Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

§1.5 Topologia in R^{n}

Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi Matematica, I edizione settembre 1996, ARACNE EDITRICE, via Raffaele Garofalo, 133 A/B 00173 Roma tel.0672672233/22, M.Bertsch - R.Dal Passo Elementi di Analisi Matematica, I edizione ottobre 2001, ARACNE EDITRICE

Alcuni degli esercizi che seguono richiedono la conoscenza del concetto di successione e limite di successione contenuti nel capitolo 3 (successioni)

1.1.5 Come è noto dato un insieme A in R^{n}, con il simbolo ∂A si definisce un nuovo insieme, detto frontiera di A, dato da: sia p un punto in R^{n} e sia U ∋ p un intorno aperto di p. Se U ∩ A ≠ ∅ e U ∩ A^{c} ≠ ∅ per ogni intorno U allora p ∈ ∂A. Si dimostri che ∂A è un insieme chiuso.

2.1.5 Si definisce chiusura di un insieme A l’insieme \overline{A} = A ∪ ∂A. Per definizione, l’insieme A^{o} è il più grande aperto contenuto in A. Si dimostri che:

i) A^{o} è l’unione di tutti gli aperti contenuti in A ii) \overline{A} = A^{o} ∪ ∂A

3.1.5 Dire quali dei seguenti insiemi è aperto, chiuso, né aperto né chiuso, identificare la frontiera, il derivato ed i punti isolati (l’insieme dei punti isolati dell’insieme A verrà indicato con Ă): A_{1} = [0, 1), A_{2} = (0, 2) ∪ (3, +∞), A_{3} = {x ∈ R : 1 < |x − 3| < 4}, A_{4} = {x ∈ R : 1 < |x| < 2\}∩(0, 3), A_{5} = ∩_{n>2}(\frac{1}{n}, 1− \frac{1}{n}), n intero A_{6} = (0, 1)∪\{2\}, A_{7} = \{x ∈ R|x = 1 − \frac{1}{n^{2}} n ∈ N\\{0\}\}, A_{8} = \{x ∈ R : x = 1 − \frac{1}{n^{2}} , n ∈ N\\{0\}\} ∪ \{1\}, A_{9} = ∩_{n>2}(\frac{1}{n}, 1 − \frac{1}{n})^{c} (dove la c in alto vuol dire insieme complementare)

4.1.5* Dimostrare che è aperto l’insieme A = {x ∈ R|P (x) > 0}, dove P (x) è un polinomio.

5.1.5 Trovare il derivato di  A_{1} = (2, 3],  A_{2} = (0, +∞)

6.1.5 Dimostrare che \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B}, \overline{A ∩ B} ⊂ \overline{A} ∩ \overline{B}, Q′ = R, ∂Q = R, Q^{o} = ∅,

(R\Q)^{o} = ∅ ∂(\overline{A}) ⊂ \overline{∂A} (A′)′ ⊃ A′

È dato un insieme numerabile di intervalli chiusi {[a_{i}, b_{i}]} tale che [a_{i+1}, b_{i+1}] ⊂ [a_{i}, b_{i}] per ogni i. Inoltre si consideri l’insieme di intervalli aperti {(a_{i}, b_{i})} tale che (a_{i+1}, b_{i+1}) ⊂ (a_{i}, b_{i}). Si dica se è vero che ∩_{i=1}^{∞}[a_{i}, b_{i}] ≠ ∅ e ∩_{i=1}^{∞}(a_{i}, b_{i}) ≠ ∅. Si determinino i seguenti insiemi A_{1} = ∩_{n=1}^{∞}(−\frac{1}{n}, \frac{1}{n}), A_{2} = ∩_{n=1}^{∞}[−\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]), A_{3} = ∩_{n=1}^{∞}(0, \frac{1}{n}), A_{4} = ∩_{n=1}^{∞}[0, \frac{1}{n}] A_{5} = ∩_{n=1}^{∞}[0, \frac{1}{n})

7.1.5 Dare esempi di insiemi A e B tali che \overline{A} ∩ \overline{B} ⊄ \overline{A ∩ B}

8.1.5 Dimostrare che le seguenti affermazioni circa l’insieme E sono equivalenti: 1) E è chiuso,

2) ∂E ⊂ E, 3) E′ ⊂ E.

9.1.5* Si mostri come ∂A non ha punti interni se A è aperto oppure chiuso mentre si dia un esempio di insieme né aperto né chiuso la cui frontiera ha punti interni.

10.1.5* Sia E un insieme chiuso. Si dimostri che esiste un insieme K tale che ∂K = E. Si può dimostrare lo stesso risultato supponendo E aperto?

11.1.5 Sia dato l’insieme aperto A = {x ∈ R | x ∈ (a, b)}. Sia ora dato l’insieme B = {(x, y) ∈ R^{2} | y = 0, x ∈ (a, b)}. Può dirsi B aperto come sottoinsieme di R^{2}?

È chiaramente chiuso l’insieme \overline{A}. Può dirsi lo stesso per \overline{B}? Quale è la frontiera di A e di B?

12.1.5* Siano dati un insieme E ⊂ R ed una famiglia I di intervalli aperti I_{α} con α ∈ A ed A è un insieme di indici non necessariamente numerabile tale che ∪_{α}I_{α} ⊃ A (si dice che gli intervalli I_{α} costituiscono un ricoprimento di A). Dimostrare che è possibile estrarre una sottofamiglia al più numerabile di intervalli I_{α} che costituisce un ricoprimento di A^{(1.1.5)}

13.1.5* In R^{n} si definisce distanza di un punto da un insieme ρ(x, A) = inf_{y∈A} |x − y|. Si dimostri che se A è chiuso dire che ρ(x, A) = 0 è equivalente a dire che x ∈ A. Se A non è chiuso allora non sono equivalenti. La distanza fra due insiemi A e B si definisce come ρ(A, B) = inf_{x∈A} inf_{y∈A} ρ(x, y). Trovare due insiemi chiusi A, B tali che A∩B = ∅ e ρ(A, B) = 0

14.1.5* Dimostrare che per ogni insieme A ⊂ R^{n}, {x ∈ R^{n} : ρ(x, A) < ε} è aperto mentre {x ∈ R^{n} : ρ(x, A) ≤ ε} è chiuso.

15.1.5* È dato F sottoinsieme chiuso di R^{n}. È sempre possibile costruire un insieme aperto U tale che U ⊂ F? Dare la condizione necessaria e sufficiente per cui è possibile tale costruzione.

16.1.5* Siano dati due insiemi chiusi in R^{n} F_{1} e F_{2} tali che F_{1} ∩ F_{2} = ∅. Costruire due insiemi aperti U_{1} e U_{2} tale che F_{1} ⊂ U_{1}, F_{2} ⊂ U_{2}, e U_{1} ∩ U_{2} = ∅.

• Dati due insiemi qualsiasi A e B in R^{n} tali che A ∩ \overline{B} = \overline{A} ∩ B = ∅. Trovare due aperti U e V tali che A ⊂ U, B ⊂ V e U ∩ V = ∅.

17.1.5 Sia data una famiglia numerabile qualsiasi di insiemi chiusi {C_{i}} i intero maggiore di 1. Si dimostri che \overline{∪_{i=1}^{∞}C_{i}} = ∪_{i=1}^{∞}\overline{C_{i}} ovvero si dia un controesempio

18.1.5* Si definiscono numeri diadici i numeri della forma \frac{p}{2^{q}} con p, q interi. Si dimostri che i punti della retta la cui coordinata è costituita da un numero diadico formano un insieme denso in R (se l’insieme di tali punti è indicato con A allora \overline{A} = R.)

19.1.5** Sia E un insieme aperto in R^{n}. Dimostrare che esiste una successione di insiemi compatti {K_{i}, i ≥ 1} tale che: K_{i} ⊂ E, K_{i} ⊂ K_{i+1}, ∪_{i≥1}K_{i} = E Suggerimento: usare l’esercizio 12.1.5* e 14.1.5*

Sia dato inoltre un insieme compatto K. Si dimostri che esiste una famiglia numerabile di insiemi aperti {O_{i}} tale che: K ⊂ O_{i}, O_{i} ⊃ O_{i+1}, K = ∩_{i≥1}O_{i}

20.1.5** Dimostrare che l’essere un insieme E compatto in R^{n} (pag.180 del libro di testo) è equivalente ad una delle due seguenti proprietà:

1) Da ogni ricoprimento costituito da insiemi aperti si può estrarre un sottoricoprimento finito. In formule vuol dire che se E è l’insieme in questione e {A} è una famiglia qualsiasi di aperti tale che E ⊂ ∪_{α}A_{α} allora esiste una sottofamiglia costituita da un numero finito di elementi A_{1}, …, A_{n} tale che ∪_{i=1}^{n}A_{i} ⊃ E.

2) Se {A} è una qualsiasi famiglia di sottoinsiemi chiusi di E tale che ∩_{i=1}^{n}A_{i} ≠ ∅ per qualsiasi scelta di {A_{i}} i = 1, …, n allora l’intersezione di tutti gli insiemi di {A} è non vuota. In altre parole se {A} è una famiglia di sottoinsiemi chiusi di E tale che comunque prendo un numero finito di insiemi di {A} la loro intersezione è non vuota, allora l’intersezione di tutti gli insiemi di {A} è non vuota.

