a)
Sia A nxn, con det(A) diverso da zero, e b nx1.

1) Dimostrare che il sistema lineare Ax=b ha la stessa soluzione x 
del sistema lineare A^H A x = A^H b, e dimostrare che la matrice A^H A e' definita positiva.
Dunque, avendo un algoritmo che risolve sistemi lineari definiti positivi, con questo si puo'
risolvere ogni sistema lineare.

2) Perche', pero', non conviene calcolare x tale che Ax=b calcolando x
tale che A^HA x = A^H b ?
Suggerimento: studiare come x, soluzione di 1 e 2, dipende da possibili perturbazioni
sui dati, cioe' perturbazioni, rispettivamente, su {A, b}, e su {A^H A, A^H b}

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b)
Siano x_i, i=1,...,k (con k <= n), k vettori in C^n ortogonali, cioe' tali che 
x_i^H x_j = delta_{i,j} , i,j=1,...,k (ricorda: delta_{i,j} = 1 se i=j e zero se i e' diverso da j). 
Dimostrare che i vettori x_i sono linearmente indipendenti. 

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c)
Dati x,y in C^n, Calcolare || x y^H || per le norme infinito, 1, 2 e Frobenius.

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d)

1) Calcolare la soluzione esatta u(x) del problema differenziale:

- u"(x) = f(x),  x in (0,1)
u(0) = 0, u(1) = 0                    (pd)

per f(x) = cos(pigreco x) , pigreco=3.14...

2) Calcolare le approssimazioni utilde(x_i), i=1,2,3, fornite dal metodo delle differenze finite
applicato a (pd), dei valori nei punti x_i = i/4, i=1,2,3, della funzione u definita in 1) .

3) Sia f(x) = 2 x e^{-x^2}. Osservare che, per questa scelta di f, la soluzione 
esatta u(x) del problema (pd) non puo' essere calcolata esplicitamente (pur esistendo
unica). 

4) Scrivere il sistema lineare di n equazioni in n incognite
(ottenuto con il metodo delle differenze finite) che occorrerebbe risolvere 
per determinare utilde(x_i), i=1,...,n, approssimazioni di u(x_i), i=1,...,n.

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e)

1) E' noto che si puo' determinare il polinomio sum_{i=0}^{n-1} (alpha_hat)_i x^i
che meglio approssima f(x) in [0,1] nel senso dei minimi quadrati 
risolvendo il sistema lineare

(matrice di Hilbert nxn) alpha_hat = b

dove b_i = Integrale di (f(x) x^i) dx , i=0,1,...,n-1.
Trovare b_0, b_1, b_2 e poi b_i , i=3,...,n-1, quando f(x) = 1/(1+x^2).

2) Trovare la retta e la parabola che meglio approssimano f(x) = 1/(1+x^2) in [0,1]
nel senso dei minimi quadrati, esprimendole sia rispetto alla base standard dei polinomi {1, x, x^2, ...},
sia rispetto alla base ortogonale {1, rad(2)(x-1/2), 6 rad(5) (x^2 - x + 1/6), ...}

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f)
  
1) Usando anche il primo teorema di Gershgorin, localizzare il meglio possibile gli autovalori della matrice
di Hilbert 4x4.

2.1) Scrivere la matrice dei coefficienti A del sistema lineare che occorre risolvere per determinare 
approssimazioni dei valori della soluzione esatta u(x) del problema differenziale

- u"(x) + beta(x)u'(x) = f(x), x in (0,1)
u(0) = alpha, u(1) = beta                    (nota: e' il problema visto a lezione, ma con gamma(x)=0)

nei punti x_i = i h ( h=1/(n+1) ), i=1,...,n. 

2.2) Nell'ipotesi  (h/2)*[max_{x in [0,1]} |beta(x)|] < 1 ( ovvero, n > [max_{x in [0,1]} |beta(x)|]/2 - 1 ), 
disegnare i cerchi di Gershgorin di A. Osservare che A non ha diagonale strettamente dominante, 
cioe', anche se nessun cerchio di Gershgorin contiene 0 nella sua parte interna,
ci sono cerchi di Gershgorin che hanno 0 sulla propria frontiera.
Quindi, non si puo' usare il primo Teorema di Gershgorin per stabilire
che A e' invertibile.