II semestre - A.A. 2022-2023
Docente: Prof. Flaminio
Flamini e-mail: flamini@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Co-docente: Prof. Antonio Rapagnetta e-mail: rapagnet@[ANTISPAM]mat.uniroma2.it
Legenda
Bibliografia
* [G1] Geometria I, Bollati Boringhieri (E. Sernesi) – è lo stesso testo di riferimento
nel corso Geometria 1 a.a. 2022/2023
* [DISP] Dispense on-line scaricabili gratuitamente
° [DISP_A] Isometrie notevoli di IE^2 ed IE^3 (note Prof.
Flamini)
° [DISP_B] Complessificazione di spazi vettoriali e spazi affini reali (note Proff. Ciliberto-Galati-Tovena)
° [DISP_C] Spazi vettoriali quozienti e duali (capp. 11 e 12 da “Algebra Lineare” Prof. C.
Ciliberto)
° [DISP_E] Cenni a Quadriche proiettive (note Prof. Flamini)
Orari
ed Argomenti Lezioni ed Esercitazioni:
(vedere specifiche nella tabella
sottostante)
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SEMESTRE |
SETTIMANA |
LEZIONE |
ARGOMENTI |
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I |
Settimana 1 |
(2 ore)-07/03/2023 |
Presentazione del corso, del materiale didattico e dei
metodi di valutazione (Esoneri, Appelli) Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 *
Forme bilineari su un campo IK con char(IK) diversa da 2 * Bil(V)
= insieme delle forme bilineari su V * Sym(V)
sottoinsieme di Bil(V) delle forme bilineari simmetriche su V * Alt(V)
sottoinsieme di Bil(V) delle forme bilineari antisimmetriche (o
alterne) su V * Esempi
15.2: (1) forma
bilineare nulla, (2)
forma simmetrica standard su IK^n (3)
forma alterna standard su IK^n, quando n è pari * Ogni
forma bilineare b induce due applicazioni lineari in Hom(V, IK); precisamente
b(v,-): Và IK e b(-,w):Và IK, dette funzionali lineari *
Matrice rappresentativa di una forma bilineare b in una fissata base E
di V * Proposizione
15.4: (i) Bil(V) è uno spazio vettoriale di dimensione n^2 perché,
fissata una qualsiasi base E di V, Bil(V) è isomorfo allo
spazio vettoriale M(nxn;IK) delle matrici quadrate
di ordine n. (ii)
Nell’identificazione di Bil(V) con M(nxn;IK),
i sottoinsiemi Sym(V) e Alt(V) sono sottospazi vettoriali di
Bil(V) isomorfi, rispettivamente, ai sottospazi delle matrici simmetriche
Sym(nxn,IK) e delle matrici antisimmetriche Alt(nxn;IK). (iii)
Calcolo delle dimensioni dei sottospazi Sym(V) ed Alt(V) |
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(2 ore)-08/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 *
Proposizione 15.5: Matrici rappresentative, in basi diverse di V, di
forme bilineari sono matrici congruenti. *
La congruenza è una relazione di equivalenza tra le matrici quadrate
di ordine n *
Rango di una forma bilineare: è una buona definizione. *
Forme bilineari non-degeneri; forme bilineari degeneri *
Proposizione 15.6: caratterizzazione di forme bilineari b non-degeneri
che utilizza le applicazioni lineari Và V* indotte dai due funzionali lineari b(v,-): Và IK e b(-,w):Và IK |
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(2 ore)-09/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 FORME BILINEARI SIMMETRICHE *
Vettori b-ortogonali rispetto ad una forma bilineare simmetrica b *
S^{perp} = sottospazio b-ortogonale ad un
sottoinsieme S di V *
Se S = {v} allora si scrive v^perp. *
Esempi di calcolo di S^{perp} con varie forme
bilineari simmetriche b *
Sottospazio b-ortogonale ad un sottospazio U dato. *
Sottospazi b- ortogonali *
Radicale di una forma bilineare simmetrica b su V. *
Il radicale di b è banale se e solo se b è non-degenere *Il
radicale di b si identifica a Ker(b(v,-)), dove b(v,-): V à V^* l’omomorfismo tra V ed il suo duale, indotto da
b. Stesso discorso per b(-,v):V àV^*. *
Vettori b-isotropi in V *
Se v è un vettore nel radicale di b allora v è un
vettore b-isotropo di V, ma non è vero il viceversa. *
Esempi di forme bilineari simmetriche non-degeneri (quindi con radicale
banale) che hanno vettori isotropi non nulli *
Coefficiente di Fourier di un vettore w rispetto ad un vettore
v non b-isotropo *
Esempi vari *
15.10 Complementi (6) (dimostrazione del Prof. F. Flamini alternativa al libro, che
invece usa questioni di dualità più avanzate) (i)
Se b è una forma bilineare simmetrica non-degenere su V di dimensione
n ed U è un sottospazio proprio di V di dimensione s <n
, allora dim(U^perp)
= n-s. (ii)
Se inoltre U non contiene vettori isotropi non-nulli, allora U e U^perp sono in particolare in somma diretta e quindi V è
somma diretta di U ed U^{perp} *
15.10 Complementi (7): Cono b-isotropo, sottospazi b-isotropi,
forma bilineare simmetrica anisotropa. *Esempi:
(i)
La forma bilineare simmetrica standard su IR^n è
anisotropa (ii)
La forma bilineare simmetrica standard su C^2
ha cono isotropo non banale. |
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(2 ore)- 10/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 15 *
Se A è la matrice rappresentativa di una forma bilineare simmetrica b in una
data base E di V, allora il radicale di b è dato dal sottospazio Ker(A). *
Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica b.