Diamo ora la seguente definizione 1Def A è non denso in r ∈ B se per ogni insieme aperto U ∋ r, esiste un aperto V ⊂ U tale che V ∩ B = ∅. Se la precedente definizione si applica a ciascun punto di B allora si dice che A è non denso in alcun punto di B oppure che A è non denso in B

(1.1.5) Bisogna far vedere che esiste un insieme numerabile di intervalli {I_{β}} con β∈B e B numerabile sottoinsieme di

21.1.5 Dati gli insiemi A ⊂ B ⊂ R^{n} dimostrare che sono equivalenti le affermazioni

\overline{A} è privo di punti interni ossia \overline{A}^{o}, A è non denso in alcun punto di B

Esempi sono dati da:

1) A = [a, b] e B = [c, d] dove a < b < c < d; in questo caso A è non denso in alcun punto di B

2) A = [−1, 1] e B = {(x, y) | x^{2} + y^{2} ≤ 1}; anche in questo caso A è non denso in alcun punto di B pur essendo A ⊂ B

3) A = [a, b] ∪ {c} e B = A; in questo caso A è non denso nei punti {a, b, c, }.

Va detto che la 1Def non è la negazione logica della relazione \overline{A} = E contenuta a pag.114 del libro di testo. Infatti dire che si sta prendendo \overline{A} vuol dire che si stanno aggiungendo ad A i suoi punti di accumulazione e dunque \overline{A} = A ∪ A′. Da tale definizione si ricaverebbe che ogni insieme è ovunque denso in se stesso. Ad esempio l’insieme dei naturali sarebbe, come sottoinsieme di R, denso in se stesso ossia \overline{N} = N ma se seguiamo la 1Def dobbiamo concludere N non è denso in alcun punto di esso. Nel caso dell’esempio 3) abbiamo concluso che A non è denso in tre dei suoi punti mentre secondo la relazione di pag.114 A sarebbe denso anche in quei punti. Una negazione logica della definizione di pag.114 si può ovviamente dare ma deve limitarsi solamente ai punti dell’insieme E\A ed è data da

2Def esiste almeno un punto q di E\A tale che q ∉ A′ ossia esiste un intorno aperto U ∋ q tale U ∩ A = ∅ Chiaramente se è vera 2Def allora è vera anche 1Def.

22.1.5*** Sia data una funzione qualsiasi f: R → R e sia y_{o} = f(x_{o}). Supponiamo che esista un valore di δ tale che x ∈ [x_{o} − δ, x_{o} + δ] ⇒ f(x) ≥ y_{o} ∨ x ∈ [x_{o} − δ, x_{o} + δ] ⇒ y_{o} ≤ f(x) (ossia y_{o} è un massimo oppure di minimo locale secondo le definizioni di pagina 123). Detto E(f) l’insieme dei massimi oppure minimi, si dimostri che è un insieme al più numerabile (suggerimento: si utilizzi sull’asse delle x la presenza dei numeri razionali ed in particolare la loro densità nella forma: per ogni intervallo [a, b] esiste un intervallo [α, β] con a < α < β < b tale che α ∈ Q, β ∈ Q).

23.1.5 Si individui quale delle seguenti relazioni di uguaglianza è vera o falsa. Per quelle false si diano degli esempi che ne evidenzino la falsità . Le relazioni sono 1) (A ∪ B)^{o} = A^{o} ∪ B^{o} ,

2) (A ∩ B)^{o} = A^{o} ∩ B^{o} , 3) ∂(A ∪ B) = ∂A ∪ ∂B, 4) ∂(A ∩ B) = ∂A ∩ ∂B, 5) ∂(A\B) = ∂A\∂B

24.1.5** In relazione all’esercizio 22.1.5***, dato un insieme numerabile E ⊂ R, si costruisca una funzione continua f: R → R tale che E(f) ≡ E ⊂ Im(f) ⊂ R. (suggerimento: nella soluzione proposta è importante che il dominio della f sia tutto R).

Gli esercizi che seguono sono relativi alla struttura degli insiemi limitati aperti e chiusi

25.1.5* È dato un insieme aperto U = U^{o} ⊂ R. Si dimostri che tale insieme si può ricoprire da una infinità al più numerabile di intervalli aperti disgiunti (a, b) tale che (a, b) ⊂ A ma a ∉ U e b ∉ U (tali intervalli sono detti intervalli componenti). Nella Appendice 2 si dimostra che viceversa non è possibile prendere un intervallo chiuso e scomporlo nella unione numerabile di sottointervalli chiusi disgiunti 26.1.5* Sia U un insieme aperto limitato e sia (a, b) un intervallo aperto in esso contenuto. Allora esiste un intervallo componente (α, β) che contiene (a, b).

27.1.5* Un insieme non vuoto chiuso e limitato F può verificare una delle due seguenti proprietà : 1) è un intervallo chiuso 2) è ottenibile da un intervallo chiuso rimuovendo una quantità finita o numerabile di intervalli aperti disgiunti i sui estremi appartengono a F.

28.1.5* Dimostrare che se da un intervallo chiuso rimuoviamo una famiglia di intervalli aperti, ciò che rimane è un insieme chiuso.

Definizione Un insieme A di R^{n} si dice perfetto se A′ = A

In particolare un insieme perfetto è chiuso. Il viceversa non è vero in quanto degli insiemi chiusi possono far parte i punti isolati. Chiaramente il contenuto dell’esercizio 27.1.5* si applica anche agli insiemi perfetti.

29.1.5* Sia F un insieme chiuso, limitato non vuoto e sia S = [a, b] l’intervallo chiuso più piccolo che lo contiene. Allora si hanno le seguenti possibilità

1) Un punto x che sia un punto estremo per due distinti intervalli complementari di F è un punto isolato di F (la definizione di intervallo complementare è data in corrispondenza alla risoluzione dell’esercizio 27.1.5*).

2) Se il punto a (oppure b) è un punto estremo di un intervallo di F allora è un punto isolato di F.

3) Non esitono punti isolati all’infuori di quelli descritti.

30.1.5* Dal precedente risultato si ricavi il seguente: ogni insieme perfetto P, limitato, non vuoto è : o un intervallo chiuso oppure si ottiene da qualche intervallo chiuso rimuovendo un numero finito o numerabile di intervalli aperti tutti distinti che non hanno alcun punto comune neppure con nessuno degli estremi dell’intervallo chiuso da cui sono stati eliminati per costruire l’insieme P. Viceversa un insieme ottenuto nella maniera appena detta è perfetto

31.1.5 Si consideri la retta reale e su di essa si definisca la seguente distanza ρ(x, y) = 0 se x = y e ρ(x, y) = 1 se x = y.

1) Si faccia vedere che la funzione ρ(x, y) così definita soddisfa gli assiomi di distanza.

2) Si individuino gli insiemi aperti di R

3) Si idividuino le successioni di Cauchy 4)

5) Si faccia vedere che è falsa l’affermazione: Ogni insieme aperto non vuoto contiene un sottoinsieme aperto convesso non vuoto

SOLUZIONI

§1.5

3.1.5 Sono aperti i seguenti insiemi: A_{2}, ∂A_{2} = {0, 2, 3}, A_{3}, ∂A_{3} = {−1, 2, 4, 7}, A_{4}, ∂A_{4} = \{1, 2\} A_{5}, ∂A_{5} = \{\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\}, A_{6}, ∂A_{6} = \{0, 1, 2\}. Poiché ogni punto interno è di accumulazione, il derivato degli insiemi aperti è dato dai punti interni e di friontiera ossia A′_{2} = A_{2}∪∂A_{2} e così per gli altri

Sono chiusi i seguenti insiemi: A_{8}, ∂A_{8} = A_{8}, A′_{8} = {1}, A_{9}, ∂A_{9} = {0, 1}, A′_{9} = A_{9}

Non sono né aperti né chiusi gli insiemi A_{1}, ∂A_{1} = {0, 1}, A′_{1} = A_{1} ∪ {0, 1}, A_{7}, ∂A_{7} = A_{7} ∪ {1}, A′_{7} = {1}.

5.1.5  A′_{1} = \overline{A}_{1} = A_{1} ∪ \{2\},  A′_{2} = [0, +∞).

6.1.5 L’intersezione di chiusi è non vuota mentre quella di aperti può essere vuota ossia ∩_{i=1}^{∞}[a_{i}, b_{i}] ≠ ∅, ∩_{i=1}^{∞}(a_{i}, b_{i}) può essere sia vuoto che no.

A_{1} = {0},  A_{2} = {0},  A_{3} = ∅,  A_{4} = {0},  A_{5} = {0}

7.1.5 Gli esempi abbondano. Tre di essi sono dati da: A = (−∞, 0) B = (0, ∞) (pensando A e B come sottoinsiemi di R); A = {(x, y) ∈ R^{2} | (x + 1)^{2} + y^{2} < 1} B = {(x, y) ∈ R^{2} | (x − 1)^{2} + y^{2} < 1\}; A = \{x ∈ R|x = \frac{1}{2n}, n ≥ 1\}; B = \{x ∈ R|x = \frac{1}{2n+1}, n ≥ 1\}.

8.1.5 Si veda il Teorema 3.2

9.1.5* Si pensi a Q come sottoinsieme di R. Ebbene Q non è né aperto né chiuso ma ∂Q = R e tutti i suoi punti sono interni.

10.1.5* No. Essendo la frontiera di un qualunque insieme un insieme chiuso esso non potrà mai essere uguale ad un insieme aperto a meno che non sia E = ∅ oppure E = R.

