Programma del corso Analisi Reale e Complessa
Prof. Lszl Zsid e Antonio Rapagnetta
1. Parte di Analisi Reale: L'integrale di Lebesgue
Richiami sulla topologia di Rn e l'integrale di Riemann
Lo spazio euclideo Rn,
insiemi aperti, chiusi, compatti, connessi, connessi per archi.
Funzioni reali e vettoriali definite su sottoinsiemi di spazi euclidei, massimo e minimo limite, continuit.
L'integrale di Riemann.
Bibliografia:
Vostri appunti e libri di Analisi 1, 2, 3 oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Capitolo 1).
La misura di Lebesgue
La misura esterna di Lebesgue.
Misurabilit secondo Lebesgue, la misurabilit degli insiemi di Borel.
σ-addivit e continuit monotona.
Criteri di misurabilit.
Immagini di insiemi misurabili mediante applicazioni di Lipschitz e trasformazioni lineari.
L'esempio di Vitali per un insieme non misurabile secondo Lebesgue.
Bibliografia:
C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezioni 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6) oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Capitolo 3).
Funzioni misurabili secondo Lebesgue
Definizione, propriet di permanenza, approssimabilit puntuale con funzioni misurabili semplici, funzioni di Borel.
Il grafico ed il sottografico di una funzione misurabile positiva.
L'integrale di una funzione misurabile positiva, il teorema della convergenza monotona, il teorema di Beppo Levi.
Bibliografia:
C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezioni 2.1, 2.2, 2.3) oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Sezioni 4.1, 5.1, 5.2).
L'integrale di Lebesgue
Funzioni integrabili e sommabili di segno qualunque.
Il lemma di Fatou, il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.
Confronto tra integrabilit secondo Riemann ed integrabilit secondo Lebesgue.
Integrali dipendenti da un parametro:
- passaggio al limite sotto il segno di integrale,
- dipendenza continua dal parametro,
- derivazione sotto il segno di integrale.
Bibliografia:
C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezioni 2.2, 2.3, 2.4) oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Sezioni 5.2, 5.3, 5.5).
Integrazione su prodotti cartesiani
La generazione degli insiemi di Borel usando classi monotone.
Insiemi di Borel in prodotti cartesiani.
Il teorema di Fubini ed il teorema di Tonelli.
Bibliografia:
C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezione 3.5) oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Capitolo 6).
Cambiamento di variabile negli integrali
Cambiamento della misura di Lebesgue per trasformazioni lineari:
- la misura dell'immagine di un insieme misurabile tramite un'applicazione lineare invertibile.
Cambiamento della misura di Lebesgue per diffeomorfismi:
- la misura dell'immagine di un insieme misurabile tramite un diffeomorfismo.
Il teorema del cambiamento di variabile negli integrali di Lebesgue.
Bibliografia:
C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezione 3.6) oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Sezione 1.6) e
Donald L. Cohn: Measure Theory (Sezione 6.1).
2. Parte di Analisi Complessa: La derivabilit complessa, cio le funzioni olomorfe
La scrittura complessa delle funzioni di due variabili reali
Numeri complessi, le funzioni exp, sin, cos e logaritmo sui complessi.
Derivate parziali rispetto alla variabile complessa ed il suo coniugato.
Integrali curvilinei complessi.
Forme differenziali chiuse ed esatte, la forma f (z )dz.
La versione complessa del teorema integrale di Green.
Bibliografia:
C. Rea: Analisi reale e complessa (Capitoli 4 e 5) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Sezioni 6.2 - 6.6 e Capitolo 7).
Funzioni olomorfe
Definizione delle funzioni olomorfe, le equazioni di Cauchy-Riemann.
Esempi di funzioni olomorfe, tra quali le serie di potenze.
Funzioni armoniche, armoniche coniugate.
Teorema integrale di Cauchy, primitive di funzioni olomorfe.
Bibliografia:
C. Rea: Analisi reale e complessa (Capitolo 6) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Capitoli 4 e 8).
Formula integrale di Cauchy e le sue prime conseguenze
Formula integrale di Cauchy.
Sviluppo locale delle funzioni olomorfe in serie di potenze.
Disuguaglianze di Cauchy, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'Algebra.
Il principio dell'unicit per funzioni olomorfe.
Teorema di Morera.
Bibliografia:
C. Rea: Analisi reale e complessa (Capitolo 7 e Sezione 8.1) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Sezioni 10.1 - 10.5).
Le teoria locale delle funzioni olomorfe
Molteplicit dei zeri di funzioni olomorfe.
L'inversione delle funzioni olomorfe.
Teorema dell'applicazione aperta.
Principio del massimo, lemma di Schwarz.
Convergenza uniforme sui compatti delle funzioni olomorfe, teorema di Montel.
Bibliografia:
C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezioni 8.2 - 8.4. Teoremi 0.5 e 0.6 nel Capitolo 7) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Sezioni 10.5 - 10.8).
Punti singolari delle funzioni olomorfe
Punti singolari isolati, sviluppo in serie di Laurent, residui, teorema dei residui.
Teorema di prolungamento di Riemann, singolarit eliminabili.
Poli e punti singolari essenziali, formula per il residuo di un polo.
Funzioni meromorfe, principio dell'argomento.
Bibliografia:
C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezioni 9.1 - 9.2, Teorema 8.2.1, Sezione 9.5) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Capitolo 11, Sezioni 12.1 - 12.2 e Teorema 12.4).
Applicazioni dell'analisi complessa al calcolo di alcuni integrali
Integrali di funzioni razionali di coseno e di seno sull'intervallo [ - , ] .
Lemma del piccolo cerchio, lemma del grande cerchio, lemma di Jordan.
Integrali di funzioni razionali sulla retta.
Bibliografia:
C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezione 9.3) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Sezione 12.3).
Mappe olomorfe invertibili
Funzioni olomorfe iniettive, biolomorfismi tra aperti del piano complesso.
Teorema della mappa di Riemann.
Bibliografia:
S. Lang: Complex Analysis (Sezione XIV.3).