α\sqrt{ln n_{k}} − \frac{η}{2} . Poiché x ∈ E ⇒ x ∈ E_{n_{k}} per una infinità di k e p_{x} ≥ n_{k} ne segue che \overline{lim}_{n→∞}|S_{n}(x, Φ)| = +∞. Da ciò segue la divergenza di σ(Φ) in E con μ(E) > 2π − ε. Il ragionamento può ripetersi per ogni ε > 0 e quindi si ha divergenza quasi ovunque con in più la non limitatezza delle somme parziali di Fourier.

Il ragionamento si può ora ripetere per la quantità S_{p_{x}}(x, F)−F (x) = ∑_{j=1}^{k−1} \frac{S_{px} (x,φ_{n_{j}})}{ln n_{j}} −F (x)+

\frac{S_{px} (x,φ_{n_{k}})}{ln n_{k}} + ∑_{j=k+1}^{∞} \frac{S_{px} (x,φ_{n_{j}})}{ln n_{j}} e minorarla come |S_{p_{x}}(x, F) − F (x)| ≥ α − η − \frac{1}{k} − 2^{−k+2} > \frac{α}{3} se prendiamo η < \frac{α}{3} e k così grande che \frac{2}{k} < \frac{α}{3}.

Dimostriamo ora che \overline{lim}_{n→∞}|S_{n}(x, F)| < +∞ quasi ovunque. Sia H =^{def}\underline{lim}_{k→+∞}H_{n_{k}}. μ(H) = 2π deriva dal fatto che lim_{k→+∞} μ(H_{k}^{c}) = 0 e quindi scegliendo la successione {n_{k}} che va all’infinito in modo sufficientemente rapido. Sia E^{∗} =^{def}H ∩ P ∩ M e sia x ∈ E^{∗}. Sia inoltre p un intero tale che q_{k} ≤ p < q_{k+1}; |S_{p}(x, F)| ≤ | ∑_{j=1}^{k−1} \frac{S_{p}(x,φ_{n_{j}})}{ln n_{j}}| + |\frac{S_{p}(x,φ_{n_{k}})}{ln n_{k}}| + | ∑_{j=k+1}^{∞} \frac{S_{p}(x,φ_{n_{j}})}{ln n_{j}}| Sappiamo che per x ∈ P ∩ M si ha | ∑_{j=1}^{k−1} \frac{S_{p}(x,φ_{n_{j}})}{ln n_{j}}| ≤ F (x) + η + \frac{1}{k} . Dalla condizione 3) del

lemma fondamentale si ha |\frac{S_{p}(x,φ_{n_{k}})}{ln n_{k}}| ≤ A per x ∈ H_{n_{k}} e questo è vero anche per x ∈ E^{∗} se n_{k}

è sufficientemente grande. Poi abbiamo | ∑_{j=k+1}^{∞} \frac{S_{p}(x,φ_{n_{j}})}{ln n_{j}}| ≤ 4q_{k+1} ∑_{j=k+1}^{∞} 2^{−j}q_{j}^{−1} < 2^{−k+2} poiché q_{j} ≥ q_{k+1} per j ≥ k + 1. Riunendo il tutto si ha |S_{p}(x, F)| ≤ F (x) + η + A + 2^{−k+2} per p ≥ p_{o}(x) e x ∈ E^{∗}.

12.?? Un esempio di serie di Fourier, dovuto a G.H.Hardy, di funzione sommabile in [0, 2π] che diverge quasi ovunque ^{(3.12.??)}

Lemma 12.??.1 Esiste una successione di polinomi trigonometrici {T_{n}(x)} che verifica le seguenti proprietà : a) T_{n} ≥ 0, b) \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dxT_{n}(x) = 1, c) ∀ T_{n} ∃ E_{n} ⊂ [−π, π], μ(E_{n}) → 2π per n → +∞ : ∀ x ∈ E_{n} ∃ k_{x}: |S_{k_{x}}(x, T_{n})| > M_{n} e M_{n} → +∞ per n → +∞

Dimostrazione Come prima prendiamo A_{j} = \frac{4πj}{2n+1} 0 ≤ j ≤ n e sia m_{o}, m_{1}, m_{2}, …, m_{n} dove 2m_{j} +1 è divisibile per 2n+1 ed inoltre m_{o} ≥ n^{4}, m_{j+1} ≥ 2m_{j}. Sia T_{n}(x) = \frac{1}{n+1}(F_{m_{o}}(x−A_{o})+ F_{m_{1}}(x − A_{1}) + … + F_{m_{n}}(x − A_{n})). F_{k}(x) è il nucleo di Fejér ed è definito da \frac{1}{n+1} ∑_{k=0}^{n} D_{k}(x) dove D_{k}(x) è il nucleo di Dirichlet. È evidente la proprietà a). Con pochi calcoli si arriva alla

espressione F_{k}(x) = \frac{1}{2(n+1)}(\frac{sin(n+1) \frac{x}{2}}{sin \frac{x}{2}} )^{2} da cui la b).