11.1.5 No, si, ∂A = {a, b}, ∂B = B ∪ {a, b}

13.1.5* In R si può prendere A = \{k\} k = 1, 2, 3, … mentre B = \{k + \frac{1}{2k} \} k = 1, 2, 3, … mentre in R^{2} si può prendere A = \{\underline{x} : xy = 1\} B = \{\underline{x} : y = 0\}

15.1.5* No; si prenda ad esempio F_{1} = 0 ∈ R. Se invece F = [0, 1] allora si può prendere U qualsiasi aperto contenuto in F (ad esempio (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})). La condizione necessaria e sufficiente è F ≠ ∂F.

16.1.5* Sia d = inf_{x∈F_{1}} inf_{y∈F_{2}} ρ(x, y) la distanza fra F_{1} e F_{2}. Si considerino gli insiemi ∪_{x∈F_{1}}\{x′ | ρ(x, x′) < \frac{d}{2}\} = U_{1} e ∪_{y∈F_{1}}\{x′ | ρ(y, x′) < \frac{d}{2}\} = U_{2}. È chiaro che U_{1} ⊃ F_{1} e U_{2} ⊃ F_{2} e che per due punti qualsiasi ξ ∈ U_{1} e η ∈ U_{2} si ha ρ(ξ, η) ≥ 0. È altresì vero che U_{1} e U_{2}, essendo unione di aperti, sono essi stessi aperti.

17.1.5 In generale l’uguaglianza è falsa.

23.1.5 Sono false la 1), la 3), la 4) e la 5). Quelli che seguono sono degli esempi. 1) si prenda A = [0, 1] e B = [1, 2] da cui A^{o} = (0, 1) e B^{o} = (1, 2) mentre la parte interna di A ∪ B

è data da (0, 2). Un altro esempio è dato da A = Q e B = Q^{c}. In tal caso A^{o} = B^{o} = ∅

e (A ∪ B)^{o} = R^{o} = R. 3) si prenda A = [0, 2] e B = [1, 3] da cui ∂A = {0} ∪ {2} mentre ∂B = {1} ∪ {3} ∂(A ∪ B) = {0} ∪ {3} 4) si prenda A = Q e B = Q^{c}. 5) A = R, B = {0} per cui A\B = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) e ∂(A\B) = R mentre ∂R = ∅

24.1.5** Indichiamo con y_{k} ∈ E un generico punto di E, k ∈ Z. Definiamo la funzione f(x) tale che f(k) = y_{k} e negli altri punti (la stragrande maggioranza) la raccordiamo in modo continuo e lineare in modo che presi tre punti di coordinate rispettivamente (k, y_{k}), (k+1, y_{k+1}), (k + 2, y_{k+2}), y_{k+1} ∈ E(f) e questo per ogni k.

RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI

§1.5

1.1.5 Facciamo vedere che (∂A)^{c} è aperto. Essendo infatti per definizione ∂A = \overline{A}\A^{o} si ha (∂A)^{c} = (\overline{A})^{c} ∪ A^{o} che è l’unione di due insiemi aperti. Dunque ∂A è chiuso. Come conseguenza ∂(∂A) ⊂ ∂A.

2.1.5 Prima di risolvere l’esercizio facciamo un esempio per evidenziare che si sta “parlando di cose concrete” e non di astrusità. Sia A = {(x, y) ∈ R^{2} | x^{2} + y^{2} ≤ 1}\(1, 0) ∪ (0, 0). A non è né aperto né chiuso. Gli insiemi aperti contenuti in A sono una quantità infinita e per giunta non numerabile (ad esempio {(x, y) ∈ R^{2} | x^{2} + y^{2} ≤ r 0 < r < 1}\(0, 0), al variare di r costituisce un aperto contenuto in A oppure \{(x, y) ∈ R^{2} | (x − \frac{1}{2})^{2} + y^{2} ≤ \frac{1}{4}\}). In questo caso

A^{o} = {(x, y) ∈ R^{2} | x^{2} + y^{2} < 1}\(0, 0), ∂A = {(x, y) ∈ R^{2} | x^{2} + y^{2} = 1} ∪ (0, 0). Dimostriamo i). Essendo A^{o} aperto per definizione, se p ∈ A^{o} vuol dire che esiste una sfera aperta B(p; r) ⊂ A^{o} e quindi p appartiene ad un aperto, B(p; r), contenuto in A essendo contenuto in A^{o}. Viceversa supponiamo che p ∈ U dove U è un aperto contenuto in A. Per definizione di interno di un insieme U ⊂ A^{o} e dunque i) è dimostrata. Dimostriamo ora ii). Essendo \overline{A} = A ∪ ∂A bisogna far vedere che A^{o} ∪ ∂A ⊂ A ∪ ∂A e A^{o} ∪ ∂A ⊃ A ∪ ∂A. La prima parte è immediata essendo A^{o} ⊂ A. Per la seconda parte sia dato p ∈ A. Possono accadere due cose: la prima è che esista una sfera B(p; r) interamente contenuta in A. In tal caso si ha p ∈ A^{o} e quindi p ∈ A ⇒ p ∈ A^{o}. La seconda cosa che può accadere è che non esista una sfera come nel primo caso e quindi ∀U = U^{o} ∋ p U ∩ A^{c} ≠ ∅ ossia p ∈ ∂A e quindi p ∈ A^{o} ∪ ∂A.

3.1.5 - Primo del gruppo - A_{1} non aperto: Sia B_{r}(x_{o}) = {x ∈ R | |x − x_{o}| < r}. Poiché B_{r}(0) ∩ A_{1}^{c} ≠ ∅ per ogni r, se ne conclude che non può esistere un intervallo aperto contenente il punto 0 tale che che sia interamente contenuto in A_{1}. Di conseguenza A_{1} non è aperto. Che B_{r}(0) ∩ A_{1}^{c} ≠ ∅ lo si evince, ad esempio, dal fatto che il punto −\frac{r}{2} appartiene a B_{r}(0).

A_{1} non chiuso ossia il complementare di A_{1}, che indichiamo con A_{1}^{c}, non aperto. Che A_{1}^{c} non è aperto lo si dimostra applicando il raginamento precedente al punto 1 ∈ A_{1}^{c}. Dunque A_{1} non è né aperto né chiuso.

∂A_{1} Essendo B_{r}(0) ∩ A_{1}^{c} ≠ ∅ e B_{r}(0) ∩ A_{1} ≠ ∅ ne segue che 0 ∈ ∂A_{1}^{c}. Inoltre essendo B_{r}(1) ∩ A_{1}^{c} ≠ ∅ e B_{r}(1) ∩ A_{1} ≠ ∅ ne segue che 1 ∈ ∂A_{1}^{c}. Qualsiasi altro punto di A_{1} e A_{1}^{c} non verifica tali caratteristiche. Infatti sia p ∈ A_{1} ma p ≠ 0 e p ≠ 1 e definiamo m = min{p, 1 − p}; L’intervallo I = (p − \frac{m}{2}, p + \frac{m}{2}) appartiene interamente ad A_{1} e quindi I ∩ A_{1}^{c} = ∅ e contiene p. Come conseguenza p non può appartenere alla frontiera di A_{1}. Viceversa sia q ∈ A_{1}^{c} e q ≠ 0, q ≠ 1. Supponiamo che q < 0 ed indichiamo m = |q| = −q. L’intervallo (q− \frac{|q|}{2}, q+ \frac{|q|}{2}) appartiene interamente ad A_{1}^{c} e quindi la sua intersezione con A_{1} è vuota e quindi q non può appartenere a ∂A_{1}. Se q > 1 il discorso non cambia.

Il derivato A′_{1} di A_{1} è = \overline{A_{1}} = [0, 1]. Sia p ∈ [0, 1]; l’insieme (p − r, p + r) ∩ A_{1} ≠ ∅ e contiene punti di A_{1} diversi da p per ogni r > 0. Di conseguenza p è di accunulazione.

3.1.5 - Secondo del gruppo - Si dimostra che sia (0, 2) che (3, +∞) è aperto e quindi A_{2} è aperto essendo unione di insiemi aperti. Sia p ∈ (0, 2) e sia m = min\{p, 2 − p\}; I = (p − \frac{m}{2}, p + \frac{m}{2}) ⊂ (0, 2) e quindi (0, 2) è aperto^{(1.5.2)}. Identico discorso può farsi per l’intervallo (3, +∞). ∂A_{2} = {0, 2, 3}; È evidente seguendo la analoga dimostrazione dell’esercizio precedente. A′_{2} = \overline{A_{2}} = [0, 2] ∪ [3, +∞). Anche in questo basta ripercorrere la dimostrazione dell’esercizio A_{1}.