Esempi *
Forma bilineare simmetrica polare associata ad una forma
quadratica Q:V à IK *
Forme bilineari simmetriche o forme quadratiche su V sono concetti
equivalenti. *
L’insieme Q(V) delle forme quadratiche su V eredita la struttura di
spazio vettoriale di Sym(V). *
Due matrici simmetriche A e B rappresentano, in basi E ed F
diverse, la stessa forma quadratica q su V se e solo se A e B sono matrici
congruenti per mezzo di una
matrice M che è la matrice cambiamento di base tra le due basi E
ed F date. *
Rango di una forma quadratica: è una buona definizione *
Polinomi omogenei Q(X_1, X_2, …., X_n) di secondo grado nello spazio vettoriale IK[X_1,
X_2, ……, X_n]_{<= 2} che rappresentano forme
quadratiche q su uno spazio vettoriale V di dimensione n in una data base E
di V *
Matrice simmetrica associata ad un polinomio omogeneo Q(X_1,
X_2, …., X_n) di secondo grado in IK[X_1, X_2, ……, X_n]_{<= 2} *
Basi b-ortogonali, equiv. diagonalizzanti,
una forma bilineare simmetrica b. *
Basi diagonalizzanti per forme quadratiche sono le
basi b-ortogonali o diagonalizzanti per la forma
bilineare simmetrica polare b associata a q *
Restrizione di una forma bilineare b (o di una forma quadratica q) su V ad un
sottospazio W rimane una forma bilineare b|_W (o
quadratica q|_W) su W *
15.10 Complementi (3) (i)
(U,h) con dim(U) = 2 e h forma iperbolica è un piano
iperbolico; (ii)
basi iperboliche per (U,h),
(iii)
costruzioni di basi iperboliche per mezzo dell’esistenza di un vettore
h-isotropo non banale *
15.10 Complementi (4) se uno spazio vettoriale V di dimensione n è
munito di una forma quadratica q non-degenere che ammette un vettore
q-isotropo non banale, allora V contiene sempre un piano iperbolico (U, q|_U) *
15.10 Complementi (6) Rappresentabilità di scalari nel campo IK
mediante forme quadratiche q su V *
Se IK= C e q è forma quadratica non degenere, allora ogni numero
complesso è rappresentabile mediante q *
Se IK=IR, dipende dalla forma q quali scalari di IR si possono rappresentare *
Se (V, q) contiene un piano iperbolico (U, q|_U),
allora ogni scalare in IK è rappresentabile mediante q. |
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I |
Settimana 2 |
(2 ore)- 14/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 16 *
Diagonalizzazione di forme quadratiche q, equiv. di forme bilineari simmetriche b, su un IK-spazio vettoriale V *
Teorema 16.1: Teorema di esistenza di basi b-diagonalizzanti
una forma bilineare simmetrica b (equiv. una forma
quadratica q) su un qualsiasi campo IK, con char(IK) diversa da 2. *
Versione matriciale del Teorema 16.1: ogni matrice simmetrica nxn su un campo IK, con char(IK) diversa da 2, è
congruente ad una matrice diagonale. *
Algoritmo di Lagrange per la determinazione esplicita della
base diagonalizzante la forma bilineare simmetrica
b (equiv. la forma quadratica q) del Teorema 16.1 (dimostrazione del Prof. F. Flamini
alternativa a quella del libro) *
Teorema 16.2: Caso IK algebricamente chiuso (e.g. IK= C).
