Programa sintetico:
Si presentano le conoscenze fondamentali riguardanti spazi di Hilbert ed operatori lineari continui fra questi. L'apice del corso è il teorema spettrale per gli operatori lineari autoaggiunti, che può essere considerato l'estensione a spazi di Hilbert a dimensione infinita della diagonalizzazione delle matrici simmetriche (nel caso reale) o hermitiane (nel caso complesso).
Programma dettagliato:
Il corso presuppone la conoscenza delle nozioni fondamentali di analisi funzionale e della teoria della misura. Gli principali argomenti toccati saranno:
- forme sesquilineari, forme quadratiche, prodotti scalari;
- la geometria dei spazi di Hilbert;
- operatori lineari continui fra spazi vettoriali normati, forme lineari continue su spazi di Hilbert: il teorema di rappresentazione di Riesz, l'operatore lineare continuo fra due spazi di Hilbert, definito da una forma sesquilineare limitata, l'aggiunto di un operatore lineare fra spazi di Hilbert;
- proiettori ortogonali, operatori normali, operatori autoaggiunti, operatori positivi;
- serie di potenze in spazi di Banach, l'analiticità per funzioni con valori in spazi di Banach;
- algebre di Banach con unità, connessione fondamentale fra l'inversione e convergenza: serie geometriche, spettro, raggio spettrale;
- algebre C*, relazione tra spettro e norma;
- la teorie di Gelfand delle algebre di Banach commutative, il caso delle algebre C*;
- il rango numerico di un operatore lineare limitato su uno spazio di Hilbert, relazioni col spettro;
- la radice quadrata positiva di un operatore lineare limitato positivo, parte positiva e negativa di un operatore lineare limitato autoaggiunto;
- proiettori spettrali per un operatore lineare limitato autoaggiunto, il teorema spettrale per un tale operatore;
- operator compatti in spazi di Hilbert.
Testi consigliati:
J.B.Conway: A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag.
Saranno disponibili anche appunti sugli argomenti del corso.
In presenza di studenti stranieri l'insegnamento sarà erogato in lingua inglese.
Succinct program:
There will be considered basic facts concerning Hilbert spaces and continuous linear operators on them. The top of the course will be the spectral theorem for self-adjoint linear operators, which can be viewed as the extension to infinite-dimensional Hilbert spaces of the diagonalization theorem for symmetric (in the real case) and hermitian (in the complex case) matrices.
Detailed Program:
Preliminaries for the course are the basic notions of Functional Analysis and Measure Theory. The main treated topics are:
- sesquilinear and quadratic forms, inner products;
- the geometry of the Hilbert spaces;
- continuous linear operators between normed linear spaces, continuous linear forms on Hilbert spaces: the Riesz representation theorem, continuous linear operators between Hilbert spaces defined by bounded sesquilinear forms, the adjoint of a linear operator between Hilbert spaces;
- orthogonal projections, normal operators, self-adjoint operators, positive operators;
- power series in Banach spaces, l'analiticity of Banach space valued functions;
- unital Banach algebras, link between inversion and convergence: geometric series, spectrum, spectral radius;
- C*-algebras, connection between spectrum and norm;
- the numerical range of a continuous linear operator on a Hilbert space, connections with the spectrum;
- the positive square root of a positive continuous linear operator, the positive and the negative part of a self-adjoint continuous linear operator;
- spectral projections of a self-adjoint continuous linear operator, the spectral theorem for such operators;
- compact operators on Hilbert spaces.
Recommended books:
J.B.Conway: A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag.
There will be available also notes on the topics of the course.