Sia ora m_{j_{o}} ≤ k ≤ m_{j_{o}+1} S_{k}(x, T_{n}) = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dtT_{n}(t)D_{k}(t − x) = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dt\frac{1}{n+1} ∑_{j=0}^{n} \frac{1}{m_{j}+1} ∑_{l_{j}=0}^{m_{j}}(\frac{1}{2} + cos(t − A_{j}) + … + cos l_{j}(t − A_{j}))(\frac{1}{2} + cos(t − x) + … cos k(t − x)) e moltiplicando otteniamo (a meno di termini contenenti coseni il cui integrale è nullo) \frac{1}{n+1} ∑_{j=0}^{n} \frac{1}{m_{j}+1} ∑_{l_{j}=0}^{m_{j}} \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dt(\frac{1}{4} + ∑_{r_{j}=1}^{l_{j}} ∑_{p=1}^{k} cos r_{j}(t − A_{j}) cos p(t − x)). Consideriamo dapprima il caso in cui j ≤ j_{o}. Si ha r_{j} ≤ l_{j} ≤ m_{j} ≤ m_{j_{o}} ed inoltre l_{j} ≤ k. Il relativo contributo è \frac{1}{n+1} ∑_{j=0}^{j_{o}} \frac{1}{m_{j}+1} ∑_{l_{j}=0}^{m_{j}} \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dt ∑_{r_{j}=1}^{l_{j}} ∑_{p=1}^{k}(\frac{1}{4} + cos r_{j}(t − A_{j}) cos p(t − x)) che è uguale a

\frac{1}{n+1} ∑_{j=0}^{j_{o}} \frac{1}{m_{j}+1} ∑_{l_{j}=0}^{m_{j}}(\frac{1}{2} + ∑_{p=1}^{l_{j}} cos p(x − A_{j})) = \frac{1}{n+1} ∑_{j=0}^{j_{o}} \frac{1}{m_{j}+1} ∑_{l_{j}=0}^{m_{j}} D_{l_{j}}(x − A_{j}) =

= \frac{1}{n+1} ∑_{j=0}^{j_{o}} F_{m_{j}}(x − A_{j})

Il secondo contributo, sempre a meno di termini che integrati danno zero è \frac{1}{n+1} ∑_{j=j_{0}+1}^{n} \frac{1}{m_{j}+1} ∑_{l_{j}=0}^{m_{j}} \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dt ∑_{r_{j}=1}^{l_{j}} ∑_{p=1}^{k}(\frac{1}{4} + cos r_{j}(t − A_{j}) cos p(t − x)) =

= \frac{1}{n+1} ∑_{j=j_{0}+1}^{n} \frac{1}{m_{j}+1} ∑_{l_{j}=0}^{k} \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dt ∑_{r_{j}=1}^{l_{j}} ∑_{p=1}^{l_{j}}(\frac{1}{4} + cos r_{j}(t − A_{j}) cos p(t − x))+

+\frac{1}{n+1} ∑_{j=j_{0}+1}^{n} \frac{1}{m_{j}+1} ∑_{l_{j}=k+1}^{m_{j}} \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} dt ∑_{r_{j}=1}^{k} ∑_{p=1}^{k}(\frac{1}{4} + cos r_{j}(t − A_{j}) cos p(t − x)) =

= \frac{1}{n+1} ∑_{j=j_{0}+1}^{n} \frac{1}{m_{j}+1}(\frac{1}{2} + ∑_{l_{j}=1}^{k} ∑_{p=1}^{l_{j}} cos p(x − A_{j}) + ∑_{l_{j}=k+1}^{m_{j}} ∑_{p=1}^{k} cos p(x − A_{j})) e

∑_{l_{j}=1}^{k} ∑_{p=1}^{l_{j}} cos p(x − A_{j}) + ∑_{l_{j}=k+1}^{m_{j}} ∑_{p=1}^{k} cos p(x − A_{j}) = ∑_{r=1}^{k} cos r(x − A_{j})(m_{j} − r + 1) da cui segue che S_{k}(x, T_{n}) = \frac{1}{n+1} ∑_{j=0}^{j_{0}} F_{m_{j}}(x − A_{j}) + \frac{1}{n+1} ∑_{j=j_{0}+1}^{n} \frac{1}{m_{j}+1}(\frac{1}{2} + ∑_{r=1}^{k} cos r(x − A_{j})(m_{j} − r + 1));

(\frac{1}{2} +∑_{r=1}^{k} cos r(x−A_{j})\frac{(m_{j}−r+1)}{m_{j}+1}) = \frac{1}{2} + \frac{k+1}{m_{j}+1} ∑_{r=1}^{k} \frac{k+1−r}{k+1} cos r(x−A_{j})+ \frac{m_{j}−k}{m_{j}+1} ∑_{r=1}^{k} cos r(x−

A_{j}) = \frac{1}{2} + \frac{k+1}{m_{j}+1}(F_{k}(x − A_{j}) − \frac{1}{2}) + \frac{m_{j}−k}{m_{j}+1} ∑_{r=1}^{k} cos r(x − A_{j}) da cui