Forme normali di forme bilineari simmetriche b (equiv. forme quadratiche q) su campo IK algebricamente
chiuso. *
Le forme normali dipendono solo dal rango di b (equivalentemente di q). *
Determinazione della base diagonalizzante che
riduce una data forma bilineare simmetrica b (equiv.
la forma quadratica q) alla sua forma normale su IK algebricamente chiuso
(e.g. IK=C) |
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(2 ore)- 15/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 16 *
Teorema 16.3 (Teorema di Sylvester) Caso IK=IR. Forme
canoniche di Sylvester di forme bilineari simmetriche b (equiv. forme quadratiche q) reali. *
Determinazione della base di Sylvester che riduce la forma bilineare
simmetrica b (equiv. la forma quadratica q) reale
alla sua forma canonica di Sylvester *
A differenza delle forme normali su IK algebricamente chiuso, le forme
canoniche di Sylvester reali non sono individuate solamente dal rango di b (equiv. di q) *
Segnatura di una forma quadratica reale q *
Forme quadratiche reali: (i) (semi)definite negative,
(ii) (semi)definite positive, (iii) indefinite * Esempi: (i) forma
quadratica standard su IR^n (ii) forma quadratica di
Minkowski su IR^4: vettori di tipo spazio, di tipo tempo
e di tipo luce [G1] Capitolo 2, paragrafo 17 * Prodotti scalari
su uno spazio vettoriale reale * Spazi vettoriali (reali)
euclidei (V, < , >) * Complementi 17.8 (2)
Esempio di spazio vettoriale euclideo non finitamente generato: V=IR[x] con < , > = integrale definito in [0,1] * Diseguaglianza di
Schwarz in uno spazio vettoriale euclideo * ||v|| = Norma
o lunghezza di un vettore * Diseguaglianza
triangolare * Versori. Versorizzazione di vettori * Insiemi (finiti) di
vettori ortogonali (rispettivamente, ortonormali) * Proposizione 17.2:
Un insieme di vettori ortogonali in (V, < , >) è automaticamente un
sistema linearmente indipendente. * Basi ortogonali
di uno spazio vettoriale euclideo (V, < , >) * Basi
ortonormali di uno spazio vettoriale euclideo (V, < , >) |
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(2 ore)- 16/03/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta
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(2 ore)- 17/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 17 * Prodotto scalare di
vettori espressi in coordinate rispetto ad una base ortonormale: è la somma
dei prodotti delle coordinate omologhe. * Gruppo ortogonale
O(n,IR) e sottogruppo
speciale ortogonale SO(n,IR); sono sottogruppi
di GL(n,IR)
([G1]
pp. 175-176) * Proposizione 17.3:
Sia (V, < , >) euclideo e sia E una
base ortonormale. Una ulteriore base F di V è ortonormale se e solo se
la matrice cambiamento di base M:= M_{E,F} è
una matrice ortogonale, i.e. M è un elemento di O(n,IR) * Proiezione
ortogonale di un vettore w lungo la direzione di un vettore v * Teorema 17.4 (ortogonalizzazione di Gram-Schmidt) (dimostrazione solo per insiemi ortogonali,
i.e. per insiemi costituiti da un numero finito di vettori) * Proposizione 17.6:
se W è un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale euclideo (V,< , >), allora V si decompone in somma diretta con
W e W^{perp}. La decomposizione in somma diretta si
chiama decomposizione di V in somma diretta ortogonale * W^{perp}
= il complemento ortogonale al sottospazio W |
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I |
Settimana 3 |
(2 ore)- 21/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 17 * Proiezione
ortogonale di un vettore v su un sottospazio W * Identità pitagorica tra
vettori * Angolo convesso
tra due vettori non nulli * Orientazioni
di uno spazio vettoriale reale V ([G1] p. 151) * Angolo
orientato tra due vettori non nulli. * Determinazione
principale di un angolo orientato. * L’intervallo [0,
2pigreco) dell’asse reale si identifica all’insieme di rappresentanti di
tutte le determinazioni principali * Basi ortonormali di IR^2
positivamente orientate sono in corrispondenza biunivoca
con il gruppo delle rotazioni di angolo t, con t determinazione
principale in [0, 2 pigreco) * Complementi 17.8 (1)
Il campo complesso C e le rotazioni di angolo t. Rappresentazione polare
(o trigonometrica) di un numero complesso: modulo
ed argomento (od anomalia) di un
numero complesso |
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(2 ore)- 22/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 18 *
L’operazione di prodotto vettoriale in uno spazio
vettoriale euclideo di dimensione tre *
Proprietà del prodotto vettoriale (Teorema 18.2 e Corollario 18.3) * Dipendenza
solo dall’orientazione della base ortonormale * Significato
geometrico della norma del prodotto vettoriale: area del
parallelogramma (Proposizione 18.4) * Prodotto
misto di tre vettori * Significato
geometrico del prodotto misto: il modulo del prodotto misto di
tre vettori indipendenti v, w e u è il volume del
parallelepipedo che ha come spigoli i tre vettori dati. |
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(2 ore)- 23/03/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 24/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 19 *
Spazio euclideo (reali) n-dimensionali IE * IE^n(IR) = n-spazio euclideo numerico standard * Riferimenti