3.1.5 - Terzo del gruppo - A_{3} = {x ∈ R | 4 < x < 7} ∪ {x ∈ R | − 1 < x < 2} ed è l’unione di due insiemi aperti per cui è aperto. ∂A_{3} = {−1, 2, 4, 7, } A′_{3} = A_{3} ∪ ∂A_{3}

(1.5.2) Naturalmente quale intervallo I va bene qualsiasi intervallo della forma (p−n,p+n) con n<m

3.1.5 - Quarto del gruppo - A_{4} = {x ∈ R | 1 < x < 2} ∪ {x ∈ R | − 1 < x < −2} ∩ (0, 3) è aperto essendo intersezione finita di due insiemi aperti. È importante notare come l’intersezione sia finita in quanto vi è un solo insieme con cui intersecare. ∂A_{4} = {−1, −2, 1, 2, } A′_{3} = A_{3} ∪ ∂A_{3}

3.1.5 - Quinto del gruppo - A_{5} è una intersezione infinita di intervalli aperti. Non si può richiamare alcun teorema che ci dica se una intersezione infinita di aperti è a sua volta aperta o chiusa. In questo caso bisogna esaminare direttamente l’insieme e notare che A_{5} = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}). Infatti (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) ⊂ (\frac{1}{n}, 1 − \frac{1}{n}) ∀ n > 2 e quindi (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) ∩ (\frac{1}{n}, 1 − \frac{1}{n}) = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) ∀ n > 2. ∂A_{5} = \{\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\} A′_{5} = A_{5} ∪ ∂A_{5}

3.1.5 - Sesto del gruppo - B_{r}(2) ⊄ A_{6} ∀ r > 0 e quindi, non essendo 2 un punto interno, A_{6} non è un insieme aperto. Del resto B_{r}(0) ⊄ A_{6}^{c} ∀ r > 0 e quindi, non essendo 0 ∈ A_{6}^{c} un punto interno, A_{6}^{c} non è un insieme aperto e quindi A_{6} non è chiuso. ∂A_{6} = {0, 1, 2} Che 0 ed 1 facciano parte della frontiera è abbastanza ovvio. Dimostriamo ora che anche 2 vi fa parte. Ciò segue dal fatto che B_{r}(2)∩A_{6} ≠ ∅ ∀ r > 0 e B_{r}(2)∩A_{6}^{c} ≠ ∅ ∀ r > 0. A′_{6} = {0, 1} e quindi 2 è un punto isolato.

3.1.5 - Settimo del gruppo - A_{7} non è aperto. Infatti per n = 1 si ha x = 0 e B_{r}(0) ∩ A_{7}^{c} ≠ ∅ ∀ r > 0 e quindi 0 non è un punto interno. Identico discorso può farsi per qualsiasi altro punto di A_{7}. Non è neppure chiuso in quanto x = 1 ∈ A_{7}^{c} ma B_{r}(1)∩A_{7} ≠ ∅ ∀ r > 0 e quindi 1 non è un punto interno di A_{7}^{c}, quindi non è aperto e quindi A_{7} non è chiuso. Che B_{r}(1) ∩ A_{7} ≠ ∅ ∀ r > 0 lo si evince prendendo x = 1 − \frac{1}{n} e tale che x > 1 − r. Quest’ultima disequazione si riscrive come 1 − \frac{1}{n} > 1 − r ossia \frac{1}{n} < r ossia n > [\frac{1}{r}]. ∂A_{7} = A_{7} ∪ {1} A′_{7} = {1} e quindi A_{7} è costituito da punti isolati.

3.1.5 - Ottavo del gruppo - A_{8} = A_{7} ∪ {1}. A_{8} non è aperto per le stesse motivazioni di prima. Verifichiamo ora che A_{8}^{c} è aperto e quindi A_{8} è chiuso. Sia x ∈ A_{8}^{c}; si possono presentare tre casi. Il primo caso è quando x < 0. L’intervallo B_{\frac{|x|}{2}} (x) apprtiene interamente ad A_{8}^{c} e quindi qualsiasi punto x < 0 è interno ad A_{8}^{c}. Il secondo caso corrisponde a x > 1 e prendiamo B_{\frac{x−1}{2}} (x) che appartiene ad A_{8}^{c} per cui anche qualsiasi punto x > 1 è interno ad A_{8}^{c}. Il terzo e più complicato caso si ha per 0 < x < 1. Sia x ∈ (0, 1) ∩ A_{8}^{c}; ciò implica che esistono n ed m per cui 1 − \frac{1}{n} < x < 1 − \frac{1}{m} e per ogni altro intero p si ha 1 − \frac{1}{p} < 1 − \frac{1}{n} oppure 1 − \frac{1}{m} < 1 − \frac{1}{p}. Sia d = min\{1 − \frac{1}{m} − x, x − 1 + \frac{1}{n}\} > 0 e prendiamo B_{\frac{d}{2}} (x). È evidente che B_{\frac{d}{2}} (x) ⊂ A_{8}^{c} da cui discende che x è un punto interno. La conclusione è che A_{8}^{c} è aperto e quindi A_{8} è chiuso. ∂A_{8} = ∂A_{7} e A′_{8} = A′_{7}. A_{8}\{1} è costituito da punti isolati.

3.1.5 - Nono del gruppo - Essendo A_{9} intersezione (infinita) di insiemi chiusi (complementari di aperti) essa è chiusa. Inoltre (\frac{1}{n}, 1− \frac{1}{n})^{c} = (−∞, \frac{1}{n}]∪[1− \frac{1}{n} +∞) per cui A_{9} = (−∞, 0]∪[1, +∞) e ciò conferma il fatto che A_{9} è chiuso. ∂A_{9} = {0, 1} A′_{9} = A_{9} (ciò segue anche dal fatto generale che se un insieme è chiuso contiene i suoi punti di accumulazione e viceversa.)

4.1.5* Sia A = {x ∈ R| P (x) > 0} (ossia A è la controimmagine secondo P (x) dell’insieme (0, +∞); vogliamo mostrare che è aperto. Sia dunque x_{o} tale che P (x_{o}) > 0. Dobbiamo mostrare che esiste un intorno U di x_{o} tale che se x ∈ U allora P (x) > 0. Supponiamo che P (x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}. P (x) = P (x_{o}) + P (x) − P (x_{o}) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x_{o}^{k} + ∑_{k=0}^{n} a_{k}(x^{k} − x_{o}^{k}). Dalla definizione di coefficiente binomiale risulta che (si dimostra per induzione) x^{k} −x_{o}^{k} = ∑_{j=0}^{k−1} \binom{k}{j}x_{o}^{j}(x−x_{o})^{k−j} per cui |x^{k} − x_{o}^{k}| ≤ |x − x_{o}| ∑_{j=0}^{k−1} \binom{k}{j}|x_{o}|^{j} ≤ |x − x_{o}|(1 + |x_{o}|)^{k} purché |x − x_{o}| ≤ 1. In tal modo possiamo stimare

\begin{matrix}|P (x) − P (x_{o})| = | ∑_{k=1}^{n} a_{k}(x^{k} − x_{o}^{k})| ≤ ∑_{k=1}^{n} |a_{k}||x − x_{o}|(1 + |x_{o}|)^{k} ≤ \\ ≤ n( max_{1≤k≤n} |a_{k}|)(1 + |x_{o}|)^{n}|x − x_{o}| ≡ |x − x_{o}|R \end{matrix}

Dunque si ha P (x) ≥ P (x_{o}) − |P (x) − P (x_{o})| ≥ P (x_{o}) − |x − x_{o}|R. Ora prendo |x − x_{o}| ≤ min\{\frac{P (x_{o})}{2R}, 1\} per cui P (x) ≥ \frac{1}{2}P (x_{o}) > 0 per definizione di x_{o}. Dunque A è aperto. Si sarà notato come essenziale sia P (x_{o}) ≠ 0.

5.1.5 - Primo del gruppo - Bisogna trovare quell’insieme tale che preso un qualsiasi suo punto p, per ogni intorno del punto stesso, vi sono punti dell’insieme A_{1} diversi da p se p ∈ A_{1}. Sia p ∈ (2, 3) e sia B_{r}(p) con r > 0. B_{r}(p) ∩ (2, 3) ≠ ∅ (ad esempio si può prendere il punto di coordinata p + \frac{d}{2} dove d = min\{p − 2, 3 − p, r\} (anche p − \frac{d}{2} va bene. Se p = 3 allora il punto da prendere è 3 − \frac{d}{2} (3 + \frac{d}{2} non va bene).

5.1.5 - Secondo del gruppo - Seguendo il ragionamento precedente si ottiene il risultato.

6.1.5 - Secondo del gruppo - Bisogna far vedere che \overline{A ∪ B} ⊂ \overline{A} ∪ \overline{B} e che \overline{A ∪ B} ⊃ \overline{A} ∪ \overline{B}. Per quel che riguarda la prima così si procede: A ⊂ \overline{A} e B ⊂ \overline{B} per cui A ∪ B ⊂ \overline{A} ∪ \overline{B}. Da ciò segue che \overline{A ∪ B} ⊂ \overline{\overline{A} ∪ \overline{B}} (infatti se un insieme I è sottoinsieme di J allora le loro chiusure verificano la stessa proprietà). Ma \overline{A} ∪ \overline{B} è un insieme chiuso essendo l’unione di due chiusi e quindi \overline{\overline{A} ∪ \overline{B}} = \overline{A} ∪ \overline{B} il che vuol dire \overline{A ∪ B} ⊂ \overline{A} ∪ \overline{B} che è esattamente quanto andava dimostrato. Ora veniamo all seconda parte della dimostrazione ossia \overline{A ∪ B} ⊃ \overline{A} ∪ \overline{B}. A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B per cui \overline{A} ⊂ \overline{A ∪ B} e \overline{B} ⊂ \overline{A ∪ B} e quindi, per definizione di unione di due insiemi si ha \overline{A ∪ B} ⊃ \overline{A} ∪ \overline{B}.

6.1.5 - Terzo del gruppo - Da A ⊂ \overline{A} (ed analogamente per B) segue che A ∩ B ⊂ \overline{A} ∩ \overline{B} e quindi \overline{A ∩ B} ⊂ \overline{\overline{A} ∩ \overline{B}} = \overline{A} ∩ \overline{B} essendo quest’ultimo un insieme chiuso. È di un qualche interesse dare almeno un esempio in cui è falsa la relazione \overline{A ∩ B} ⊃ \overline{A} ∩ \overline{B}.

