Per gli studenti di STM:
Svolgere bene e completare l'esercizio della lezione del 15 Maggio 2024, cioe'
sostituire, nel seguito, tutti gli asterischi con i giusti valori numerici (leggere con attenzione
tutto cio' che segue, comprese le note finali).
Cercate di fare questa cosa appena potete, vorrei che entro Domenica uno di voi, in rappresentanza degli altri,
mi mandi un file che contiene tutto cio' che segue, ma con gli asterischi sostituiti con valori numerici.
Questo file poi lo aggiungerei agli altri, sul mio sito.

Siano

M =
1   1  -1
1  -1   0
1   3  -4 ,

b = 
1
0
0

(nota: questo e' il vettore b dell'esercizio dell'ultima lezione),

A = M_{3x2} =
1   1
1  -1
1   3

(nota: questa e' la matrice A dell'esercizio dell'ultima lezione)

Si pone

E_1 = I - alpha utilde utilde^T
dove
alpha = *
utilde = 
*
*
*

Si calcolano

E_1 M =
*  *  *
0  *  *
0  *  * ,

E_1 b =
*
*
*

Si pone

E_2 = 
1       0       0
0  
0  I - alpha utilde utilde^T
dove
alpha = *
utilde = 
*
*

Si calcolano

E_2 E_1 M =
*  *  *
0  *  *
0  0  *  ,

E_2 E_1 b = 
*
*
*

Ora, risolvendo il sistema lineare con matrice dei coefficienti la seguente matrice triangolare superiore
(E_2 E_1 A)_{11}  (E_2 E_1 A)_{12}
(E_2 E_1 A)_{22}  (E_2 E_1 A)_{22}
e vettore dei termini noti il seguente vettore
(E_2 E_1 b)_1
(E_2 E_1 b)_2
(tramite il metodo di sostituzione all'indietro), si ottiene il vettore
x_ottim =
*
*
che ha la seguente proprieta'
||(E_2 E_1 b)_3|| = 
|| b - A x_ottim ||_2 = min_{x in R^2} || b - A x ||_2

Risolvendo invece il sistema lineare con matrice dei coefficienti la seguente matrice triangolare superiore
E_2 E_1 M
e vettore dei termini noti il seguente vettore
E_2 E_1 b
(tramite il metodo di sostituzione all'indietro), si ottiene la soluzione del 
sistema lineare Mx=b, cioe' il vettore
M^{-1} b =
1
1
1  

Nota: Le matrici dei coefficienti di questi due sistemi lineari triangolari hanno elementi dello stesso 
ordine di grandezza degli elementi della matrice di partenza M = [A |..], infatti 
||E_2 E_1 M e_i||_2 = ||M e_i||_2 , i=1,2,3.
Questo non e' vero in generale se le matrici E_i usate per triangolarizzare M non fossero unitarie. 
Per esempio, e' semplice osservare che se si usano le E_i di Gauss per triangolarizzare 
la seguente matrice n x n 
M =
 1  0  ...  0 1
-1  1  0..  0 1
-1 -1  1 0..0 1
...............
-1 ....-1 1 0 1
-1 ......-1 1 1
-1  ...... -1 1 ,
allora 
max_{i,j} |(E_{n-1}..E_2 E_1 M)_{ij}| = 2^{n-1} 
(e in questo caso Gauss = Gauss-pivot, cioe' non e' migliorabile con la tecica del pivot!).