cartesiani (o sistema di coordinate cartesiane) in uno spazio
euclideo n-dimensionale IE * Distanza
tra due punti in uno spazio euclideo n-dimensionale * Angolo
convesso fra due rette (affini) orientate in IE. *
Rette (affini) ortogonali in IE Piano
euclideo IE^2(IR) *
Vettori e versori normali ad una retta affine r di equazione cartesiana Ax + By + C = 0 *
Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta passante per un
punto P e perpendicolare ad una retta r data *
Angolo convesso tra due rette affini e condizione di perpendicolarità tra due
rette in IE^2(IR). *
Proiezione ortogonale di un punto P su una retta affine r *
Distanza punto-retta d(P, r) *
Distanza tra due rette parallele in IE^2(IR) Complementi
19.4 (3): coordinate
polari in un piano euclideo orientato e formule di passaggio da
coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa |
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I |
Settimana 4 |
(2 ore)- 28/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 19 Spazio
euclideo IE^3(IR) *
Vettori e versori normali ad un piano affine in IE^3(IR) * Angolo
convesso fra due piani (affini). Piani (affini) ortogonali. *
Condizione di perpendicolarità tra due piani affini *
Angolo convesso tra una retta affine ed un piano affine. Condizione di
perpendicolarità tra una retta ed un piano affini *
Proiezione ortogonale di un punto su un piano affine. *
Distanza punto-piano *
Distanza tra una retta affine ed un piano affine paralleli *
Distanza punto-retta *
Distanza tra due rette parallele (strategia geometrica differente dal
testo) *
Distanza tra due rette sghembe (strategia geometrica differente dal
testo) * Complementi
19.4 (1) (Iper)sfere ed (iper)dischi
di centro un punto C e raggio un intero r>0 in IE^n(IR). *
Per n=2,
circonferenze e cerchi, per n=3 sfere e palle. |
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(2 ore)- 29/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 20, p.
243-250 *
Operatori unitari su uno spazio vettoriale euclideo (V, < , > ) reale *
Teorema 20.1: caratterizzazioni equivalenti di operatori unitari *
Corollario 20.2: T è unitario se e solo se la matrice di T rispetto ad
una qualsiasi base ortonormale E di V è una matrice ortogonale *
Gruppo ortogonale O(V). *
SO(V) = gruppo speciale ortogonale = rotazioni di V *
Proposizione 20.3: se un operatore unitario ammette autovalori
(reali), allora essi sono esclusivamente +1 e – 1 [G1] Richiami da Geometria 1 -
Capitolo 1, paragrafo 14, p. 177-186 *
Affinità di uno spazio affine in sé e gruppo affine Aff(A). *
Aff_n(IK) = gruppo affine dello spazio affine
numerico A^n(IK): f(x) = Ax + c *
Figure geometriche affinemente equivalenti e proprietà
affini di una figura geometrica. *
Definizione di Geometria Affine [G1] Capitolo 1, paragrafo 14, p.
156-157 *
Formule di cambiamento di coordinate affini
tra due riferimenti affini RA(O, E) ed RA(O’,
F) su un campo IK *
Riferimenti affini reali orientati concordemente
(rispettivamente orientati discordemente) |
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(2 ore)- 30/03/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)- 31/03/2023 |
Lezione Prof.
Flamini LEZIONE ONLINE SU
TEAMS [G1] Capitolo 2, paragrafo 20, p.
243-250 *
Definizione 20.6: Isometria
di uno spazio euclideo IE. *
Isom(IE)
= Gruppo delle isometrie di IE *
Isometrie dirette ed inverse *
Descrizione esplicita di Isom_n(IR): i suoi
elementi sono f(x) = A x + c dove A matrice in O(n,IR) e c vettore
numerico in IR^n *
Figure geometriche isometriche o congruenti.
*
Proprietà euclidee di una figura geometrica. *
Definizione di Geometria Euclidea [DISP_A] * Equazioni
di isometrie notevoli di IE^2(IR) (i)
Equazioni di traslazioni di passo un vettore v (ii)
Rotazioni attorno all’origine O di angolo orientato t (iii)
Rotazioni attorno ad un qualsiasi punto P di angolo orientato t (iv)
Riflessioni rispetto ad un punto P. (v)
Riflessione rispetto ad una retta cartesiana r: ax+by+c
= 0 *
Trasformati di luoghi geometrici nel piano euclideo IE^2(IR) mediante
un’isometria * Equazioni
canoniche metriche di una retta. * Due
rette nel piano euclideo sono sempre congruenti (e quindi anche affinemente
equivalenti) |
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I |
Settimana 5 |
(2 ore)- 04/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_A] * Equazioni
di isometrie notevoli di IE^3(IR) (i)
Equazioni di traslazioni di passo un vettore v (ii) Rotazioni
attorno ad una retta vettoriale orientata, di angolo orientato t (iii)
Rotazioni attorno ad una retta affine orientata, di angolo orientato t (iv)
Riflessioni rispetto ad un punto P. (v)
Riflessione rispetto ad una retta cartesiana (vi)
Riflessione rispetto ad un piano cartesiano *
Trasformati di luoghi geometrici nello spazio euclideo IE^3(IR) mediante
un’isometria * Equazioni
canoniche metriche di una retta (di un piano). * Due rette
(due piani) nello spazio euclideo sono sempre congruenti (e quindi anche
affinemente equivalenti) |
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(2 ore)-
05/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] * V_C
= complessificazione
di uno spazio vettoriale reale V * Vettori