6.1.5 - ∩_{i=1}^{∞}[a_{i}, b_{i}] ≠ ∅ Si consideri l’insieme {b_{i}} degli estremi destri di cascun intervallo [a_{i}, b_{i}]. Tale insieme è limitato inferiormente in quanto ciascun insieme contiene il successivo. Se è limitato inferiormente ammette estremo inferiore che chiameremo S. Per le stesse ragioni l’insieme degli estremi sinistri degli intervalli è limitato superiormente e quindi ammette estremo superiore che chiameremo s. È chiaro che s ≤ S. Supponiamo che s < S e consideriamo l’intervallo [s, S]. Per costruzione [s, S] ⊂ [a_{i}, b_{i}] per ogni i e quindi è l’intersezione che cercavamo. Se s = S tale intersezione si riduce ad un punto. Dire però che s = S è equivalente a dire che nella famiglia di intervalli [a_{i}, b_{i}] vi sono quelli di lunghezza piccola a piacere. In altre parole s = S se e solo se ∀ ε ∃ [a_{i_{ε}}, b_{i_{ε}}] tale che b_{i_{ε}} − a_{i_{ε}} < ε. Infatti dalla definizione di estremo superiore ed inferiore segue che ∀ ε ∃ a_{i_{ε}} tale che a_{i_{ε}} > s − ε e b_{j_{ε}} < S + ε da cui b_{j_{ε}} − a_{i_{ε}} < S − s + 2ε = 2ε. Quindi, scegliendo il più grande fra j_{ε} e i_{ε} ed indicatolo con k_{ε}, si ha [a_{k_{ε}}, b_{k_{ε}}] < 2ε da cui la tesi. Viceversa supponiamo di sapere che nella famiglia di intervalli [a_{i}, b_{i}] vi sono quelli di lunghezza piccola a piacere. Sempre dalla definizione di estremo superiore ed inferiore segue che S − s < b_{i} − a_{i} per ogni i e quindi il risultato. Dunque la famiglia di intervalli chiusi in cui vi è la proprietà di inclusione scritta prima si riduce ad un punto se e solo se nella famiglia vi sono gli intervalli di lunghezza piccola a piacere.

Nel caso degli intervalli aperti si può rifare lo stesso discorso fino a stabilire la esistenza di s ed S quali estremi inferiore e superiore di certi insiemi. Ora però non si è autorizzati a ritenere che [s, S] ⊂ (a_{i}, b_{i}) per ogni i in quanto gli intervalli sono aperti. D’altro canto l’intervallo (s, S) è vuoto se s = S e quindi non si può concludere che l’intersezione è non vuota; può esserlo come non esserlo.

A tal proposito ∩_{n=1}^{∞}(−\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) ⊃ ∩_{n=1}^{∞}[−\frac{1}{2n}, \frac{1}{2n}] e l’intersezione della famiglia di insiemi chiusi è {0} in quanto s = S = 0. Facciamo vedere inoltre che qualsiasi punto diverso dallo 0 non può appartenere ad A_{3}. Si procede per assurdo. Sia A_{3} ∋ p ≠ 0. Risulta chiaro che n > |p| ⇒ p ∉ (−\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) e dunque si arriva ad una contraddizione.

∩_{n=1}^{∞}[−\frac{1}{n}, \frac{1}{n}] = \{0\},  ∩_{n=1}^{∞}(0, \frac{1}{n}) = ∅,  ∩_{n=1}^{∞}[0, \frac{1}{n}] = \{0\},  ∩_{n=1}^{∞}[0, \frac{1}{n}) = \{0\},

7.1.5 In tutti i casi si verifica che A ∩ B = ∅ per cui anche la chiusura dell’intersezione è un insieme vuoto. Al contrario \overline{A} = A ∪ \{0\} ed analogamente per B. Dunque si ha \overline{A} ∩ \overline{B} = \{0\}.

9.1.5* Supponiamo A chiuso per cui ∂A ⊂ A. Supponiamo inoltre che ∂A abbia almeno un punto interno. Dunque esiste p ∈ ∂A tale che esiste B(p; r) ⊂ ∂A ⊂ A. Ma per definizione di frontiera B(p; r) ∩ A^{c} ≠ ∅ e questo contrasta con il fatto che B(p; r) ⊂ A. Supponendo A aperto si ha lo stesso risultato.

10.1.5* Sia dato un insieme E chiuso e sia K ≐ E ∩ Q. Chiaramente ∂K = E.

11.1.5 B non è aperto come sottoinsieme di R^{2} in quanto non ha punti interni. Infatti qualunque disco di centro un punto di B avrà al suo interno infiniti punti del piano che non stanno in B. Ciò equivale a dire che B non ha punti interni. \overline{B} è chiuso essendo il complementare aperto; ∂A = {a, b} mentre ∂B = B ∪ {a, b} (la differenza è chiaramente dovuta al fatto che nel primo caso si ha un sottoinsieme di R mentre nel secondo di R^{2}).

12.1.5* Per ogni I_{α} consideriamo tutti gli intervalli aperti contenuti in esso ed i cui estremi sono dati da punti razionali. L’unione di tali intervalli è costituita da una quantità numerabile di elementi essendo numerabile l’insieme dei razionali. Sia ora p ∈ E. Per definizione esiste I_{α} tale che p ∈ I_{α}. Essendo I_{α} aperto si ha dist(p, ∂I_{α}) > 0. Dunque esiste un intervallo i cui estremi sono punti razionali (chiamiamo J^{(p)} tale intervallo) tale che p ∈ J^{(p)} ⊂ I_{α}. Tale costruzione si può ripetere per ogni punto p ∈ E e quindi ogni punto di E ha un suo intervallo della forma J^{(.)} che lo contiene. Ovviamente non per ogni punto cambia l’intervallo (perché ?). La conclusione è che ∪_{α}I_{α} contiene una quantità (che non è in generale costituita dagli elementi J^{(.)}) numerabile di intervalli la cui unione contiene E.

Viceversa si trovi l’errore nella seguente dimostrazione.

Si consideri l’insieme E ∩ Q ≐ Q e per ogni r ∈ Q si consideri un solo elemento della famiglia I tale che I ⊃ r che indichiamo con J^{(r)}. Inoltre ∂J^{(r)} è costituita da due punti ciascuno dei quali è sottoinsieme di un elemento (eventualmente lo stesso) si I e quindi esistono al più due elementi K_{−}^{(r)} e K_{+}^{(r)} tale che ∂J^{(r)} ⊂ K_{−}^{(r)}∪K_{+}^{(r)}. Si vuole dimostrare che I ⊂ ∪_{r∈Q}J^{(r)}∪K_{−}^{(r)}∪K_{+}^{(r)} ≐ Ê. Essendo i razionali un insieme numerabile l’insieme costruito è certamente numerabile. Sia dunque p ∈ I. Se p è razionale allora per costruzione p ∈ J^{(p)} e quindi p ∈ Ê. Se p è irrazionale allora esiste una successione \{\frac{p_{k}}{q_{k}} \} ⊂ I tale che \frac{p_{k}}{q_{k}} → p (perché ?). Così essendo ne consegue

che possono verificarsi due possibilità. La prima è che p ∈ ∪_{k}J^{( \frac{p_{k}}{q_{k}} )}. In tal caso p ∈ Ê essendo

∪_{k}J^{( \frac{p_{k}}{q_{k}} )} ⊂ Ê. La seconda è che p ∈ \overline{∪_{k}J^{( \frac{p_{k}}{q_{k}} )}} = ∪_{k}\overline{J^{( \frac{p_{k}}{q_{k}} )}} ⊂ ∪_{k}J^{( \frac{p_{k}}{q_{k}} )} ∪ K_{−}^{( \frac{p_{k}}{q_{k}} )} ∪ K_{+}^{( \frac{p_{k}}{q_{k}} )} ⊂ Ê.

Vogliamo ora far vedere che il ricoprimento può

13.1.5* Bisogna far vedere che x ∈ A ⇔ ρ(x, A) = 0. Sia x ∈ A; poiché |x − x| = 0 ne consegue che ρ(x, A) = 0. Sia viceversa ρ(x, A) = inf_{y∈A} |x−y| = 0. Dalla definizione di estremo inferiore segue che ∀ ε > 0 ∃ y ∈ A t.c. 0 ≤ ρ(x, y) < ε. Considerando la successione ε(n) = \frac{1}{n} otteniamo la successione y_{n} che verifica le proprietà 1) y_{n} ∈ A 2) lim_{n→+∞} y_{n} = x. Se A è chiuso le proprietà 1) e 2) sono sufficienti a dimostrare che x ∈ A. Se infatti x non appartenesse ad A apparterrebbe ad A^{c} che è aperto e quindi esisterebbe un intorno U ∋ x e U ⊂ A^{c}. Poiché y_{n} ∉ A^{c}, ciò contraddirebbe il fatto che y_{n} → x. Se invece A = A^{o} il precedente argomento non funziona più in quanto A^{c} sarebbe chiuso e dall’appartenenza ad esso di un punto non deriva necessariamente che vi appartiene un intorno del punto stesso.