S_{k}(x, T_{n}) = \frac{1}{n+1} ∑_{j=0}^{j_{0}} F_{m_{j}}(x − A_{j}) + \frac{1}{n+1} ∑_{j=j_{0}+1}^{n}(\frac{k+1}{m_{j}+1}F_{k}(x − A_{j}) + \frac{m_{j}−k}{m_{j}+1} D_{k}(x − A_{j})) ≐ S_{1} + S_{2} + S_{3} Sia ora k = m_{j_{0}} e S_{m_{j_{0}}} (x, T_{n}) nell’intervallo I_{j_{0}} = (A_{j_{0}} + \frac{1}{n^{2}} , A_{j_{0}+1} − \frac{1}{n^{2}} ). Se x ∈ I_{j_{0}} allora per ogni p si ha |x − A_{p}| ≥ \frac{1}{n^{2}} ≥ \frac{1}{\sqrt{m_{l}}} poiché prendiamo n^{4} ≤ m_{0}. Ciò vuol dire che F_{m_{p}}(x − A_{p}) =

(3.12.??) G.H.Hardy, W.W.Rogosinski: Fourier Series, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Gen-

eral Editors W.V.D.Hodge, M.A. N.38 Cambridge University Press, second edition 1950 pp.1–100, W.W.Rogosinski:

Fourier Series , Chelsea Publishing Company, 1959

O(\frac{1}{m_{p}|x−A_{p}|^{2}} ) = O(1). Inoltre per j ≥ j_{0} + 1 si ha \frac{k+1}{m_{j}+1} ≤ \frac{m_{j_{0}} +1}{m_{j}+1} ≤ 1 e quindi |S_{1}| + |S_{2}| ≤ H con x ∈ I_{j_{0}}.

Dobbiamo ora stimare S_{3}. Tenendo conto della definizione di A_{p} si ha D_{m_{j_{0}}} (x − A_{p}) = \frac{sin(m_{j_{0}} + \frac{1}{2} ) \frac{x}{2}}{2 sin \frac{x−Ap}{2}} = −\frac{sin(2m_{j_{0}} +1) \frac{x}{2}}{2 sin \frac{Ap−x}{2}} ossia

S_{3} = − sin(2m_{j_{0}} + 1)\frac{x}{2} \frac{1}{n+1} ∑_{p=j_{0}+1}^{n} \frac{m_{p}−m_{j_{0}}}{m_{p}+1} _{\frac{1}{2 sin \frac{Ap−x}{2}}} da cui |S_{3}| = | sin(2m_{j_{0}} + 1)\frac{x}{2}|\frac{1}{n+1}×

× ∑_{p=j_{0}+1}^{n} \frac{m_{p}−m_{j_{0}}}{m_{p}+1} \frac{1}{A_{p}−x} ≥ | sin(2m_{j_{0}} + 1)\frac{x}{2}|\frac{1}{n+1} ∑_{p=j_{0}+1}^{n} \frac{m_{p}−m_{j_{0}}}{m_{p}+1} \frac{1}{A_{p}−A_{j_{0}}} . Essendo \frac{1}{A_{p}−A_{j_{0}}} =

\frac{2n+1}{4π(p−j_{0})} e \frac{m_{p}−m_{j_{0}}}{m_{p}+1} ≥ \frac{1}{2} per p ≥ j_{0} +1 otteniamo |S_{3}| ≥ | sin(2m_{j_{0}} +1)\frac{x}{2}|\frac{2n+1}{8π(n+1)} ∑_{p=j_{0}+1}^{n} \frac{1}{p−j_{0}} ≥ \frac{1}{8π} ln(n − j_{0})| sin(2m_{j_{0}} + 1)\frac{x}{2}| Sia ora j_{0} ≤ n − \sqrt{n} e quindi |S_{3}| ≥ \frac{1}{8π} ln n| sin(2m_{j_{0}} + 1)\frac{x}{2}| e sia E_{n} = \{x ∈ I_{j_{0}} : j_{0} ≤ n − \sqrt{n}, | sin(2m_{j_{0}} + 1)\frac{x}{2}| ≥ \frac{1}{\sqrt{ln n}}\}. Abbiamo quindi |S_{3}| ≥ \frac{1}{8π} \sqrt{ln n} e

quindi |S_{m_{j_{0}}} (x, T_{n})| ≥ \frac{\sqrt{ln n}}{16π} − H. La somma degli intervalli I_{j_{0}} con j_{0} ≤ n − \sqrt{n} è dell’ordine (n − \sqrt{n})(\frac{4π}{2n+1} − \frac{2}{n^{2}} ) → 2π per n → +∞. Si dovrebbero togliere quei punti in cui | sin(2m_{j_{0}} + 1)\frac{x}{2}| < \frac{1}{\sqrt{ln n}} ma tali punti hanno misura maggiorabile con 4 arcsin \frac{1}{\sqrt{ln n}} e quindi μ(E_{n}) → 2π per n → +∞

