Programma dettagliato del corso di Calcolo 1
Prof. L‡szl— Zsid—
Numeri naturali, interi e razionali
Richiami sugli insiemi.
Operazioni algebriche,
ordine – maggiorante, minorante, massimo, minimo, il ben ordinamento dei numeri naturali.
Il principio di induzione, la formula del binomio di Newton.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Capitolo 1, Sezioni 2.1, 2.2) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (I richiami all'inizio del Capitolo 1, Sezioni 1.1, 1.5, 1.6, Appendice 1.B).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezioni 1.3, 1.4, 2.6)
Numeri reali
Operazioni algebriche,
ordine – estremo superiore, estremo inferiore, l'assioma di continuità,
valore assoluto, distanza.
La retta reale ampliata.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezioni 2.3, 2.4, 2.5, 2.8, 2.9, 3.1, 3.2, 3.4) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 4.1).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezioni 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5)
Funzioni
Definizione, il grafico, restrizione, composizione ed inversione, il grafico della funzione inversa.
Funzioni reali limitate, massimi e minimi, estremo superiore ed inferiore di una funzione reale.
Funzioni monotone, funzioni strettamente monotone e le loro inverse.
Funzioni pari e dispari, funzioni periodiche.
Funzioni elementari: polinomi, funzioni razionali, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche, funzioni trigonometriche inverse, funzioni iperboliche.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezioni 4.1, 4.2, 4.4, 4.5) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Capitoli 2 e 3).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezioni 5.1, 5.2, 5.3, 5.4)
Limiti di funzioni
Definizione, limiti da destra e da sinistra, limiti di funzioni monotone.
Il teorema della permanenza del segno, il teorema del confronto (o dei due carabinieri), l'algebra dei limiti.
Alcuni limiti notevoli.
Asintoti verticali, orizzontali e obliqui.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Capitolo 5) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 4.2, 4.3, 4.4, Capitolo 6).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezione 5.5)
Successioni
Definizione, proprietà che valgono definitivamente, limite, convergenza, limitatezza.
Il teorema della permanenza del segno, il teorema del confronto (o dei due carabinieri), l'algebra dei limiti.
Successioni monotone e la loro convergenza: l'algoritmo di Erone per calcolare radici quadrate, il numero e di Nepero.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezioni 4.6, 6.1, 6.2, 6.3) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 5.1, 5.2, 5.5).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezioni 3.1, 3.3)
Serie
Definizione, convergenza, passaggio dalle serie a successioni e viceversa.
Esempi: sviluppo in serie delle potenze del numero di Nepero, serie geometriche, serie armoniche generalizzate.
Serie a termini positivi: il criterio del confronto, il criterio della radice, il criterio del rapporto.
Serie a termini reali arbitrari: convergenza assoluta.
Serie a termini di segno alternato: il criterio di Leibniz.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezioni 6.6, 6.7, 6.8, 6.9, 6.10) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 5.7, 5.8, 5.8.1, 5.8.2, 5.8.3, 5.9).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Capitolo 4)
Continuità
Definizione, continuità da destra e da sinistra, punti di discontinuità, salti, il caso delle funzioni monotone.
Operazioni algebriche con funzioni continue.
Il teorema dei valori intermedi.
Legami tra la monotonia e l'invertibilità delle funzioni continue definite su intervalli, la continuità della funzione inversa.
Continuità delle funzioni elementari.
Il teorema di Weierstrass sull'esistenza di massimi e minimi.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezioni 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezione 5.6)
Continuità uniforme
Definizione, esempi, funzioni continue su intervalli chiusi limitati.
Funzioni lipschitziane.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezione 7.6) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezione 7.6).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezione 5.7)
Derivate
Derivata destra e sinistra, derivata, retta tangente al grafico, punti a tangente verticale.
Regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto, del quoziente, della funzione composta e della funzione inversa.
Le derivate di alcune funzioni elementari: potenza, funzione esponenziale, logaritmo, seno, coseno, tangente, cotangente, ed arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezioni 8.1, 8.2, 8.3) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezioni 6.1, 6.2)
Teoremi del valor medio
I teoremi di Rolle e di Lagrange e la caratterizzazione della monotonia tramite il segno della derivata.
Determinazione di massimi e minimi locali.
Il teorema del valor medio di Cauchy e la regola di de l'Hospital.
Forme indeterminate riconducibili a 0/0 o ∞/∞ .
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezioni 8.4, 8.5, 8.7) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 8.6, 8.7, 8.7.1, 8.7.2).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezioni 6.4, 6.5, 6.6)
La formula di Taylor
Derivate successive.
Funzioni convesse e concave. Studio del grafico di una funzione.
La forma generale Ð con il resto di Peano Ð della formula di Taylor. Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti.
Il resto di Lagrange e sviluppi in serie di Taylor.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezioni 10.1, 10.2, 10.4, 10.7, 10.8, 10.9) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 8.8, 8.9, 8.10, 8.11, 8.12, 8.12.1, 8.13, 8.13.1).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezioni 6.7, 6.8, 6.9, 6.10)
Numeri complessi
Operazioni algebriche, il coniugato ed il modulo, rappresentazione geometrica, la forma trigonometrica.
Potenze e radici di numeri complessi.
La convergenza di successioni e di serie di numeri complessi.