reali e vettori immaginari puri in V_C * Dimensione
reale e dimensione complessa di V_C *
Vettori C-linearmente indipendenti * Definizione
1.1.2: Base reale di V_C * Definizione 1.1.1: Coniugio in V_C (i) è un’applicazione involutoria (ii) è un endomorfismo IR-lineare di V_C (iii) non è un endomorfismo C-lineare di
V_C *
Sottoinsiemi reali del C-spazio vettoriale V_C * C-
sottospazi vettoriali di V_C che sono sottospazi vettoriali reali |
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(2 ore)-
06/04/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
07/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] * Complessificazione f_C : V_C à V’_C di un’applicazione lineare f: Và V’ tra
spazi vettoriali reali V e V’. Matrici rappresentative. * Prodotto
scalare complessificato indotto dal
prodotto scalare < , > su V spazio vettoriale
euclideo (reale) di cui V_C è il complessificato. * Definizione 1.1.4. Lunghezza di un vettore complesso v rispetto al prodotto scalare complessificato * Definizione
1.1.5 Vettori complessi ortogonali rispetto al prodotto scalare complessificato * Vettori
isotropi rispetto al prodotto scalare complessificato * Paragrafo
1.2 Complessificazione A_C di uno spazio affine A reale * Coniugio in uno spazio
affine complessificato A_C * I punti reali sono i punti
fissi del coniugio in A_C * Sottospazi
affini reali di uno spazio affine complessificato.
* Riferimenti affini reali
di uno spazio affine complessificato A_C |
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I |
Settimana 6 |
(2 ore)-
11/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] * Lemma 1.2.1: Fissato
in A_C un riferimento affine reale RA(O, E),
allora: (i) un
sottospazio affine è reale se e solo se ha un punto reale e ha giacitura
reale (ii) le
coordinate del coniugato di un punto P sono le coordinate coniugate di P * Proposizione 1.2.2 (CNES
per avere un sottospazio affine reale in A_C) un sottospazio affine H
è reale se e solo se, rispetto ad un riferimento reale RA(O,
E), ha equazioni parametriche (rispettivamente cartesiane) reali. * se il punto P ed il suo
coniugato sono distinti, la retta per P ed il coniugato di P è sicuramente
una retta reale * Paragrafo
1.3 (pp. 7-8) * Complessificazione
IE_C di uno spazio euclideo IE (reale) * Punti a distanza nulla e
rette isotrope in IE_C * Paragrafo
1.6 (pp. 28-30): IE^2_C come complessificazione
del piano euclideo IE^2(IR) *
Retta in IE^2_C: giacitura, vettore direttore e parametri direttori *
Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta in IE^2_C * Retta
coniugata di una retta in IE^2_C *
Rette isotrope del piano IE^2_C *
Rette reali in IE^2_C: in un riferimento cartesiano reale hanno
equazioni parametriche ed equazione cartesiana reali. Contengono dunque
infiniti punti reali *
Metodi per determinare le equazioni reali *
Osservazione 1.6.5: se una retta r è non reale allora possono
capitare due cose: (i) o
l’intersezione con la retta coniugata è non vuota: allora l’intersezione
tra le due rette è un punto reale, esso è l’unico punto reale sulle due
rette, le giaciture delle due rette non sono reali (ii) oppure
l’intersezione fra le due rette è vuota: allora r è strettamente
parallela alla sua coniugata, né r né la sua coniugata contengono punti
reali, la loro giacitura comune è reale. |
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(2 ore)-
12/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_B] * Paragrafo
1.7 (pp. 30-34): *
IE^3_C come complessificazione dello spazio
euclideo IE^3(IR) *
Piani in IE^3_C, giacitura * Equazioni
parametriche ed equazione cartesiana di un piano in IE^3_C *
Piano coniugato ad un piano in IE^3_C * Piano
reale in IE^3_C: determinazione di un’equazione cartesiana
reale. Ha infiniti punti reali e contiene infinte rette reali * Piano
non reale: l’intersezione tra un piano ed il suo coniugato o è una retta
reale (e allora le giaciture dei due piani non sono reali e la retta è
l’unica retta reale) oppure è vuota (e allora i piani sono paralleli con
giacitura reale ed entrambe i piani non contengono né punti né rette reali) *
Retta in IE^3_C, giacitura, vettore direttore e parametri direttori *
Retta coniugata di una retta in IE^3_C *
Equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di una retta in IE^3_C *
rette reali in IE^3_C: determinazione di equazioni cartesiane
reali. Le rette reali hanno infiniti punti reali *
Rette non reali: (i) rette
di I specie: sono complanari; se incidenti, allora hanno un unico punto
reale e giaciture non reali; se (strettamente) parallele, non hanno punti
reali ma le giaciture sono reali (ii) rette
di II specie: sono sghembe; non hanno né punti né giaciture reali * Cono
isotropo in IE^3_C *
Piani isotropi in IE^3_C * Su
una giacitura di un piano non isotropo esistono esattamente due direzioni
isotrope distinte (caso Delta non nullo) * Su
una giacitura di un piano isotropo esistono un’unica direzione isotropa (caso
Delta nullo) |
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(2 ore)-
13/04/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
14/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 2, paragrafo 22, pp.