Riscriviamo in forma complessa i polinomi di prima (che ricordiamo per costruzione erano positivi) T_{n_{k}}(x) =^{def} ∑_{ν=−m_{n_{k}}}^{m_{n_{k}}} C_{ν}^{(k)}e^{iνx} dove ν_{k} > ν_{k−1} +m_{n_{k−1}} +m_{n_{k}} e successivamente il polinomio

P_{n_{k}}(x) =^{def}_{\frac{1}{\sqrt{M_{n_{k}}}}} ∑_{ν=−m_{n_{k}}}^{m_{n_{k}}} C_{ν}^{(k)}e^{i(ν+ν_{k})x}

Teorema 12.??.1 La serie di Fourier della funzione F (x) = ∑_{k=1}^{∞} P_{n_{k}}(x) diverge q.o. in [0, 2π]

La scelta dei ν_{k} è tale che se l < k allora in T_{n_{k}} e T_{n_{l}} non vi sono esponenziali aventi lo stesso esponente in quanto ν_{l} + m_{n_{l}} ≤ ν_{k−1} + m_{n_{k−1}}. A maggior ragione sarà vero nei poli-

nomi P_{ν_{l}} e P_{ν_{k}}. ∫_{0}^{2π} dx|P_{n_{k}}(x)| = ∫_{0}^{2π} dx[\frac{e^{iν_{k}x}}{\sqrt{M_{n_{k}}}} T_{n_{k}}(x) · \frac{e^{−iν_{k}x}}{\sqrt{M_{n_{k}}}} T_{n_{k}}(x)]^{1/2} = ∫_{0}^{2π} _{\frac{dx}{\sqrt{M_{n_{k}}}}} T_{n_{k}}(x) =

\frac{π}{\sqrt{M_{n_{k}}}} . Ne consegue che ∑_{k=1}^{∞} ∫_{0}^{2π} dx|P_{n_{k}}(x)| < ∞ e quindi q.o. può definirsi la funzione

F (x) =^{def} ∑_{k=1}^{∞} P_{n_{k}}(x) = f(x) + ig(x) dove f(x) e g(x) sono evidentemente la parte reale ed immaginaria di F (x). F (x) = ∑_{ν=−∞}^{+∞} γ_{ν}e^{iνk} e γ_{ν} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} dxF (x)e^{−iνx}. Per ogni p intero

S_{p}(x, T_{n}) è parte di T_{n}(x) essendo entrambe polinomi trigonometrici. Sia \overline{lim}_{k→+∞}E_{n_{k}} =^{def} ∩_{k=1}^{∞} ∪_{j=k}^{∞}E_{n_{j}} e quindi x appartiene ad infiniti E_{n_{k}} per infiniti k. In base al Lemma, per ognuno di questi k si ha |S_{p_{x}}(x, T_{n_{k}})| > M_{n_{k}} e questo implica che esistono interi α_{k} e β_{k} per cui | ∑_{α_{k}}^{β_{k}} γ_{k}e^{iνk}| > \sqrt{M_{n_{k}}} ossia la serie diverge q.o. D’altra parte vi è un teorema che implica la convergenza della parte reale se si ha la convergenza della parte immaginaria e viceversa. Quindi la parte reale non può che divergere.

12.???Un esempio, dovuto a Kolmogorov, di funzione sommabile in [0, 2π] e la cui serie di Fourier diverge ovunque ^{(3.12.???)}

Come al solito ci vuole un Lemma

Lemma 1.12.??? Esiste una successione di polinomi trigonometrici {f_{n}} definiti in [0, 2π] tali che a) f_{n} ≥ 0, b) \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dxf_{n}(x) = 1, c) Se ν_{n} è l’ordine del polinomio f_{n} allora si possono trovare dei numeri λ_{n} → +∞, e dei numeri M_{n} → +∞, insiemi E_{n} tali che E_{1} ⊂ E_{2} ⊂ E_{3} ⊂ …, [0, 2π] = ∪_{k=1}^{∞}E_{k}, ∀ x ∈ E_{n} ∃ k_{x} ∈ N : λ_{n} ≤ k_{x} ≤ ν_{n} ∧ S_{k_{x}}(x, f_{n}) > M_{n}

(3.12.???) 1) A.N.Kolmogorov: Une série de Fourier divergente partout, Comptes rendus de l’Acadeémie des Sciencies á

