Programma del corso Analisi Reale e Complessa

Prof. László Zsidó

1. Parte di Analisi Reale: L'integrale di Lebesgue

Richiami sulla topologia di Rⁿ e l'integrale di Riemann

Lo spazio euclideo Rⁿ,
insiemi aperti, chiusi, compatti, connessi, connessi per archi.
Funzioni reali e vettoriali definite su sottoinsiemi di spazi euclidei, massimo e minimo limite, continuità.
L'integrale di Riemann.

Bibliografia:

Vostri appunti e libri di Analisi 1, 2, 3 oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Capitolo 1).

La misura di Lebesgue

La misura esterna di Lebesgue.
Misurabilità secondo Lebesgue, la misurabilità degli insiemi di Borel.
σ-addività e continuità monotona.
Criteri di misurabilità.
Immagini di insiemi misurabili mediante applicazioni di Lipschitz e trasformazioni lineari.
L'esempio di Vitali per un insieme non misurabile secondo Lebesgue.

Bibliografia:

C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezioni 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6) oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Capitolo 3).

Funzioni misurabili secondo Lebesgue

Definizione, proprietà di permanenza, approssimabilità puntuale con funzioni misurabili semplici, funzioni di Borel.
Il grafico ed il sottografico di una funzione misurabile positiva.
L'integrale di una funzione misurabile positiva, il teorema della convergenza monotona, il teorema di Beppo Levi.

Bibliografia:

C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezioni 2.1, 2.2, 2.3) oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Sezioni 4.1, 5.1, 5.2).

L'integrale di Lebesgue

Funzioni integrabili e sommabili di segno qualunque.
Il lemma di Fatou, il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.
Confronto tra integrabilità secondo Riemann ed integrabilità secondo Lebesgue.
Integrali dipendenti da un parametro:
- passaggio al limite sotto il segno di integrale,
- dipendenza continua dal parametro,
- derivazione sotto il segno di integrale.

Bibliografia:

C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezioni 2.2, 2.3, 2.4) oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Sezioni 5.2, 5.3, 5.5).

Integrazione su prodotti cartesiani

La generazione degli insiemi di Borel usando classi monotone.
Insiemi di Borel in prodotti cartesiani.
Il teorema di Fubini ed il teorema di Tonelli.

Bibliografia:

C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezione 3.5) oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Capitolo 6).

Cambiamento di variabile negli integrali

Cambiamento della misura di Lebesgue per trasformazioni lineari:
- la misura dell'immagine di un insieme misurabile tramite un'applicazione lineare invertibile.
Cambiamento della misura di Lebesgue per diffeomorfismi:
- la misura dell'immagine di un insieme misurabile tramite un diffeomorfismo.
Il teorema del cambiamento di variabile negli integrali di Lebesgue.

Bibliografia:

C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezione 3.6) oppure
Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund: Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Sezione 1.6) e
Donald L. Cohn: Measure Theory (Sezione 6.1).

2. Parte di Analisi Complessa: La derivabilità complessa, cioè le funzioni olomorfe

La scrittura complessa delle funzioni di due variabili reali

Numeri complessi, le funzioni exp, sin, cos e logaritmo sui complessi.
Derivate parziali rispetto alla variabile complessa ed il suo coniugato.
Integrali curvilinei complessi.
Forme differenziali chiuse ed esatte, la forma f (z )dz.
La versione complessa del teorema integrale di Green.

Bibliografia:

C. Rea: Analisi reale e complessa (Capitoli 4 e 5) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Sezioni 6.2 - 6.6 e Capitolo 7).

Funzioni olomorfe

Definizione delle funzioni olomorfe, le equazioni di Cauchy-Riemann.
Esempi di funzioni olomorfe, tra quali le serie di potenze.
Funzioni armoniche, armoniche coniugate.
Teorema integrale di Cauchy, primitive di funzioni olomorfe.

Bibliografia:

C. Rea: Analisi reale e complessa (Capitolo 6) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Capitoli 4 e 8).

Formula integrale di Cauchy e le sue prime conseguenze

Formula integrale di Cauchy.
Sviluppo locale delle funzioni olomorfe in serie di potenze.
Disuguaglianze di Cauchy, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'Algebra.
Il principio dell'unicità per funzioni olomorfe.
Teorema di Morera.

Bibliografia:

C. Rea: Analisi reale e complessa (Capitolo 7 e Sezione 8.1) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Sezioni 10.1 - 10.5).

Le teoria locale delle funzioni olomorfe

Molteplicità dei zeri di funzioni olomorfe.
L'inversione delle funzioni olomorfe.
Teorema dell'applicazione aperta.
Principio del massimo, lemma di Schwarz.
Convergenza uniforme sui compatti delle funzioni olomorfe, teorema di Montel.

Bibliografia:

C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezioni 8.2 - 8.4. Teoremi 0.5 e 0.6 nel Capitolo 7) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Sezioni 10.5 - 10.8).

Punti singolari delle funzioni olomorfe

Punti singolari isolati, sviluppo in serie di Laurent, residui, teorema dei residui.
Teorema di prolungamento di Riemann, singolarità eliminabili.
Poli e punti singolari essenziali, formula per il residuo di un polo.
Funzioni meromorfe, principio dell'argomento.

Bibliografia:

C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezioni 9.1 - 9.2, Teorema 8.2.1, Sezione 9.5) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Capitolo 11, Sezioni 12.1 - 12.2 e Teorema 12.4).

Applicazioni dell'analisi complessa al calcolo di alcuni integrali

Integrali di funzioni razionali di coseno e di seno sull'intervallo [ - π , π ] .
Lemma del piccolo cerchio, lemma del grande cerchio, lemma di Jordan.
Integrali di funzioni razionali sulla retta.
Trasformate di Fourier di funzioni razionali sulla retta.
Il metodo della fessura per integrare sulla semiretta positiva funzioni razionali e prodotto di funzioni razionali con il logaritmo.

Bibliografia:

C. Rea: Analisi reale e complessa (Sezione 9.3, Esercizi 10 e 13 nella Sezione 5.5) oppure
Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis (Sezione 12.3).