Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

§19 Appendice 10: Una rassegna parziale sulle funzioni continue ma non derivabili in nessun punto

1) f(x) = ∑_{k=0}^{∞} b^{k} cos(a^{k}πx) 0 < b < 1, ab > 1 + \frac{3}{2}π e a intero dispari. Si può trovare in: [H],

[T] pag. 351, [GO] pag.46 ^{(1.15)}, [GO1] pag.50, [G] pag. 46. [H] è la referenza più accurata. L’autore G.H.Hardy (Godfrey Harold, Cranleigh (Inghilterra) 1877 – Cambridge (Inghilterra) 1947) estende la condizione 0 < b < 1, ab > 1 + \frac{3}{2}π e a intero dispari alla condizione ab ≥ 1 e 0 < b < 1 se ci si accontenta di non avere derivata finita.

2) f(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f(10^{k}x)}{10^{k}} dove f(x) = inf_{k∈Z} |k − x| = min\{x − [x], [x] + 1 − x\} =

= \{ \begin{matrix}x 0 ≤ x ≤ 1/2 \\ 1 − x 1/2 ≤ x ≤ 1 \end{matrix} ed estesa con periodo 1 a tutta la retta. È la funzione di B.L. Wan der

Waerden e si trova in [W], [T] pag.351, [RS] pag. 4, [C] pag.17–18

3) F (x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f(2^{k}x)}{2^{k}} dove f(x) è la funzione definita prima. È una semplificazione della funzione di Wan der Waerden ed il primo a scriverla o quantomeno a pubblicarla sembra sia stato T.H.Hildebrandt in [Hi]. Altre referenze sono [G], [GO1]. In [S] l’autore considera la funzione F (x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f(4^{k}x)}{4^{k}}

4) f(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f(2^{2^{k}} x)}{2^{k}} dove f(x) è quella funzione definita e periodica su tutto R che vale 1 + x per −2 ≤ x ≤ 0, e 1 − x per 0 ≤ x ≤ 2. Si veda [Mc]

5) f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin n^{2}πx}{n^{2}}. La congettura che tale funzione sia non derivabile pare risalga a Riemann che però non è riuscito a dimostrarla ed infatti detta così è falsa. La funzione è derivabile con derivata finita in un sottoinsieme numerabile dei razionali e non derivabile altrove (nel senso che non esiste la derivata bilatera finita). Referenze sono [H], [Ge], [Ge1], [Sm], [HS] p.260, [GO1] pag.51. Stranamente in questi due ultimi casi si afferma che essa non è derivabile in nessun punto contrariamente a quanto se ne sa

Cominciamo a dimostrare che F (x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f(4^{k}x)}{4^{k}} non è derivabile. Precisamente dimostriamo la

Proposizione 1.15 La funzione F (x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f(4^{k}x)}{4^{k}} è continua ma non ammette derivata in alcun punto Osservazione Con derivata si intende limite finito del rapporto incrementale

Dimostrazione La continuità deriva da \frac{f(4^{k}x)}{4^{k}} ≤ 4^{−k}. I massimi ed i minimi di f_{k}(x) sono dati dai punti x_{kp} ≐ \frac{p}{4^{k}} che al variare k e p costituiscono un insieme denso.

Sia dato ora un punto x_{o} Prendiamo una successione h_{n} = 4^{−n}

\frac{F (x_{o} ± h_{n}) − F (x_{o})}{±h_{n}} = \frac{1}{±h_{n}} ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{4^{k}} (f(4^{k}x_{o}±4^{k−n})−f(4^{k}x_{o})) = \frac{1}{±h_{n}} ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{4^{k}} (f(4^{k}x_{o}±4^{k−n})−

f(4^{k}x_{o}))\frac{1}{±h_{n}} ∑_{k=n}^{∞} \frac{1}{4^{k}} (f(4^{k}x_{o} ± 4^{k−n}) − f(4^{k}x_{o})). Ora se k − n ≥ 0 allora f(4^{k}x_{o} ± 4^{k−n}) −

f(4^{k}x_{o}) = 0 per periodicità e quindi della somma rimane solamente \frac{1}{±h_{n}} ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{4^{k}} (f(4^{k}x_{o} ±