269-271 * Lemma
22.1: il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica reale
possiede solo radici reali * Operatori
autoaggiunti o simmetrici * Teorema
22.2 (Teorema Spettrale operatori autoaggiunti
o simmetrici) * Teoremi
22.3 e 22.4: formulazioni equivalenti: (i) diagonalizzazione di matrici
simmetriche reali in basi ortonormali (ii) di forme quadratiche reali in basi
ortonormali * Proposizione
22.5: autovettori di un operatore autoaggiunto (simmetrico) relativi ad autovalori distinti
sono ortogonali *
Utilizzo della teoria svolta per il calcolo esplicito con la discussione di
vari esempi |
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I |
Settimana 7 |
(2 ore)-
18/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_C] Cap.11 *
Quoziente di un IK-spazio vettoriale V modulo un suo sottospazio W: V/W * Le
classi laterali v + W, che sono gli elementi di V/W, sono identificabili ai
sottospazi affini di V paralleli alla giacitura W * V/W
ha una struttura di IK-spazio vettoriale che rende la proiezione
canonica p : V à V/W un’applicazione lineare e
suriettiva di IK-spazi vettoriali * Ker(p) = W e dim(V/W) = dim(V) – dim(W) *
Struttura di IK-spazio vettoriale V/W interpretata con i sottospazi affini di
V * Teorema
11.6 Primo teorema di omomorfismo *
Corollario 11.7 Controimmagini di un vettore nell’immagine di
un’applicazione lineare *
Teorema 11.8 Secondo teorema di omomorfismo *
Corollario 11.9 Isomorfismi
con somme di sottospazi. |
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(2 ore)-
19/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_C] Cap.11 *
Caratterizzazione dei sottospazi vettoriali di V/W * Proposizione
11.11: corrispondenza biunivoca tra sottospazi di V/W e sottospazi di V
contenenti W (sottospazi disposti a bandiera) * Proposizione
11.12 Isomorfismo con doppio quoziente [DISP_C] Cap.12 *
Richiami su Hom(V,W): è
IK-spazio vettoriale * dim(Hom(V,W)) = dim(V) dim(W) *
Fissate basi di V e di W, Hom(V,W)
diventa isomorfo allo spazio vettoriale
M(mxn; IK) *
End(V) è uno spazio vettoriale di dimensione (dim(V))^2 * La
composizione di endomorfismi induce su End(V) una struttura di anello
unitario, non commutativo e non integro * V* =
Spazio vettoriale duale di uno spazio vettoriale V * I
suoi elementi sono detti funzionali lineari su V * dim(V^*) = dim(V) * Se V
= IK^n allora i funzionali lineari su IK^n sono le matrici riga M(1xn; IK). |
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(2 ore)-
20/04/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
21/04/2023 |
Lezione Prof. Flamini [DISP_C] Cap.12 * Base
duale E* come base di V^* che è duale alla
base E di V * V e
V* sono isomorfi dopo scelta di una base E su V * V**
= Spazio vettoriale bi-duale di uno spazio vettoriale V * V**
è canonicamente isomorfo a V, i.e. l’isomorfismo non dipende dalla scelta di
una base * Esempio
12.8 Se V = IK^n allora V^* = IK[x_1, ….., x_n]_{1} u {0}
spazio vettoriale dei polinomi omogenei di grado 1 in n indeterminate (con il
polinomio nullo) * Ann_V(W) = Annullatore di un sottospazio W
*Proposizione
12.9: proprietà degli annullatori *
Duale di una proposizione P * Teorema
12.11: Principio di dualità negli spazi vettoriali |
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I |
Settimana 8 |
(2 ore)-
25/04/2023 |
FESTIVITA’ 25 APRILE |
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(2 ore)-
26/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_D] Cap.1 * Definizioni
1.1 e 1.2 Endomorfismo triangolabile su uno spazio
vettoriale V di dimensione finita su un campo IK e matrice triangolabile su
uno spazio vettoriale V di dimensione finita su un campo IK * Teorema
1.1 una matrice quadrata A su un campo IK è triangolabile se e solo se ha
spettro nel campo IK, i.e. se e solo se il suo polinomio caratteristico
P_A(x) è interamente decomponibile su IK (i.e. P_A(x) si fattorizza su
IK come potenze di binomi) * Corollario
1.1 su IK algebricamente chiuso (e.g. IK=C), ogni matrice quadrata
è triangolabile * Teorema
1.2 un endomorfismo f di un IK-spazio vettoriale V è triangolabile se e
solo se polinomio caratteristico P_f(x) è interamente
decomponibile su IK * Corollario
1.2 su IK algebricamente chiuso (e.g. IK=C), ogni endomorfismo è
triangolabile [DISP_D] Cap.2 * Funzioni