Paris, 183 1926 pp.1327–1329

Dimostrazione Sia A_{l} = \frac{2π}{n} l e l = 0, 1, 2, …, n, T_{n}(x) = \frac{1}{n+1} ∑_{i=0}^{n} F_{m_{i}}(x − A_{i}). Assumiamo m_{j+1} > 2m_{j} j = 0, 1, 2, … n − 1. Se m_{j} ≤ k ≤ \frac{1}{2}m_{j+1} allora (vedi Lemma 12.??.1 S_{k}(x, T_{n}) = \frac{1}{n+1} ∑_{l=0}^{j} F_{m_{i}}(x − A_{l}) + \frac{1}{n+1} ∑_{l=j+1}^{n} \frac{k+1}{m_{l}+1}F_{k}(x − A_{l}) + \frac{1}{n+1} ∑_{l=j+1}^{n} \frac{m_{l}−k}{m_{l}+1} D_{k}(x − A_{l}) ≥ \frac{1}{n+1} ∑_{l=j+1}^{n} \frac{m_{l}−k}{m_{l}+1} D_{k}(x − A_{l}) essendo i nuclei di Fejér non negativi. Inoltre essendo

D_{k}(y) = \frac{sin ky}{y} + φ_{k}(t) e ∥φ_{k}∥_{∞} < C ∀ k, abbiamo S_{k}(x, T_{n}) ≥ \frac{1}{n+1} ∑_{l=j+1}^{n} \frac{m_{l}−k}{m_{l}+1} \frac{sin k(x−A_{l})}{x−A_{l}} −

O(1). Assumendo k = ρn ρ ∈ N si ha sin k(x − A_{l}) = sin kx e quindi ∑_{l=j+1}^{n} \frac{m_{l}−k}{m_{l}+1} \frac{sin k(x−A_{l})}{x−A_{l}} =

− sin kx ∑_{l=j+1}^{n} \frac{m_{l}−k}{m_{l}+1} \frac{1}{A_{l}−x}. Sia I_{l} =^{def}(\frac{π}{n}l − δ, \frac{π}{n}l + δ), l = 0, 1, , …, 2n, σ_{l} =^{def}[\frac{π}{n}l + δ, (l + 1)\frac{π}{n} − δ],

l = 0, 1, 2, …, 2n − 1. Sia x ∈ σ_{2j} ∨ σ_{2j+1} e quindi x ≤ \frac{π}{n}(2j + 2) − δ ≐ A_{j+1} − δ. Ne

segue che A_{l} − x > 0 per ogni l ≥ j + 1 ed inoltre abbiamo \frac{m_{l}−k}{m_{l}+1} = \frac{1− \frac{k}{m_{k}}}{1+ \frac{1}{m_{l}}} > \frac{1}{4} essendo

k < \frac{1}{2}m_{j+1} e \frac{m_{l}−k}{m_{l}+1} > \frac{1− \frac{m_{j+1}}{2m_{l}}}{1+ \frac{1}{m_{l}}} > \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}. Dunque se per le x considerate esiste un valore

intero k_{x} tale che − sin k_{x}x ≥ \frac{1}{2}, possiamo stimare S_{k_{x}}(x, T_{n}) ≥ \frac{1}{8(n+1)} ∑_{l=j+1}^{n} \frac{1}{A_{l}−x} − O(1) e A_{l} − x > 0 in quanto x < A_{j+1} − δ e l ≥ j + 1. Essendo inoltre x ∈ σ_{2j} abbiamo x ≥ A_{j} e quindi S_{k_{x}}(x, T_{n}) ≥ \frac{1}{8(n+1)} ∑_{l=j+1}^{n} \frac{1}{A_{l}−A_{j}} −O(1) = \frac{n}{16π(n+1)} ∑_{l=j+1}^{n} \frac{1}{l−j} −O(1) > \frac{1}{32π} ∑_{r=1}^{n−j} \frac{1}{r} −O(1) ≥ C ln(n − j) ≥ C_{1} ln n se j ≤ n − \sqrt{n}.

Ricapitoliamo il risultato parziale a cui siamo giunti. Se per ogni x ∈ σ_{2j} ∪ σ_{2j+1}, j ≤ n − \sqrt{n} esiste k_{x} multiplo di n che soddisfa le condizioni: i) m_{j} ≤ k_{x} ≤ \frac{1}{2}m_{j+1}, ii) k_{x} divisibile per n, iii) − sin k_{x}x ≥ \frac{1}{2} allora è vera la stima S_{k_{x}}(x, T_{n}) ≥ C_{1} ln n.

Sia ora τ_{n}(x) =^{def}F_{n}(2nx) = \frac{1}{n+1} ∑_{j=0}^{n} D_{j}(2nx) = \frac{1}{n+1} ∑_{j=0}^{n}(\frac{1}{2} +cos 2nx+…+cos 2n^{2}x). τ(l \frac{π}{n}) =

F (0) = \frac{n}{2}; |F′(x)| ≤ n^{2} per ogni x da cui |τ′(x)| < 2n^{3}. Assumendo δ = \frac{1}{8n^{4}} si ottiene che x ∈ I_{l} ⇒ |τ_{n}(x) − τ_{n}(\frac{π}{n}l)| < 2δn^{3} ≤ \frac{1}{n} da cui τ_{n}(x) > \frac{n}{2} − \frac{1}{n} per x ∈ I_{l} e quindi τ_{n}(x) > \frac{n}{4} con l = 0, 1, 2, …, 2n. Assumiamo ora che m_{o} = 2n^{2}. Dalla relazione |D′_{m_{o}}(x)| ≤ m_{o}^{2} e D_{m_{o}}(0) = \frac{1}{2} + m_{o} segue che |x| ≤ δ ⇒ |D_{m_{o}}(x) − D_{m_{o}}(0)| ≤ δm_{o}^{2} < \frac{4n^{4}}{8n^{4}} = \frac{1}{2} da cui D_{m_{o}}(x) > 1 per |x| ≤ δ.