4^{k−n}) − f(4^{k}x_{o})). Il punto centrale è ora osservare che il periodo di f_{n−1}(x) è quattro volte il periodo di f_{n}(x) e quindi almeno uno due intervalli (x_{o} − 4^{−n}, x_{o}) (x_{o}, x_{o} + 4^{−n}) appartiene interamente ad uno dei semiperiodi della funzione f_{n−1}(x). Lo stesso intervallo appartiene ad uno dei semiperiodi delle altre funzioni f_{1}(x), …, f_{n−2}(x). Passando da n ad n+1 può accadere la medesima cosa oppure che l’intervallo interessato sia l’altro.

(1.15) La condizione ivi data 0 < a < 1 è errata. Certamente gli autori volevano dire 0 < b < 1. È il celebre (nonché

primo) esempio dato da Karl W.T. Weierstrass (Ostenfelde (Germania) 1815 – Berlino 1897)

La conseguenza è che per ogni valore intero n, ∑_{k=0}^{n−1} 4^{n−k}(f(4^{k}x_{o} + 4^{k−n}) − f(4^{k}x_{o})) oppure

− ∑_{k=0}^{n−1} 4^{n−k}(f(4^{k}x_{o} −4^{k−n})−f(4^{k}x_{o})) è uguale a ∑_{k=0}^{n−1}(±1) e quindi lim_{n→+∞} ∑_{k=0}^{n−1}(±1) non converge.

Dal precedente ragionamento segue che esiste una successione {k_{n} ≐ (±)^{σ_{n}}4^{−n}} (σ_{n} ∈ {0, 1} a

seconda del valore di n) tale che non esiste il limite lim_{n→+∞} \frac{F (x_{o} + k_{n}) − F (x_{o})}{k_{n}}.

Non si è in grado di dire se non esiste una sola delle derivate ed infatti è interessante rispondere alle seguenti domande: 1) esiste nel punto x_{o} la derivata sinistra oppure destra finite? 2) sempre nel punto x_{o}, esiste la derivata destra e sinistra entrambe uguali a +∞ oppure −∞?

La precedente dimostrazione non può essere ripetuta nel caso in cui 2^{k} sia sostituito a 4^{k} in quanto non è detto che almeno uno dei due intervalli (x_{o} − 2^{−n}, x_{o}) (x_{o}, x_{o} + 2^{−n}) appartenga interamente ad uno dei semiperiodi della funzione f_{n−1}(x). Bisogna adottare la dimostrazione data in [B] che è simile a quella data da T.H.Hildebrandt. Si fa uso del seguente Lemma e dimostrato nell’esercizio 31.7, punto 2)

Lemma 1.15 f: R → R è derivabile in x se e solo se lim_{(ξ,η)→(x,x)} \frac{f(ξ)−f(η)}{ξ−η} = f′(x), ξ ≤ x ≤ η

Proposizione 2.15 La funzione F (x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f(2^{k}x)}{2^{k}} non ammette derivata finita in nessun

punto

Dimostrazione Dato quindi il punto x, siano \frac{i}{2^{n}} e \frac{i+1}{2^{n}} i due punti più vicini a x con denominatore 2^{n} tali che \frac{i}{2^{n}} ≤ x ≤ \frac{i+1}{2^{n}} e costruiamo la funzione 2^{n}(F ((i + 1)2^{−n}) − F (i2^{−n})) = 2^{n} ∑_{k=0}^{∞} 2^{−k}(f(2^{k}x+(i+1)2^{k−n})−f(2^{k}x+i2^{k−n})). 2^{n} ∑_{k=n}^{∞} 2^{−k}(f(2^{k}x+(i+1)2^{k−n})−f(2^{k}x+ i2^{k−n})) = 0 per periodicità della funzione f. Rimane 2^{n} ∑_{k=0}^{n−1} 2^{−k}(f(2^{k}x + (i + 1)2^{k−n}) − f(2^{k}x + i2^{k−n})) = ∑_{k=0}^{n−1}(±1) in quanto il periodo della funzione f(2^{k}x) è T_{k} = 2^{−k} e quindi nell’intervallo [i2^{−n}, (i + 1)2^{−n}] ciascuna delle funzioni f(2^{k}x) con 0 ≤ k ≤ n − 1 è lineare crescente oppure decrescente. Ne segue che la derivata non esiste nel senso che il limite del rapporto incrementale non può essere un numero finito.