La funzione esponenziale per variabile complessa, la formula di Eulero.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezioni 2.10, 2.11) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 1.3, 1.3.1, 5.6).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezione 2.9)
Integrazione secondo Riemann sulla retta
Definizione e criterio di integrabilità usando somme integrali.
L'integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone.
Proprietà dell'integrale: l'additività rispetto
all'intervallo di integrazione, la linearità, la positività, teoremi della media per integrali.
La dipendenza continua dell'integrale dall'intervallo di integrazione, il teorema fondamentale del calcolo integrale.
La formula fondamentale del calcolo integrale (formula di Newton-Leibniz), l'integrale indefinito.
Integrazione per parti e integrazione per sostituzione.
L'integrazione delle funzioni razionali (tramite la loro decomposizione in fratti semplici).
Integrali riducibili all'integrazione di funzioni razionali:
– integrali di funzioni razionali di ex ,
– integrali di funzioni razionali di seno e coseno di x ,
– integrali di funzioni razionali di x e la radice n-esima di (ax+b)/(cx+d) ,
– integrali di funzioni razionali di x e la radice quadrata di un polinomio di grado 2 .
Applicazioni dell'integrale al calcolo di aree e volumi.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezioni 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, 9.6, 9.7, 9.8, 9.9) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.4.1, 9.5, 9.5.1, 9.5.2, 9.6, 9.6.1, 9.6.2, 9.6.3).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezioni 7.1, 7.2, 7.4, 7.5, 7.7)
Integrali impropri
Integrabilità in senso improprio.
Il criterio del confronto, convergenza assoluta.
Il criterio integrale per la convergenza delle serie a termini positivi decrescenti.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezione 9.11) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 9.7, 9.7.1, 9.7.2, 9.8).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume primo (Sezione 6.9)
Funzioni di più variabili
Insiemi vettoriali aperti, chiusi, limitati, compatti.
Funzioni vettoriali versus funzioni reali; il grafico di una funzione reale di più variabili, insiemi (curve) di livello; funzioni radiali.
Limiti, continuità e uniforme continuità di funzioni di più variabili.
Il teorema di Weierstrass sull'esistenza di massimi e minimi per funzioni di più variabili.
Successioni e serie vettoriali convergenti, serie vettoriali assolutamente convergenti.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezioni 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 4.3, 5.2, 6.1, 7.7) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Capitolo 10).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume secondo (Sezione 4.1)
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
Derivate parziali, derivate direzionali e differenziabilità di funzioni di più variabili.
Il piano tangente al grafico di una funzione di due variabili.
La derivazione delle funzioni composte.
Teoremi del valor medio, il teorema del differenziale totale.
Derivate parziali di ordine superiore, il teorema di Schwarz.
La formula di Taylor – con il resto di Peano ed il resto di Lagrange.
Massimi e minimi locali per funzioni di più variabili.
Il teorema delle funzioni implicite, massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 2 (Capitolo 11, Sezioni 15.6, 15.7) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 11.1, 11.2, 11.3, 11.4, 11.6, 11.7, 13.1, 13.1.2, 13.1.3, 13.2).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume secondo (Sezioni 4.2, 4.3, 6.8)
Successioni e serie di funzioni
Convergenza puntuale e convergenza uniforme di successioni di funzioni.
La convergenza uniforme conserva la continuità.
La convergenza uniforme delle funzioni e delle derivate conserva la derivabilità.
Passaggio al limite uniforme sotto il segno dell'integrale.
Dipendenza continua e derivabile di integrali da un parametro.
Serie di funzioni totalmente ( = assolutamente rispetto alla norma uniforme) convergenti.
Serie di potenze: raggio di convergenza, derivazione termine a termine nell'intervallo di convergenza.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 2 (Sezioni 13.1, 13.2, 13.3, 13.4) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 5.10, 11.2.1).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume secondo (Sezioni 2.1, 2.2)
Curve
Definizione, regolarità, regolarità a tratti; la retta tangente in un punto di regolarità, il versore tangente.
Cambiamento di parametrizzazione: o conserva lo verso, o lo inverte.
La lunghezza di una curva continuamente differenziabile.
Integrali rispetto al parametro arco (integrali curvilinei di prima specie): non dipendono dalla parametrizzazione.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 1 (Sezione 4.3) ed Analsi Matematica 2 (Sezioni 15.1, 15.2) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 12.1, 12.1.1, 12.1.2, 12.2, 12.3).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume secondo (Sezioni 6.1, 6.2, 6.3)
Campi vettoriali e forme differenziali
L'integrale del lavoro di un campo lungo una curva.
La nozione di forma differenziale (di ordine 1), il campo dei componenti.
Integrali di forme differenziali (integrali curvilinei di seconda specie).
Se un cambiamento di parametrizzazione conserva lo verso, allora lascia invariante l'integrale; altrimenti cambia solo il segno.
Forme differenziali esatte e campi vettoriali conservativi; primitive e funzioni potenziali.
Forme differenziali chiuse e campi vettoriali irrotazionali.
Forme differenziali chiuse su aperti stellati sono esatte.
Bibliografia:
Il libro di testo: E. Giusti: Analisi Matematica 2 (Sezioni 16.1, 16.2, 16.3) oppure
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli: Analisi Matematica (Sezioni 12.4, 12.4.1, 12.4.2).
Per esercizi addizionali: E. Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, Volume secondo (Sezioni 7.1, 7.2, 7.3, 7.5)