14.1.5* Sia U = {x ∈ R^{n} | ρ(x, A) < ε} e sia x ∈ U. Dobbiamo far vedere che si può trovare almeno un intorno di x che appartiene ad U. Dimostriamo che esiste un intorno aperto O_{x}(δ) = {x′ |ρ(x, x′) < δ} tale che O_{x}(δ) ⊂ U. Sia infatti δ = ε − ρ(x, A) > 0 e sia x′ ∈ O_{x}(δ). Risulta che ρ(x′, A) ≤ ρ(x, A) + ρ(x, x′) < δ + ρ(x, A) = ε ossia x′ ∈ U (si è usata la disuguaglianza triangolare). Dimostriamo ora che V = {x ∈ R^{n} | ρ(x, A) ≤ ε} è chiuso ossia il complementare V^{c} = {x ∈ R^{n} | ρ(x, A) > ε} è aperto. Sia x ∈ V^{c} e sia δ = ρ(x, A) − ε > 0; Definiamo dunque O_{x}(δ) = \{x′ |ρ(x, x′) < \frac{δ}{2}\}. Dalla disuguaglianza triangolare segue che ρ(x′, A) ≥ ρ(x, A) − ρ(x, x′) > ρ(x, A) − \frac{δ}{2} = ε + \frac{δ}{2} > ε da cui il risultato.

15.1.5* Essendo F chiuso abbiamo F = \overline{F} = F^{o} ∪ ∂F. Se F ≠ ∂F vuol dire che F^{o} ≠ ∅ e quindi U = F^{o} è l’insieme cercato. Se viceversa sappiamo che esiste U aperto tale che U ⊂ F allora U ⊂ F^{o} essendo quest’ultimo per definizione il più grande aperto contenuto in F. Ma allora F^{o} ≠ ∅ e quindi F ≠ ∂F essendo F = F^{o} ∪ ∂F e F^{o} ∩ ∂F = ∅.

16.1.5* Sia d = inf_{x∈F_{1}} inf_{y∈F_{2}} ρ(x, y) la distanza fra F_{1} e F_{2}. Chiaramente si ha d > 0. Si considerino gli insiemi ∪_{x∈F_{1}}{x′ | ρ(x, x′) < q} = U_{1} e ∪_{y∈F_{2}}{y′ | ρ(y, y′) < q} = U_{2}. È chiaro che U_{1} ⊃ F_{1} e U_{2} ⊃ F_{2}. È altresì chiaro che U_{1} e U_{2}, essendo unione di aperti, sono essi stessi aperti. Ora dati due punti qualsiasi x′ ∈ U_{1} e y′ ∈ U_{2}, per costruzione esistono x ∈ F_{1} ed y ∈ F_{2} tale che ρ(x′, y′) ≥ ρ(x′, y) − ρ(y, y′) ≥ ρ(x, y) − ρ(x′, x) − ρ(y, y′) ≥ d − 2q = 0 e per q < \frac{d}{2} la distanza fra U_{1} e U_{2} è positiva quindi i due insiemi non si intersecano. I primi due ≥ derivano dalle proprietà della distanza.

• Rispetto a prima d potrebbe essere uguale a zero (si prenda A = (0, 1) e B = (1, 2)). Certamente, dato un qualsiasi punto a ∈ A possiamo dire che ρ(a, B) > 0 perché altrimenti a sarebbe punto di accumulazione B e questo è vietato dalla relazione A ∩ \overline{B} = ∅. Quindi pren-

diamo U = ⋃_{a∈A} O_{a}(ρ_{B}(a)) dove O_{a}(ρ_{B}(a)) è una sfera di centro a e raggio ρ_{B}(a) =^{def} \frac{1}{2}ρ(a, B).

Analogamente prendiamo V = ⋃_{b∈B} O_{b}(ρ_{A}(b))

17.1.5 Si prenda come \{C_{i}\} l’insieme dei razionali della retta reale. Ebbene ∪_{i}\overline{C}_{i} = ∪_{i}C_{i} mentre \overline{∪_{i}C_{i}} = R.

18.1.5* Si considerino due punti della retta a e b tale che 0 < a < b < 1 e sia δ = b−a > 0. Si consideri un intero n tale che 2^{−n} < δ. È chiaro che all’interno dell’intervallo cadrà almeno un punto del tipo \frac{q}{2^{n}} con q intero (basta muoversi da 0 “compiendo passi di lunghezza 2^{−n}”).

19.1.5** Cominciamo con il caso in cui E è limitato. Per definizione di aperto, per ogni p ∈ E esiste una sfera B_{r}(p) = {x | ρ(x, p) < r} (è un intervallo in R ) tale che B_{r}(p) ⊂ E. Inoltre per ogni p ∈ E si ha ρ(p, ∂E) ≐ ρ_{p} > 0. Infatti se ρ(p, ∂E) = 0, essendo ∂E un insieme chiuso, dall’esercizio 13.1.5* ne consegue che p ∈ ∂E. Ma E è aperto e dunque ∂E ⊄ E. Sia ora B = ∪_{p∈E}B_{\frac{1}{2} ρ_{p}}(p); se p ∈ E allora p ∈ B e viceversa se p ∈ B allora p ∈ E. Dunque B è un ricoprimento di E costituito da insiemi aperti. Dall’esercizio 12.1.5* segue che si può estrarre da B un sottoricoprimento numerabile B̃. Ciascun elemento di B̃ è un aperto, indichiamolo con O_{i}, e prendiamo \overline{O}_{i}. \overline{O}_{i} è un insieme compatto ed inoltre appartiene ad E (dimostrarlo; non discende immediatamente dal fatto che O_{i} ⊂ E in quanto \overline{O}_{i} ⊃ O_{i}). Definiamo l’insieme K_{n} ≐ ∪_{i≤n}\overline{O}_{i}. Gli insiemi K_{n} verificano le proprietà: K_{n} ⊂ E in quanto ciascun elemento \overline{O}_{i} apprtiene ad E. K_{n} è compatto in quanto è unione finita di insiemi compatti K_{n} ⊂ K_{n+1} per costruzione e ∪_{n≥1}K_{n} = E per costruzione.

Supponiamo ora che E non sia limitato. In questo caso ρ_{p} può essere infinito. Tutto però rimane inalterato purché si prenda B = ∪_{p∈E}B_{\frac{1}{2} d}(p) dove d = min\{1, ρ_{p}\}.

Per quanto concerne la seconda domanda si prenda l’insieme ≐ \{x ∈ R^{n} | ρ(x, K) ≥ \frac{1}{i}\}. Tale insieme è chiuso (dimostrare) e quindi il complementare, detto O_{i}, è aperto ed è dato da ≐ \{x ∈ R^{n} | ρ(x, K) < \frac{1}{i}\}. Definiamo O = ∩_{i≥1}O_{i}. Che O_{i} ⊃ K per ogni i deriva dal fatto che si può definire K = {x ∈ R | ρ(x, K) = 0} e quindi.... Ne segue che O ⊃ K. Che O_{i} ⊃ O_{i+1}, deriva dal fatto che O_{i}^{c} ⊂ O_{i+1}^{c} essendo i + 1 > i. Da ultimo mostriamo che K = ∩_{i≥1}O_{i}. K ⊂ ∩_{i≥1}O_{i} poiché se x ∈ K allora ρ(x, K) = 0 e quindi x ∈ O_{i} per ogni O_{i} da cui l’appartenenza di x all’intersezione. Viceversa mostriamo che ∩_{i≥1}O_{i} ⊂ K. Sia infatti x ∈ ∩_{i≥1}O_{i}; ne segue immediatamente che ρ(x, K) = 0 in quanto se così non fosse si cadrebbe in contraddizione col fatto che x ∈ O_{i} per ogni i. Ma se ρ(x, K) = 0, allora l’esercizio 13.1.5* implica che x ∈ K e quindi la tesi.