Sia ora f_{n}(x) =^{def} \frac{1}{2}(T_{n}(x) + τ_{n}(x)) ed i numeri m_{1}, m_{2}, m_{3}, …, m_{n} sono ancora da definire. \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} dxf_{n}(x) = 1; l’ordine del polinomio f_{n}(x) è m_{n} in quanto è l’ordine di T_{n}(x) e l’ordine di τ_{n}(x) è 2n^{2} = m_{o} < m_{n}. Supponendo quindi che λ_{n} = m_{o} = 2n^{2} e ν_{m} = m_{n} vediamo che se k_{x} soddisfa la condizione m_{j} ≤ k_{x} ≤ \frac{1}{2}m_{j+1} allora λ_{n} ≤ k_{x} ≤ ν_{n}. Poiché k_{x} ≥ λ_{n} = m_{o} e l’ordine di τ_{n}(x) è m_{o} allora S_{k_{x}}(x, τ_{n}) ≡ τ_{n}(x) da cui S_{k_{x}}(x, f_{n}) = \frac{1}{2}S_{k_{x}}(x, T_{n}) + \frac{1}{2}τ_{n}(x) ≥ \frac{1}{2}S_{k_{x}}(x, T_{n}) ≥ \frac{C_{1}}{2} ln n essendo τ_{n}(x) ≥ 0. Quindi abbiamo ottenuto che se x ∈ σ_{2j} ∨ σ_{2j+1} e j ≤ n − \sqrt{n} allora S_{k_{x}}(x, f_{n}) ≥ C_{1} ln n (sempre che si possano soddisfare le condizioni i)–iii) scritte prima).

Quello che ancora manca è una stima del tipo S_{k_{x}}(x, f_{n}) ≥ C_{1} ln n anche quando x ∈ I_{l} ed è bene notare che se x ∈ σ_{2j} ∪ σ_{2j+1}, τ_{n}(x) non gioca alcun ruolo se non quello di essere una quantità non negativa.

Dimostriamo ora che per x ∈ I_{l}, l = 0, 1, …, 2n, abbiamo S_{m_{o}}(x, f_{n}) > C ln n. Poniamo j = 0, e k = m_{o} nella formula S_{k}(x, T_{n}) = \frac{1}{n+1} ∑_{l=0}^{j} F_{m_{i}}(x − A_{l}) + \frac{1}{n+1} ∑_{l=j+1}^{n} \frac{k+1}{m_{l}+1}F_{k}(x − A_{l}) + \frac{1}{n+1} ∑_{l=j+1}^{n} \frac{m_{l}−k}{m_{l}+1} D_{k}(x − A_{l}) ed otteniamo S_{k}(x, T_{n}) = \frac{1}{n+1} ∑_{l=1}^{n} \frac{m_{o}+1}{m_{l}+1}F_{m_{o}}(x − A_{l}) + \frac{1}{n+1} ∑_{l=1}^{n} \frac{m_{l}−m_{o}}{m_{l}+1} D_{m_{o}}(x − A_{l}) ≥ \frac{1}{n+1} ∑_{l=1}^{n} \frac{m_{l}−m_{o}}{m_{l}+1} D_{m_{o}}(x − A_{l}). Sia x ∈ I_{p} e quindi p\frac{π}{n} − δ ≤ x ≤ p\frac{π}{n} +δ. Se p = 2j allora p\frac{π}{n} = A_{j} e quindi |x−A_{j}| < δ. Essendo D_{m_{o}}(x) > 1 per |x| < δ si ha S_{m_{o}}(x, T_{n}) ≥ \frac{1}{n+1} ∑_{l=1 l≠j}^{n} \frac{m_{l}−m_{o}}{1+m_{l}} D_{m_{o}}(x − A_{l}) ≥ −\frac{1}{n+1} ∑_{l=1 l≠j}^{n} |D_{m_{o}}(x − A_{l})|. Dalla relazione |D_{n}(x)| ≤ \frac{π}{|x|} abbiamo S_{m_{o}}(x, T_{n}) ≥ −\frac{π}{n+1} ∑_{l=1 l≠j}^{n} \frac{1}{|x−A_{l}|} e poiché x − A_{j} = O(\frac{1}{n^{4}} ) si ha S_{m_{o}}(x, T_{n}) ≥ −\frac{C_{3}}{n+1} ∑_{l=1 l≠j}^{n} |2j \frac{π}{n} − l \frac{2π}{n} |^{−1} = −C_{4} ∑_{l=1 l≠j}^{n} |j − l|^{−1} > −C_{5} ln n. Se p = 2j + 1 si rifanno gli stessi conti senza neanche togliere l = j e si ottiene S_{m_{o}}(x, T_{n}) ≥ −\frac{π}{n+1} ∑_{l=1}^{n} \frac{1}{|x−A_{l}|} ≥ −\frac{C_{6}}{n+1} ∑_{l=1}^{n} |(2j + 1)\frac{π}{n} − l \frac{2π}{n} |^{−1} ≥ −C_{7} ∑_{l=1}^{n} |2j + 1 − 2l|^{−1} > −C_{8} ln n. Dunque per ogni x ∈ I_{p}, p = 0, 1, 2, …, 2n, abbiamo S_{m_{o}}(x, T_{n}) > −C_{9} ln n e poiché S_{m_{o}}(x, τ_{n}) = τ_{n}(x) > \frac{n}{4} (essendo m_{o} = 2n^{2} che è l’ordine del polinomio τ_{n}) per ogni x ∈ I_{p} abbiamo S_{m_{o}}(x, τ_{n}) > \frac{n}{8} − \frac{1}{2}C_{9} ln n > C_{10} ln n