Sulla stessa falsariga dimostrare il seguente

Proposizione 3.15 La funzione F (x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f(2^{k}x)}{2^{k}} non ammette derivata destra né sinistra

finite in nessun punto

Dimostrazione Si fa uso dell’esercizio 31.7 punto 4). Facciamo vedere che esistono due successioni ξ_{n} → 0^{+} e η_{n} → 0^{+} tale che x_{o} ≤ ξ_{n} < η_{n}, \frac{η_{n}−x_{o}}{ξ_{n}−x_{o}} ≤ a, \frac{η_{n}−ξ_{n}}{ξ_{n}−x_{o}} ≤ a e non esiste

lim_{n→+∞} \frac{F (η_{n})−F (ξ_{n})}{η_{n}−ξ_{n}}. Prendiamo lo sviluppo in base 2 del punto x ossia x = ∑_{k=1}^{+∞} \frac{x_{k}}{2^{k}} con x_{k} = 0, 1. Sia x^{(n)} = ∑_{k=1}^{n} \frac{x_{k}}{2^{k}} , ξ_{n} = x^{(n)} + \frac{1}{2^{n}} > x e η_{n} = ξ_{n} + \frac{1}{2^{n}} . Risulta η_{n} − ξ_{n} = 2^{−n}, \frac{η_{n}−x_{o}}{ξ_{n}−x_{o}} ≤ 2, \frac{η_{n}−ξ_{n}}{ξ_{n}−x_{o}} ≤ 1 per cui a = 2. La funzione 2^{n}(F (η_{n}) − F (ξ_{n})) è pari a ∑_{k=0}^{n−1}(±1) e quindi la derivata non esiste nel senso che il limite del rapporto incrementale non può essere un numero finito.

In merito all’esempio 3) vogliamo dimostrare la seguente proposizione Proposizione 4.15 La funzione F (x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f(2^{k}x)}{2^{k}} verifica la stima |F (x + h) − F (x)| ≤

L_{α}|h|^{α} per qualsiasi 0 < α < 1 ^{(2.15)}

Dimostrazione Sia dapprima |h| < 1. Esiste un numero intero n tale che 2^{−n−1} ≤ |h| ≤ 2^{−n};

F (x + h) − F (x) = ∑_{k=0}^{n−1} 2^{−k}(f(2^{k}x + 2^{k}h) − f(2^{k}x)) + ∑_{k=n}^{+∞} 2^{−k}(f(2^{k}x + 2^{k}h) − f(2^{k}x)). Nella

prima sommatoria abbiamo 2^{k}|h| ≤ 2^{k−n} ≤ \frac{1}{2} da cui il fatto che (f(2^{k}x+2^{k}h)−f(2^{k}x)) = 2^{k}h e

quindi ∑_{k=0}^{n−1} 2^{−k}|f(2^{k}x+2^{k}h)−f(2^{k}x)| = ∑_{k=0}^{n−1} 2^{−k}2^{k}|h|. Se ora dividiamo per |h|^{α} allora otteniamo

∑_{k=0}^{n−1} 2^{−k}|h|^{−α}|f(2^{k}x+2^{k}h)−f(2^{k}x)| ≤ ∑_{k=0}^{n−1} 2^{−k}2^{k}|h|^{1−α} ≤ n2^{−n(1−α)} ≤ L_{α}. Per quanto riguarda

∑_{k=n}^{+∞} 2^{−k}|h|^{−α}|f(2^{k}x+2^{k}h)−f(2^{k}x)| ≤ ∑_{k=n}^{+∞} 2^{−k} \frac{1}{2}|h|^{−α} = 2^{−n}|h|^{−α} ≤ 2|h|^{1−α} ≤ 2^{1−n(1−α)} ≤ L′_{α}.

Sommando le due quantità si arriva al risultato.