20.1.5** Supponiamo che un certo insieme K ⊂ R^{n} è compatto e quindi è chiuso e limitato (equivalentemente da ogni sua successione si può estrarre una sottosuccessione convergente in K). Per dimostrare la 1) supponiamo che sia falsa. Esiste dunque una famiglia di aperti {I_{α}} tale che ∪_{α}I_{α} ⊃ K e tale che non si possa estrarre alcuna sottofamiglia finita. L’esercizio 12.1.5* implica che dalla famiglia {I_{α}} è possibile estrarre una sottofamiglia numerabile {I_{k}}_{k∈N} tale che ∪_{k}I_{k} ⊃ K. A partire da {I_{k}} costruiamo la seguente successione di famiglie finite: J_{n} = ∪_{k=1}^{n}I_{k} ed è chiaro che ∪_{n=1}^{∞}J_{n} = ∪_{k=1}^{∞}I_{k} ⊃ K. La negazione della 1) implica che per ogni n esiste un punto z_{n} ∈ K tale che z_{n} ∉ J_{n}. Essendo K compatto lim_{n→+∞} z_{n} = z ma z non può appartenere a nessuna famiglia J_{n}. Supponiamo infatti che z ∈ J_{n_{o}}. Essendo z_{n} convergente, la successione vi apparterrebbe definitivamente da un certo indice n′ in poi ossia z_{n} ∈ J_{n_{o}} per n ≥ n′. Prendendo ora n′′ > max{n_{o}, n′} si arriva alla contraddizione per cui z_{n′′} ∈ J_{n_{o}}. Infatti per costruzione si ha J_{n′′} ⊃ J_{n_{o}} ma z_{n′′} ⊄ J_{n′′}. Del resto z ∈ ∪_{n=1}^{∞}J_{n} e quindi dalla contraddizione se ne esce dicendo che deve esistere una sottofamiglia finita di {I_{α}} che comprende K. Dimostriamo ora il contrario ossia che se è vera la i) allora K è compatto. La prima considerazione da fare è che essendo vera la i), K è limitato. Supponiamo infatti che K non sia limitato. Ci sono dunque punti p_{k} ∈ K tale che p_{k} ∈ A_{k} = {x ∈ R^{n} | k ≤ ∥x∥ ≤ k +1} con k intero (eventualmente per qualche valore di k può non esservi alcun punto in A_{k}). ∪_{k_{0}}^{∞}A_{k} ⊃ K ma ciascuna sottofamiglia composta da un numero finito di elementi, essendo limitata per costruzione, non può ricoprire K che è illimitato contraddicendo così l’ipotesi. Dalla contraddizione se ne esce dicendo che dalla 1) segue subito che K è limitato. Non rimane da dimostrare che K è chiuso e quindi il complementare è apero. Sia K^{c} il complementare di K e sia p ∈ K^{c}. Per ogni punto q di K sia O_{q} ∋ q un aperto e U_{q} ∋ p un aperto tale che O_{q} ∩ U_{q} = ∅. ∪_{q∈K}O_{q} ⊃ K e quindi per ipotesi si può estrarre una sottofamiglia finita che ricopre K. Sia {O_{q_{i}}} tale sottofamiglia e sia {U_{q_{i}}} la corrispondente famiglia di aperti ciascuno dei quali contiene p. (∩_{q_{i}}U_{q_{i}}) ∩ (∪_{q_{i}}O_{q_{i}}) = ∅ e dunque essendo ∩_{q_{i}}U_{q_{i}} aperto si è ottenuto che p è un punto interno a K^{c} ossia K^{c} è aperto. È importante notare come l’insieme (∩_{q_{i}}U_{q_{i}}) sia aperto in quanto è l’intersezione è fatta si di un numero finito di elementi. Se l’intersezione fosse infinita (non numerabile o meno) non si potrebbe concludere che l’insieme che risultante è finito.

Abbiamo dimostrato che la 1) è equivalente alla definizione di compattezza. Ora dimostriamo che 2) è equivalente a 1).

2) ⇒ 1). L’ipotesi è data dalla esistenza di una famiglia di chiusi {A_{α}} tale che A_{α} ⊂ E e se ∩_{i=1}^{N} ≠ ∅ per ogni scelta di {A_{1}} …, A_{N}, allora segue che ∩_{α}A_{α} ≠ ∅. Facendo il complementare delle relazioni precedenti si ha che ∪_{i=1}^{N}A_{i}^{c} ⊅ E ⇒ ∪_{α}A_{α}^{c} ⊅ E (bisogna tenere conto che A_{α} ⊂ E) per ogni scelta {A_{1}} …, A_{N}, . Ma allora, negando le affermazioni precedenti si ha che ∪_{α}A_{α}^{c} ⊃ E ⇒ ∃ {A_{1}} …, A_{N}, t.c. ∪_{i=1}^{N} A_{i}^{c} ⊃ E che è l’affermazione 1).

1) ⇒ 2). In questo caso la ipotesi è che per ogni famiglia {U_{α}} tale che ∪_{α}U_{α} ⊃ E esiste una sottofamiglia finita {U_{1}, …, U_{N}} tale che ∪_{i=1}^{N}U_{i} ⊃ E. Da ciò segue che E\ ∪_{α} U_{α} ⊂ ∅ ⇒ E\ ∪_{i=1}^{N} U_{i} ⊂ ∅ ossia ∩_{α}E\U_{α} = ∅ ⇒ ∩_{i=1}^{N}E\U_{i} = ∅. E\U_{i} è chiuso e sottoinsieme di E. La negazione di: esiste {U_{1}, …, U_{N}} t.c. ∩_{i=1}^{N}E\U_{i} = ∅, implica la negazione di ∩_{α}E\U_{α} = ∅ che è proprio la 2).

21.1.5 Supponiamo che \overline{A} non ha punti interni. Per definizione di punto interno vuol dire che per ogni p ∈ \overline{A}, per ogni U ∋ p U aperto, U ∩ (\overline{A})^{c} ≠ ∅. Ma U ∩ (\overline{A})^{c} è un insieme aperto che chiamiamo V. Ma allora vuol dire che per ogni aperto U, esiste un aperto in U, l’insieme V esattamente, tale che V ⊂ (\overline{A})^{c} e quindi V ∩ \overline{A} = ∅. In altre parole A è non denso in p. Viceversa supponiamo che A è non denso in alcun punto di R^{n}. Se \overline{A} avesse un punto interno q vorrebbe dire che esiste un aperto U ∋ q tale che U ⊂ \overline{A}. Qualunque aperto U′ ⊂ U verifica quindi U′ ⊂ \overline{A} = A^{o} ∪ ∂A. Per definizione di A^{o} , U′ ⊂ A^{o} e quindi U′ ⊂ A contraddicendo l’ipotesi di non densità di A.

22.1.5*** L’insieme di cui vogliamo dimostrare la numerabilità è dato dall’unione dell’insieme dei massimi e dall’insieme dei minimi per cui basta dimostrare che ciascuno dei due insiemi è numerabile. Consideriamo quindi l’insieme dei minimi M e sia y_{o} ∈ M. Per ipotesi esiste δ > 0 tale che x ∈ [x_{o}−δ, x_{o}+δ] ⇒ f(x) ≥ y_{o}. Essendo δ > 0 possiamo trovare un intervallo chiuso [x_{o}− δ′_{y_{o}}, x_{o}+δ_{y_{o}}] con δ′_{y_{o}}, δ_{y_{o}} < δ e x_{o}−δ′_{y_{o}} ∈ Q, x_{o}+δ_{y_{o}} ∈ Q. Dunque l’intervallo [x_{o}−δ′_{y_{o}}, x_{o}+δ_{y_{o}}] ha estremi razionali ed inoltre ∪_{y_{o}∈M}{x_{o}| y_{o} = f(x_{o})} ⊂ ∪_{y_{o}∈M}[x_{o}−δ′_{y_{o}}, x_{o}+δ_{y_{o}}]. Essendo l’insieme dei razionali numerabile, è numerabile l’insieme degli intervalli chiusi che contiene M ossia ∪_{y_{o}∈M}{x_{o}| y_{o} = f(x_{o})} ⊂ ∪_{j=1}^{+∞}[a_{j}, b_{j}] con a_{j} ∈ Q e b_{j} ∈ Q. Consideriamo ora l’applicazione (funzione) che ad y_{o} ∈ M associa [x_{o} − δ′_{y_{o}}, x_{o} + δ_{y_{o}}]. Indichiamo tale applicazione con f; ad un punto di M associa un intervallo. f ha la proprietà che se y_{o} ≠ y_{1} allora [x_{o}−δ′_{y_{o}}, x_{o}+δ_{y_{o}}] ≠ [x_{1}− δ_{y_{1}}, x_{1} +δ_{y_{1}}] e quindi è iniettiva. Essendo iniettiva ∀ [a_{j}, b_{j}] ∃! y ∈ M t.c. [a_{j}, b_{j}] ∋ x ∧ y = f(x) che è come dire la numerabilità di M.

23.1.5 Cominciamo da 1). In generale è vero che A^{o} ∪ B^{o} ⊂ A ∪ B^{o}.

Sia x ∈ A^{o} per cui esiste una sfera aperta U tale che x ∈ U ∧ U ⊂ A. Se U ⊂ A allora U ⊂ (A ∪ B) e quindi x appartiene all’interno di A ∪ B essendo x ∈ (A ∪ B).

L’inclusione A^{o} ∪ B^{o} ⊃ A ∪ B^{o} è in generale falsa. Se però A = A^{o}, e B = B^{o}, allora è vera. Infatti

A^{o} ∪ B^{o} = A ∪ B che è un insieme aperto e quindi è uguale a A ∪ B^{o} 2) ⊂: A^{o} ∩ B^{o} ⊂ A ∩ B^{o}. Sia

x ∈ A^{o}; dunque esiste una sfera aperta U tale che x ∈ U ∧ U ⊂ A così come per B ossia una sfera aperta V tale che x ∈ V ∧ V ⊂ B. Ma allora x ∈ U ∩ V che è aperto ed inoltre

U ∩ V ⊂ A ∩ B da cui la tesi. Vediamo ora A^{o} ∩ B^{o} ⊃ A ∩ B^{o}. Sia x ∈ (A ∩ B) e U sfera aperta

tale che U ⊂ (A ∩ B). Quindi U ⊂ A ∧ U ⊂ B così come x e quindi x ∈ A^{o} ∩ B^{o}.

3) È vero che ∂(A∪B) ⊂ ∂A∪∂B; ⊂ : ∂(A∪B) ≐ (\overline{A ∪ B})\A ∪ B^{o} = \overline{A}\A ∪ B^{o} ∪(\overline{B}\A ∪ B^{o} che è

sottoinsieme di (\overline{A}\(A^{o}∪B^{o} ) )∪(\overline{B}\(A^{o}∪B^{o}) il quale a sua volta è sottoinsieme di (\overline{A}\A^{o})∪(\overline{B}\B^{o}) = ∂A ∪ ∂B. L’altra parte ossia ∂(A ∪ B) ⊃ ∂A ∪ ∂B, è in generale falsa.