Sia ora E_{n} =^{def}[0, \frac{2π}{n} (n − \sqrt{n})] ⊂ E_{n+1} e ∪_{j=1}^{∞}E_{j} = [0, 2π], Se x ∈ E_{n} allora x ∈ I_{p} oppure x ∈ σ_{p} ∨ σ_{p+1} dove p = 2j e j ≤ n − \sqrt{n}. Si hanno le due possibilità : 1) ∃ k_{x}: S_{k_{x}}(x, f_{n}) > C_{2} ln n, 2) S_{m_{o}}(x, f_{n}) > C ln n. In ogni caso ∀ x ∃ k_{x}: m_{o} ≤ k_{x} < m_{n} ∧ S_{k_{x}}(x, f_{n}) > M_{n} con M_{n} → +∞

Dobbiamo dimostrare ora le tre condizioni i)–iii) ossia che se m_{o} è scelto allora è possibile trovare m_{k} k = 1, 2, …, n tale che: (1) m_{o} < m_{1} < … < m_{n}, (2) per ogni x ∈ σ_{2j} e x ∈ σ_{2j+1} si può trovare un k_{x} divisibile per n tale che m_{j} ≤ k_{x} ≤ \frac{1}{2}m_{j+1} e − sin k_{x}x ≥ \frac{1}{2}

Dalla definizione di σ_{2j} e σ_{2j+1} segue che se x ∈ σ_{2j} allora x = x_{j} + \frac{2πϑ}{n} mentre se x ∈ σ_{2j+1} allora x = x_{j+1} − \frac{2πϑ}{n} e δ ≤ \frac{2πϑ}{n} < \frac{π}{n} − δ ossia \frac{nδ}{2π} ≤ ϑ ≤ \frac{1}{2} − \frac{nδ}{2π} . Sia η = \frac{nδ}{2π} = \frac{1}{16πn^{3}} e quindi η ≤ ϑ ≤ \frac{1}{2} − η. Supponendo k_{x} divisibile per n abbiamo k_{x} = ρn con ρ intero per cui − sin k_{x}x = − sin ρϑ2π se x ∈ σ_{2j} e − sin k_{x}x = − sin ρϑ2π se x ∈ σ_{2j+1}. Dunque con η ≤ σ ≤ \frac{1}{2} − η bisogna trovare ρ_{1} e ρ_{2} tali che sin 2πρ_{1}ϑ ≤ −\frac{1}{2} e sin 2πρ_{2}ϑ ≥ \frac{1}{2} che a loro volta equivalgono a \frac{1}{12} ≤ \{ρ_{2}ϑ\} ≤ \frac{5}{12} e \frac{7}{12} ≤ \{ρ_{2}ϑ\} ≤ \frac{11}{12} (\{.\} è la parte frazionaria).

Consideriamo dapprima il caso in cui η ≤ ϑ ≤ \frac{1}{3}. \{mϑ\}−\{(m−1)ϑ\} = \{ϑ\} ∈ [η, \frac{1}{3}]. Dimostriamo che qualunque sia l’intero N, almeno uno dei valori Nϑ, (N +1)ϑ, …, (N +1+[\frac{1}{η}])ϑ) appartiene all’intervallo [\frac{1}{12}, \frac{5}{12}] ed un altro all’intervallo [\frac{7}{12}, \frac{11}{12}]. Infatti la lunghezza di ciascun intervallo è esattamente \frac{1}{3} mentre l’intervallo di lunghezza 1 è suddiviso in \frac{1}{η} intervalli di lunghezza η e

\frac{1}{η} ≤ 1+[\frac{1}{η}]. Quindi nel passaggio da N a N +1+[\frac{1}{η}] =^{def}M si percorre certamente tutto l’intervallo di lunghezza 1 e poiché ciascun passo non è più lungo di \frac{1}{3} certamente si entra dentro ciascuno dei due intervalli descritti.