Se |h| ≥ 1 abbiamo |F (x + h) − F (x)| ≤ 1 (fatto questo vero indipendentemente dal valore di h) allora abbiamo |F (x + h) − F (x)| ≤ 1 ≤ |h|^{α}. Si sarà notato che tutto il ragionamento cade se α = 1 e ciò non sorprende perché altrimenti la funzione sarebbe lipschitziana e quindi derivabile quasi ovunque (fatto questo che già sappiamo essere falso).

Sempre con la funzione di Wan der Waerden si può ottenere il seguente risultato

Proposizione 5.15 Definire un insieme C ⊂ I = [0, 1] ed una funzione F (x): I → R tale che μ(C) > 0, F |_{C} ≡ 0, F continua e non derivabile in nessun punto^{(3.15)}

Dimostrazione Prendiamo un insieme di Cantor a misura positiva μ_{o} > 0 in I. C_{μ_{o}} si ottiene da I togliendo una quantità numerabile di intervalli aperti disgiunti ossia C_{μ_{o}} = I\ ∪_{n=0}^{∞} (a_{n}, b_{n}) e

∑_{n=0}^{∞}(b_{n} − a_{n}) = 1 − μ_{o}; sia a_{n} che b_{n} appartengono a C_{μ_{o}}. È necessario dare qualche dettaglio

in più per capire il risultato. Al primo passo, dall’intervallo I, togliamo l’intervallo aperto I_{1} = (\frac{1}{2} − \frac{λ}{6}, \frac{1}{2} + \frac{λ}{6}) ossia togliamo un intervallo centrato in x = \frac{1}{2} e di lunghezza \frac{λ}{3}. Sia

I\I_{1} =^{def}J_{1} = (0, \frac{1}{2} − \frac{λ}{6}) ∪ (\frac{1}{2} + \frac{λ}{6}, 1). Al secondo passo, da J_{1} togliamo due intervalli di lunghezza ciascuno \frac{λ}{9} e centrati rispettivamente nei punti mediani dei due intervalli che compongono J_{1}. Chiamiamo I_{11} e I_{12} i nuovi intervalli ottenuti e sia I^{(2)} = I_{11} ∪ I_{12}; J_{2} = J_{1}\I^{(2)}. In J_{2} vi sono quattro intervalli ed in ciascuno di essi si ripete la procedura togliendo intervalli aperti centrati di lunghezza \frac{λ}{27} che chiamiamo I_{111}, I_{112}, I_{121}, I_{122}. Sia I^{(2)} = I_{111} ∪ I_{112} ∪ I_{121} ∪ I_{122}. e via

dicendo. Sia I^{(∞)} =^{def} ∪_{k=1}^{∞} I^{(k)}. Abbiamo | ∪_{k=1}^{∞} I^{(k)}| = ∑_{k=1}^{∞} |I^{(k)}| = \frac{λ}{3} ∑_{k=0}^{∞}(\frac{2}{3})^{k} = λ. L’insieme

I\I^{(∞)} ha misura 1 − λ e prendiamo λ = 1 − μ_{o} per cui C_{μ_{o}} = I\I^{(∞)}. Come ogni insieme

di Cantor che si rispetti C_{μ_{o}} soddisfa le relazioni C′_{μ_{o}} = C_{μ_{o}}, C^{o}_{μ_{o}} = ∅, \overline{I^{(∞)}} = [0, 1]. Ciascun

intervallo di quelli eliminati viene chiamato I_{i_{1}i_{2}...i_{n}}, è aperto e |I_{i_{1}i_{2}...i_{n}}| = \frac{1 − μ_{o}}{3^{n}} .