4) È vero che ∂(A ∩ B) ⊂ ∂A ∪ ∂B. Non è vero che ∂(A ∩ B) ⊂ ∂A ∩ ∂B (ad esempio si prenda A = [0, 1] e B = R). ∂(A ∩ B) = ∂((A ∩ B)^{c}) = ∂(A^{c} ∪ B^{c}) ⊂ ∂A^{c} ∪ ∂B^{c} = ∂A ∪ ∂B

5) Anche in questo caso è vero che ∂(A\B) ⊂ ∂A ∪ ∂B. Infatti ∂(A\B) = ∂(A\B)^{c} = ∂(B ∪ (A ∪ B)^{c}) = ∂(B ∪ (A^{c} ∩ B^{c})) ⊂ ∂B ∪ ∂(A^{c} ∩ B^{c}) ⊂ ∂B ∪ ∂A ∪ ∂B = ∂A ∪ ∂B

25.1.5* Supponiamo U limitato. Essendo aperto per ogni x ∈ U esiste un intervallo aperto (a, b) ∋ x tale che (a, b) ⊂ U. Sia {b_{α}} l’insieme degli estremi destri di intervalli (a_{α}, b_{α}) ⊂ U tale che x ∈ (a_{α}, b_{α}). Essendo U limitato {b_{α}} è limitato e quindi ammette estremo superiore S. Lo stesso si può dire per l’insieme degli estremi inferiori {a_{α}} che ammettono l’estremo inferiore s. Consideriamo ora l’intervallo (s, S). Esso appartiene interamente all’insieme U. Infatti se esistesse y ∈ (s, S) ma y ∉ U si entrerebbe in contraddizione con il fatto che l’intervallo (a_{y}, b_{y}) ⊂ (s, S) ⊂ U dove a_{y} < y < b_{y}. D’altro canto S ∉ U perché se così fosse allora vi dovrebbe appartenere con tutto un intorno ed allora S non sarebbe l’estremo superiore. Le stesse considerazioni possono svolgersi per l’estremo inferiore. Sia quindi (s_{x}, S_{x}) =^{def}J_{x} l’intervallo componente costruito . Allora si ha x ≠ y ⇒ J_{x} ∩ J_{y} = ∅ ∨ J_{x} = J_{y}. Se infatti J_{x} ∩ J_{y} ≠ ∅ ma J_{x} ≠ J_{y} allora vuol dire, ad esempio, s_{y} è divenuto punto interno di J_{x} e questo è impossibile. Supponiamo ora che l’insieme U non sia limitato superiormente. Allora non è detto che {b_{α}} sia limitato superiormente. Se così è prendiamo S = +∞ e tutto procede esattamente come prima. L’unica cosa che cambia è che in questo caso l’estremo superiore/inferiore appartiene ad U. La numerabilità segue ora dall’esercizio 12.1.5*

26.1.5* Sia (a, b) ⊂ U ma tale che non sia un intervallo componente. Ciò vuol dire che a oppure b (oppure tutti e due) appartengono ad U. Supponiamo che b ∈ U. Ma allora possiamo ripetere il ragionamento dell’esercizio 26.1.5* partendo dal fatto che b ∈ U ed arrivare a quello che prima era S_{x} (in questo caso è S_{a}. Lo stesso può farsi per a ed arrivare eventualmente a s_{a} per cui si trova l’intervallo componente che contiene (a, b).

27.1.5* Sia F chiuso e limitato. Se F è un intervallo il discorso è finito. Supponiamo non sia un intervallo. Sia allora S un intervallo chiuso e limitato tale che F ⊂ S. Allora il complementare di F in S (che verrà indicato con con F_{S}^{c}) è un aperto. Tale aperto può scriversi come unione di intervalli aperti disgiunti i cui estremi stanno in F da cui il risultato. Gli intervalli componenti di F_{S}^{c} sono detti intervalli complementari dell’insieme F.

28.1.5 Sia F un intervallo chiuso e sia {U_{α}} una famiglia di intervalli aperti ciascuno dei quali sottoinsieme di F. Sia {x_{n}} una successione appartenente a F \ ∪_{α} U_{α} che converge ad un punto p. Vogliamo far vedere che p ∈ F \ ∪_{α} U_{α}. Se infatti p ∈ ∪_{α}U_{α}, essendo ∪_{α}U_{α} un insieme aperto, ne seguirebbe che esiste un aperto V ⊂ ∪_{α}U_{α} tale che p ∈ V. Ma allora è impossibile che p ∈ {x_{n}}′ da cui la contraddizione.

29.1.5* Dunque abbiamo un insieme chiuso contenuto in un intervallo [a, b] e tale che F_{S}^{c} (aperto) è scomponibile come F_{S}^{c} = ∪_{k=1}^{∞}(a_{k}, b_{k}) dove (a_{k}, b_{k}) ∩ (a_{j}, b_{j}) = ∅ ∀ k ≠ j e a_{i} ∈ F b_{i} ∈ F ∀ i.

1) Se x = a_{i_{o}} = b_{k_{o}} ∈ F con i_{o} ≠ k_{o}, allora per costruzione è un punto isolato di F

2) È la stessa cosa di 1)

3) Supponiamo che x ∈ F sia isolato ed inoltre a < x < b. Dunque esiste un intervallo (α, β) tale che α < x < β e (α, β)\{x} ⊂ F_{S}^{c}. Dal risultato dell’esercizio 26.1.5* esiste un intervallo componente di F_{S}^{c}, diciamo (ξ, η) tale che (x, β) ⊂ (ξ, η). Chiaramente ξ ≤ x e supponiamo che ξ < x. Ciò è chiaramente impossibile in quanto vorrebbe dire che x ∈ F_{S}^{c}. Dunque deve aversi x = ξ. Ne segue che x è l’estremo sinistro di un intervallo componente. Allo stesso modo si dimostra che è l’estremo destro di un altro intervallo componente. Supponiamo ora che x ∈ F sia isolato e x = a. Quindi esiste l’intervallo (a, β) ⊂ F_{S}^{c} e chiaramente x = a è l’estremo sinistro dell’intervallo componente di F_{S}^{c} che contiene (a, β). Lo stesso avviene per x = b.

30.1.5* Sia dato un insieme P = P′ ossia perfetto. Se è un intervallo la dimostrazione finisce qui. Se non è un intervallo, come prima cosa osserviamo che è chiuso e quindi vale il contenuto dell’esercizio 27.1.5*. Dunque si può scrivere come S =^{def}[a, b]\ ∪_{k=1}^{∞} (a_{k}, b_{k}) dove (a_{k}, b_{k}) ∩ (a_{j}, b_{j}) = ∅ ∀ k ≠ j e a_{i} ∈ P b_{i} ∈ P. L’esercizio 29.1.5* ci dice che se a_{i_{o}} = b_{k_{o}} a_{i_{o}} ≠ a e b_{k_{o}} ≠ b, allora quel punto è isolato per P che però non può averne per definizione. Se ne conclude che i punti di estremo degli intervalli componenti di P_{S}^{c} devono appartenere a P ma essere distinti. Se a_{i} = a vale lo stesso discorso. Dimostriamo ora il viceversa. Supponiamo che un certo insieme P è costruito eliminando da un certo intervallo S =^{def}[a, b] una quantità numerabile di intervalli aperti tutti disgiunti i cui estremi non sono mai uguali fra loro e non sono uguali a nessuno degli estremi a oppure b di S. Poiché abbiamo eliminato una quantità numerabile di aperti da un intervallo chiuso, l’esercizio 28.1.5* ci dice che l’insieme ottenuto, che chiamiamo P, è chiuso e quindi P′ ⊂ P. Facciamo vedere ora che P non può avere punti isolati (da ciò segue che P′ = P). Se avesse punti isolati allora punti sarebbero gli estremi (uno destro e l’altro sinistro) di due intervalli contigui ma questo è impossibile per costruzione. Lo stesso dicasi se tale punto fosse uno degli estremi di S.

31.1.5 1) Verifichiamo gli assiomi di distanza. ρ(x, y) = ρ(y, x), rho(x, y) ≥ 0 è immediato. La disuguaglianza triangolare pure segue immediatamente. Infatti se x = y ≠ z abbiamo ρ(x, y) = 0 < 2 = ρ(x, z) + ρ(z, y). Se x ≠ y = z abbiamo ρ(x, y) = 1 ≤ 1 = ρ(x, z) + ρ(y, z) = 1 + 0. Se x ≠ y, y ≠ z e x ≠ z abbiamo ρ(x, y) = 1 < 2 = ρ(x, z) + ρ(z, x).

2) Per individuare gli insiemi aperti cominciamo dagli intervalli aperti che sono definiti come U_{r}(x_{o}) = {x ∈ R: ρ(x, x_{o}) < r}. Se r < 1 si ha U_{r}(x_{o}) = x_{o}. Se r ≥ 1 allora U_{r}(x_{o}) = R. Ne segue che i punti singoli, in questa particolare topologia, sono insiemi aperti. Dagli assiomi di spazio topologico segue che l’unione (numerabile o no) di punti (aperti) è ancora un insieme aperto. Chiaramente l’insieme vuoto e tutto Rsono aperti.

3) Una successione è {x_{n}} è di Cauchy se ∀ ε ∃ n_{ε}: n, m > n_{ε} ⟹ ρ(x_{n}, x_{m}) < ε}. È chiaro che le uniche successioni di Cauchy sono quelle definitivamente costanti e quindi ne segue che lo spazio è completo in quanto le successioni costanti chiaramente convergono tutte. 4)