polinomiali su M(nxn; IK) *
Funzioni polinomiali su End(V) * Proposizione
2.1 Se f è un endomorfismo triangolabile, allora P_f(f)
= 0 * Teorema
2.1 (Teorema di Cayley-Hamilton) se f è un
endomorfismo di V, allora P_f(f) = 0 |
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(2 ore)-
27/04/2022 |
SVOLGIMENTO I ESONERO SU ARGOMENTI DA SETTIMANA 1 A
SETTIMANA 6 COMPRESA |
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(2 ore)-
28/04/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_D] Cap. 2 *
Ideale I_f in IK[x] di un endomorfismo f su V * Polinomio
minimo m_f(x) di un endomorfismo f su V * Proposizione
2.2 Il polinomio minimo m_f(x) divide in IK[x]
il polinomio caratteristico P_f(x) * Teorema
2.2 gli zeri in IK del polinomio caratteristico P_f(x)
e del polinomio m_f(x) coincidono *
Esempi in cui P_f(x) e m_f(x)
coincidono. Esempi in cui m_f(x) è un divisore
proprio di P_f(x) [DISP_D] Cap. 3 * Definizione
3.1 Autospazi generalizzati per autovalori di un
endomorfismo f su V * Lemma
3.1 e Corollario 3.1 Decomposizione di V a seconda della fattorizzazione
del polinomio minimo m_f(x) in IK[x] * Teorema
3.1 (Teorema della decomposizione primaria) decomposizione primaria di V
rispetto ad un endomorfismo f il cui polinomio caratteristico si fattorizza
completamente su IK * Componenti
primarie di un endomorfismo f il cui polinomio caratteristico si
fattorizza completamente su IK |
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I |
Settimana 9 |
(2 ore) - 02/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_D] Cap. 3 * Le
componenti primarie V_i di un endomorfismo f sono
sottospazi f-stabili * Proposizione
3.1 proprietà delle componenti primarie in funzione delle proprietà del
polinomio m_f(x): (i)
il
polinomio minimo della componente primaria V_i è
m_{f_i} (x) = (x- \lambda_i)^{e_i} (ii)
la
dimensione della componente primaria V_i coincide
con la molteplicità algebrica a_i = m_a(f,
\lambda_i) dell’autovalore \lambda_i * Definizione
3.2 blocco di Jordan di ordine k rispetto ad uno scalare
\lambda *
Riduzione allo studio del comportamento di f ristretto alla singola
componente primaria V_i * Teorema
3.2 Sia f un endomorfismo su V con polinomio minimo m_f(x)
= (x-\lambda)^k. Allora: (i)
esiste
una base B di V per cui la matrice rappresentativa in base B di
f è una matrice a blocchi, dove ogni blocco è un blocco di Jordan rispetto
all’autovalore lambda di un certo ordine k_t (ii)
la
somma di tutti gli ordini k_t è uguale a dim(V) |
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(2 ore)-
03/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [DISP_D] Cap. 3 * Forma
canonica di Jordan di un endomorfismo * Teorema
3.3 (Riduzione a forma canonica di Jordan; esistenza di una base di Jordan)
se f è un endomorfismo su un IK-spazio vettoriale V, con polinomio
caratteristico P_f(x) interamente decomponibile su
IK, allora esiste una base J di V, detta base di Jordan, per
cui la matrice rappresentativa di f in base J è una matrice a blocchi
di Jordan * Corollari
3.3 e 3.4 * Deduzione in alcuni casi della unicità
della forma canonica di Jordan a meno della permutazione dei blocchi di
Jordan: (dimostrazione alternativa alle dispense) Sia m_f(x) = (x-\lambda_1)^e_1…..(x-\lambda_r)^e_r, dove \lambda_1, …\lambda_r
sono tutti gli autovalori distinti di f. Sia J una forma canonica di Jordan
di f in base di Jordan per V. Allora: (i)
per ogni
autovalore \lambda_i esiste in J almeno un blocco
di Jordan di ordine e_i e tutti gli altri blocchi
relativi a \lambda_i hanno ordine minore od uguale
ad e_i, per ogni i=1,…,r, (ii)
il numero dei
blocchi di Jordan relativi all’ autovalore \lambda_i è pari alla molteplicità geometrica di \lambda_i, per ogni i=1,…,r (iii)
la somma dei
vari ordini dei blocchi di Jordan relativi all’autovalore \lambda_i è pari
alla molteplicità algebrica di \lambda_i, per ogni
i=1,…,r * Corollario: un endomorfismo
f con spettro in IK è diagonalizzabile se e solo se m_f(x) ha tutte
radici semplici in IK |
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(2 ore)-
04/05/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
04/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 3. p. 283-284 *
Motivazioni classiche per la geometria proiettiva *