A partire dalla funzione F (x) data in 3), in ogni intervallo I_{i_{1}i_{2}...i_{n}} definiamo F_{i_{1}i_{2}...i_{n}}: I_{i_{1}i_{2}...i_{n}} →

(2.15) Proposizione presa da [SS] (3.15) la misura μ è quella di Lebesgue ed inoltre per derivabilità si intende derivata finita bilatera. L’esercizio è preso

da [Sc]

R, F_{i_{1}i_{2}...i_{n}}(x) = ε_{i_{1}i_{2}...i_{n}} ∑_{k=0}^{∞} 2^{−k}f(2^{k} \frac{x − a_{i_{1}i_{2}...i_{n}}}{b_{i_{1}i_{2}...i_{n}} − a_{i_{1}i_{2}...i_{n}}}) e ε_{i_{1}i_{2}...i_{n}} = \frac{1}{n}. Chiaramente abbiamo

F_{i_{1}i_{2}...i_{n}}(a_{i_{1}i_{2}...i_{n}}) = F_{i_{1}i_{2}...i_{n}}(b_{i_{1}i_{2}...i_{n}}) = 0 e F_{i_{1}i_{2}...i_{n}}(\frac{1}{2}a_{i_{1}i_{2}...i_{n}} + \frac{1}{2}b_{i_{1}i_{2}...i_{n}}) = \frac{1}{2}ε_{i_{1}i_{2}...i_{n}}

Definiamo la funzione W (x): [0, 1] → R, W (x) = \{ \begin{matrix}F_{i_{1}i_{2}...i_{n}}(x) x ∈ I_{i_{1}i_{2}...i_{n}} \\ 0 x ∈ C_{μ_{o}} \end{matrix}

La funzione W (x) così costruita soddisfa le condizioni richieste.

Continuità . Se x ∈ I_{i_{1}i_{2}...i_{n}} = I^{o}_{i_{1}i_{2}...i_{n}} allora W (x) = F_{i_{1}i_{2}...i_{n}}(x) e sappiamo che quest’ultima è continua. Sia x ∈ C_{μ_{o}} e sia U ∋ x un intervallo contenente x. In tale intervallo, per costruzione dell’insieme di Cantor, vi sono solamente punti di C_{μ_{o}} e intervalli aperti appartenenti all’insieme I\C_{μ_{o}}. Se y ∈ C_{μ_{o}} allora W (y) = 0. Inoltre se la lunghezza dell’intervallo U tende a zero, vuol dire che gli intervalli di I\C_{μ_{o}} contenuti in esso diventano progressivamente più piccoli e ciò equivale a dire che n → +∞ dove I_{i_{1}i_{2}...i_{n}} ⊂ U. Ne segue che se y ∈ I_{i_{1}i_{2}...i_{n}} allora W (y) ≤ \frac{1}{n} da cui segue la continuità .

Non derivabilità . Nei punti x ∈ I\C_{μ_{o}} la funzione non è derivabile in quanto negli aperti in questione la funzione è quella di Wan Der Waerden. Sia ora x ∈ C_{μ_{o}}. Per costruzione vi è una successione, detta S_{x}, di intervalli aperti I_{i_{1}i_{2}...i_{n}} tale che x è punto limite dell’insieme degli estremi di tali intervalli che sono rappresentati con a_{i_{1}i_{2}...i_{n}} per l’estremo sinistro e b_{i_{1}i_{2}...i_{n}} per l’estremo destro. Sia m_{i_{1}i_{2}...i_{n}} = \frac{1}{2}(a_{i_{1}i_{2}...i_{n}} + b_{i_{1}i_{2}...i_{n}}) il punto medio di tali intervalli contenuti

nell’insieme S_{x}. Si vuole dimostrare che \frac{W (m_{i_{1}i_{2}...i_{n}})}{m_{i_{1}i_{2}...i_{n}} − x} non è una quantità limitata e quindi

non può tendere a zero. In particolare si vuole dimostrare che |m_{i_{1}i_{2}...i_{n}} − x| ≤ 2^{−n} e quindi

|\frac{W (m_{i_{1}i_{2}...i_{n}})}{m_{i_{1}i_{2}...i_{n}} − x}| ≥ \frac{2^{n−1}}{n} da cui il risultato.

