Programma del corso di Calcolo 2
1. Equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinari
La nozione di equazione differenziale: Equazioni differenziali di ordine n, sistemi di equazioni differenziali del primo ordine, il sistema di n equazioni differenziali del primo ordine equivalente ad una equazione differenziale di ordine n. Il problema di Cauchy.
Alcune classi di equazioni differenziali del primo ordine: Equazioni differenziali a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni differenziali omogenee, equazioni differenziali di tipo Bernoulli, equazioni differenziali di tipo Riccati.
Teoremi di esistenza e unicità per il problema di Cauchy: Funzioni parzialmente di Lipschitz e localmente parzialmente di Lipschitz. Il teorema di unicità. Il teorema di esistenza locale. Criteri di esistenza globale.
Equazioni differenziali lineari e sistemi di equazioni differenziali lineari: Esistenza e unicità per sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine e per equazioni differenziali lineari di ordine n. Il caso omogeneo: lo spazio vettoriale delle soluzioni, soluzione fondamentale, la matrice di Wronski. Il caso non omogeneo: il metodo della variazione delle costanti.
Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti:
Caso omogeneo: il polinomio caratteristico, il calcolo di una soluzione fondamentale. Il caso non omogeneo: il metodo della variazione delle costanti ed il metodo degli annichilatori. Equazioni differenziali lineari riducibili a equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: equazioni differenziali di tipo di Eulero.
Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti: Richiami sulla teoria spettrale delle matrici quadratici: autovalori e autovettori, polinomio caratteristico, sottospazi spettrali, calcolo dell'esponenziale in vettori di uno sottospazio spettrale. Sistemi omogenei di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti: il calcolo di una soluzione fondamentale. Sistemi non omogenei di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti: il metodo della variazione delle costanti.
2. Integrazione secondo Riemann delle funzioni di più variabili reali
Richiami sulla topologia di Rn: Interno, esterno, frontiera, chiusura; insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti; funzioni reali continui su insiemi compatti: esistenza di massimo e minimo, uniforme continuità.
Integrazione secondo Riemann su rettangoli: La definizione dell'integrabilità secondo Riemann per funzioni definite su un rettangolo usando somme integrali. Criterio di integrabilità in termini di maggioranti e minoranti semplici. Proprietà algebriche.
Misurabilità secondo Peano-Jordan ed integrazione su insiemi misurabili in R2: La definizione degli insiemi misurabili secondo Peano-Jordan, caratterizzazione in termini della frontiera. La misurabilità degli insiemi normali rispetto ad una asse. L'integrabilità delle funzioni uniformamente continue su insiemi misurabili, il caso delle funzioni continue sulla chiusura di un insieme misurabile.
Integrazione secondo Riemann in R3:
La riproduzione della discussione precedente per funzioni di tre variabili reali: integrabilità su parallelepipedi rettangolari, insiemi misurabili in R3, insiemi normali, integrabilità su insiemi misurabili.
Il teorema di riduzione: Sezioni di insiemi piani e di insiemi nello spazio tridimensionale. Il teorema sulla riduzione del calcolo di un integrale doppio o triplo all'integrazione di funzioni di meno variabili (ossia il teorema di Fubini per integrali doppi e tripli). Integrazione su insiemi normali. Il calcolo del volume di un solido di rotazione.
Cambiamento di variabili per integrali doppi e tripli: Cambiamento lineare di variabili per integrali doppi e tripli. Il caso generale. Passaggio a coordinate polari, a coordinate cilindriche e a coordinate sferiche.
Integrali impropri ed integrali dipendenti da parametri reali: La convergenza degli integrali di funzioni positive, il criterio del confronto, la convergenza assoluta. Passaggio al limite e derivazione sotto il segno di integrale.
3. Integrazione su curve e superficie, teoremi integrali
Richiami su curve ed integrali curvilinei: La lunghezza delle curve, integrali rispetto al parametro arco (integrali curvilinei di prima specie), l'integrale del lavoro ed integrali di forme differenziali di ordine 1 (integrali curvilinei di seconda specie).
Il teorema integrale di Gauss-Green: il teorema di Gauss-Green per l'integrale del lavoro sulla frontiera di un dominio piano (teorema del rotore), il teorerema di Gauss-Green per il flusso attraverso la frontiera (teorema della divergenza). Alcune applicazioni.
Superfici ed integrali di superficie: La nozione di superficie nello spazio tridimensionale; piano tangente e vettore normale; l'area. Integrali rispetto all'elemento d'area; il flusso di un campo vettoriale atraverso una superficie.
I teoremi integrali di Stokes e di Gauss-Ostrogradski: Rotore e divergenza nello spazio tridimensionale. Il teorema di Stokes per l'integrale del lavoro sulla frontiera di una superficie nello spazio (teorema del rotore). Il teorema di Gauss-Ostrogradski per il flusso attraverso la frontiera di un solido tridimensionale (teorema della divergenza).
4. Elementi di Analisi di Fourier
Serie di Fourier: Funzioni periodiche; polinomi trigonometrici. Il problema dello sviluppo in serie trigonometrica; coefficienti di Fourier, i coefficienti della derivata e del prodotto con la variabile; il lemma di Riemann-Lebesgue, la disuguaglianza di Bessel, il nucleo di Dirichlet.
La convergenza delle serie di Fourier: La convergenza puntuale/uniforme della serie di Fourier di una funzione regolare a tratti. La convergenza uniforme nel senso di Cesàro della serie di Fourier di una funzione continua (teorema di Fejér). La completezza del sistema trigonometrico: la convergenza in media quadratica e l'identità di Parseval.
Trasformate di Fourier: La trasformata di Fourier (per funzioni di una variabile reale) come caso limite della serie di Fourier. La trasformata di Fourier della derivata e del prodotto con la variabile. Continuità ed annullamento all'infinito (lemma di Riemann-Lebesgue).
L'inversione della trasformazione di Fourier: La trasformazione di Fourier nella classe di Schwartz S(R) delle funzioni infinitamente differenziabili a decrescenza rapida. La formula di inversione. L'identità di Plancherel.
5. Una sinossi dell'integrazione secondo Lebesgue (con dimostrazioni schematiche):
Funzioni semicontinue: Massimo limite e minimo limite di una successione e di una funzione (di una o più variabili) in un punto di accumulazione del dominio. Definizione di funzioni inferiormente e superiormente semicontinue. Proprietà di permanenza ed approssimazione con funzioni continue. Il teorema di Dini sulla convergenza uniforme. Funzioni caratteristiche semicontinue.
Integrazione secondo Lebesgue: L'integrale di una funzione semicontinua positiva; definizione dell'integrabilità di una funzione positiva; l'integrabilità di una funzione reale. Insiemi misurabili secondo Lebesgue, insiemi di misura nulla. Proprietà di permanenza algebrica e teoremi di convergenza: il teorema della convergenza monotona (Beppo-Levi) ed il teorema della convergenza dominata (Lebesgue). I spazi L1 e L2 e la loro completezza. Confronto con l'integrazione secondo Riemann.
Il teorema di riduzione: La misura degli insiemi prodotto. Il calcolo della misura di un insieme misurabile in uno spazio prodotto. I teoremi di Fubini e di Tonelli per funzioni su uno spazio prodotto.