Sia ora \frac{1}{2} ≤ ϑ ≤ \frac{1}{2} − η ossia 2η ≤ (1 − 2ϑ) ≤ \frac{1}{3}. Come prima dobbiamo risolvere − sin 2πρ_{1}(1 − 2ϑ) ≥ \frac{1}{2} e sin 2πρ_{2}(1 − 2ϑ) ≥ \frac{1}{2} ossia sin 2πρ_{1}2ϑ ≥ \frac{1}{2} e − sin 2πρ_{2}2ϑ ≥ \frac{1}{2}. Possiamo applicare le stesse considerazioni di prima ed ottenere, dato N arbitrario, il valore 2M.

L’ultimo punto riguarda il valore di m_{l}. m_{o} è già stato definito e supponiamo di avere m_{o} < m_{1} < … < m_{j} e definiamo m_{j+1}. Per avere k_{x} ≥ m_{j} basta prendere N così grande che nN ≥ m_{j} (infatti k_{x} =^{def}ρn e ρ ≥ N). Poi scegliamo m_{j+1} così grande da avere (N + M)n < \frac{1}{2}m_{j+1}.

Osservazione Come si sarà notato, l’aggiunzione delle funzioni τ_{n}(x) ha due effetti: all’interno di σ_{2j} ∪σ_{2j+1} si considera semplicemente la loro non negatività mentre all’interno di I_{l} si considera il fatto che τ(x) è grande più di un logaritmo con il quale infatti deve competere per avere la stima S_{m_{o}}(x, τ_{n}) > \frac{n}{8} − \frac{1}{2}C_{9} ln n > C_{10} ln n.

Possiamo ora formulare il

Teorema 1.12.??? Esiste una funzione sommabile in [0, 2π] tale che \overline{lim}_{n→∞}|S_{n}(x, f)| = +∞ per ogni x ∈ [0, 2π]

Dimostrazione Scegliamo una successione {n_{k}} crescente abbastanza rapidamente e sia f(x) = ∑_{k=1}^{∞}, \frac{f_{n_{k}}}{\sqrt{M_{n_{k}}}} . Sia la scelta di \{n_{k}\} tale che M_{n_{k}} > 4M_{n_{k−1}} in modo da avere ∑_{k=1}^{∞} M_{n_{k}}^{−1/2} < ∞.

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Grazie al teorema di Levi (vedi [Kol] a pag. 298) la serie converge q.o. e definisce una funzione sommabile in [0, 2π]. Siano λ_{n_{m}} > ν_{n_{m}} e \sqrt{M_{n_{m}}} > ν_{n_{m−1}}. S_{k_{x}}(x, f) = ∑_{j=1}^{m−1} _{\frac{1}{\sqrt{M_{n_{j}}}}} S_{k_{x}}(x, f_{n_{j}})+ \frac{1}{\sqrt{M_{nm}}} S_{k_{x}}(x, f_{n_{m}}) + ∑_{j=m+1}^{∞} _{\frac{1}{\sqrt{M_{n_{j}}}}} S_{k_{x}}(x, f_{n_{j}}). Grazie alla c) del Lemma 1.12.??? si ha \frac{1}{\sqrt{M_{nm}}} S_{k_{x}}(x, f_{n_{m}}) > \frac{M_{nm}}{\sqrt{M_{nm}}} = \sqrt{M_{n_{m}}}. Poiché k_{x} ≥ λ_{m} > ν_{n_{m−1}}, k_{x} è più grande dell’ordine di ciascuna funzione f_{n_{j}} con 1 ≤ j ≤ m − 1 e quindi S_{k_{x}}(x, f_{n_{j}}) = f_{n_{j}}(x) per 1 ≤ j ≤ m − 1. Di conseguenza si ha ∑_{j=1}^{m−1} _{\frac{1}{\sqrt{M_{n_{j}}}}} f_{n_{j}} ≥ 0 essendo le funzioni non negative. Per quanto riguarda la seconda sommatoria possiamo scrivere ∑_{j=m+1}^{∞} _{\frac{1}{\sqrt{M_{n_{j}}}}} S_{k_{x}}(x, f_{n_{j}}) ≤ \frac{2k_{x}+1}{π} ∑_{j=m+1}^{∞} _{\frac{1}{\sqrt{M_{n_{j}}}}} ∫_{0}^{2π} dxf_{n_{j}}(x) ≤ ∑_{j=m+1}^{∞} \frac{2ν_{nm} +1}{\sqrt{M_{n_{j}}}} ≤ \frac{3ν_{nm}}{\sqrt{M_{n_{m+1}}}} ∑_{j=0}^{∞} 2^{−j} < 6 poiché \sqrt{M_{n_{j}}} > 2\sqrt{M_{n_{j−1}}}. Ne segue che S_{k_{x}}(x, f) ≥ \sqrt{M_{n_{m}}} − 6 e quindi \overline{lim}_{n→∞}|S_{n}(x, f)| = +∞