Sia I_{1} il primo intervallo tolto da I. sup_{x∈J_{1}} ρ(x, I_{1}) ≤ \frac{1}{2}(1 − \frac{λ}{3})

Se I^{(2)} = I_{11} ∪ I_{12} si ha sup_{x∈J_{2}} ρ(x, I^{(2)}) ≤ (\frac{1}{2}(1 − \frac{λ}{3}) − \frac{λ}{9})\frac{1}{2}

Se I^{(3)} = I_{111} ∪ I_{112} ∪ I_{121} ∪ I_{122} si ha sup_{x∈J_{3}} ρ(x, I^{(3)}) ≤ (\frac{1}{2}(1 − \frac{λ}{3}) − \frac{λ}{9})\frac{1}{2}

In generale abbiamo sup_{x∈J_{n}} ρ(x, I^{(n)}) ≤ \frac{1}{2^{n}} (1 − \frac{λ}{3})

Ne segue che la distanza di x dai punti medi degli intervalli che via via vengono eliminati è

minore o uguale a \frac{1}{2^{n}} (1 − \frac{λ}{3}) + \frac{λ}{2}3^{−n} ≤ 2^{−n+1} e quindi il risultato.

Esercizio Si avrebbe lo stessa conclusione se invece della misura di Lebesgue si prendesse la misura di Peano–Jordan? (indicata con m(·)) Risposta: No in quanto un insieme A è misurabile secondo Peano–Jordan se e solo se m(A) =

m(A^{o}) = m(\overline{A}). Quindi si dovrebbe avere F |_{A}(x) ≡ 0 e al contempo A^{o} ≠ ∅; Ne seguirebbe che esiste un intervallo in cui F (x) è costante. Ma allora è derivabile all’interno dell’intervallo con derivata nulla

Referenze

[B] Billingsley P.: Van Der Waerden’s Continuous Nowhere Differentiable Function, American Mathematical Monthly, Vol. 89, Issue 9 (Nov.,1982), 691

[C] Chierchia L.: Lezioni di Analisi Matematica, Aracne Editrice 1996

[G] Giusti E.: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, volume secondo, seconda edizione riveduta e ampliata, Boringhieri 1989, ristampa del 1994 [Ge] Gerver J.: The Differentiability of the Riemann Function at certain Rational Multiples, American Journal of Mathematics, Volume 92, Issue 1 (Jan., 1970), pp.33–55,

[Ge1] Gerver J.: More on the Differentiability of the Riemann Function, American Journal of Mathematics, Volume 93, Issue 1 (Jan., 1971), pp.33–41,

[GO] Gelbaum B.R., Olmsted J.M.H.: Controesempi in analisi matematica, Edizioni Mursia, 1964

[GO1] Gelbaum B.R., Olmsted J.M.H.: Theorems and Counterexamples in Mathematics, Springer–Verlag Ed.1990

[H] Hardy G.H.: Weierstrass’s Non–Differentiable Function , Transactions of the American Mathematical Society, Volume 17, Issue 3 (Jul.,1916), pag.301–325

[Hi] Hildebrandt T.H.: A Simple Continuous Function with a Finite Derivative at No Point, American Mathematical Monthly, Volume 40, Issue 9 (Nov.,1933), 547–548

[HS] Hewitt E., Stromberg K.: Real and Abstract Analysis, Springer–Verlag Eds., 1965 pp.260 [Mc] McCarthy J.: An Everywhere Continuous Nowhere Differentiable Function, American Mathematical Monthly, Volume 60, Issue 10 (Dec.,1953), 709

[S] Šilov G.E.: Analisi Matematica - Funzioni di una variabile e Funzioni di più variabili reali, Edizioni Mir, pag.240,

[Sc] Schubert S.R.: On a Function of Van Der Waerden, American Mathematical Monthly, Volume 70, Issue 4 (Apr.,1963), 402

[RS] Riesz F.:, Sz.–Nagy B.: Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co. (N.Y.)

[Sm] Smith A.: The Differentiability of the Riemann’s Function , Proceedings of the American Mathematical Society, Volume 34, Issue 2 (Aug., 1972), pp.463–468.

[SS] Shidfar A., Sabetfakhri K.: On the Continuity of Van Der Waerden’s Function in the Holder Sense, American Mathematical Monthly, Volume 93, Issue 5 (May,1986), 375–376

[T] Titchmarsh E.C.: The theory of functions, Oxford University Press, stampa del 1988: seconda edizione del 1939 corretta nel 1968

[W] Wan der Waerden B.L.: Ein einfaches Beispiel einer nichtdifferenzierbaren stetigen Funktion, Math. Zeitschrift, 32 (1930).