Descrizione intuitiva della retta proiettiva come completamento
ad un punto (all’infinito) della retta reale con ascissa reale x *
Coppia di coordinate omogenee [X_0, X_1] e corrispondenza biunivoca tra fascio
di rette uscenti dal polo Nord della circonferenza *
IP(V) = spazio proiettivo * Gli
elementi di IP(V), detti punti, sono le rette vettoriali di V * dim IP(V) = dimensione proiettiva = dim_{IK}(V)-1 * Esempio
24.5-1: definizione di IP(V) per via del quoziente con relazione di
proporzionalità tra vettori in V – {0} * Spazio
proiettivo numerico su un campo IK come IP^n(IK) *
Sistema di coordinate omogenee (o riferimenti proiettivi)
in IP(V) * Punti
fondamentali e punto unità di un riferimento *
Riferimento proiettivo standard |
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Settimana 10 |
(2 ore)-
09/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 3. *
Sottospazi proiettivi di IP(V). * Codimensione di un sottospazio proiettivo. *
Iperpiani * Equazioni
cartesiane di iperpiani in IP^n * Iperpiani
fondamentali H_i in IP^n * Equazioni
cartesiane di sottospazi proiettivi in IP^n * Codim_{IP^n} (IP(W)) = numero
equazioni cartesiane in forma normale che servono per determinare IP(W) come
intersezione di iperpiani indipendenti *
Sottospazio proiettivo intersezione di due sottospazi proiettivi *
Sottospazi proiettivi incidenti o sghembi *
Sottospazio proiettivo L(J) generato da un sottoinsieme non vuoto J di
IP(V) |
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(2 ore)-
10/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 3 *
Punti linearmente indipendenti in IP^n.
*
Punti in posizione generale in IP^n * Ogni
sottospazio proiettivo S di IP^n può essere generato
da dim(S)+1 punti linearmente indipendenti *
Esempi di punti in posizione generale e non in IP^2, in IP^3 eccetera e
sottospazi proiettivi che essi generano * Equazioni
parametriche di un sottospazio proiettivo in IP^n
*
Passaggio da equazioni parametriche ad equazioni cartesiane: formule determinantali *
Equazioni parametriche e cartesiane di rette in IP^2, di rette in IP^3, di
piani in IP^3 * Se
S_1 = IP(W_1) e S_2 = IP(W_2) sono due sottospazio proiettivi, allora L(S_1, S_2) = IP(W_1 + W_2) viene detto il sottospazio
proiettivo generato da S_1 ed S_2 o sottospazio congiungente S_1 e S_2
* Due rette sghembe in IP^3 generano tutto IP^3 |
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(2 ore)-
11/05/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
12/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 3 * Formula
di Grassmann proiettiva * Proposizione
24.3: (i) due rette in un piano proiettivo sono sempre incidenti. (ii)
Una retta ed un piano in uno spazio proiettivo di dimensione 3 sono sempre incidenti e due piani distinti si intersecano
sempre lungo una retta *
Sottospazi proiettivi in posizione generale * Cono
(proiettivo) proiettante un sottoinsieme J da un punto P * Proposizione
24.4: proprietà dei coni proiettanti *
Proiezione di IP^n su un iperpiano H di centro un
punto P non appartenente a H. *
Proiezione di un sottoinsieme non vuoto J su un iperpiano H da un punto P non
appartenente a H * Esempi
24.5-3: Sottospazi proiettivi di IP^2, di IP^3, di IP^4. Tabella delle
intersezioni se i sottospazi sono in posizione generale * Esempi
24.5-4: riferimenti proiettivi. * Esempi
24.5-5: Sistemi lineari di ipersuperfici
di grado d in IP^n * Esempio 24.5-7: C_a(J)
= cono (affine) in V su J sottoinsieme di IP(V) |
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I |
Settimana 11 |
(2 ore)-
16/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Capitolo 3. p. 297 *
Geometria affine e Geometria proiettiva * Carte
affini fondamentali di IP^n * Deomogeneizzazione i-esima di coordinate omogenee * Elementi impropri (od all’infinito)
per le carte affini fondamentali A_i := A^n_i,
per ogni i = 0,…,n *
Esempi 25.4-(4): (a) chiusure proiettive (o proiettificazione)
H di sottospazi affini H in una carta affine A_i
di IP^n. Omogeneizzazione i-esima delle coordinate
affini y_1, ….., y_n (b) Sottospazi affini H nella carta affine A_i che sono traccia di
sottospazi proiettivi H di IP^n *
Esempi 25.4-(2) e (3): ulteriori modelli geometrici di IP^n(IR).
Punti antipodali sulla ipersfera S^n
nello spazio euclideo IE^{n+1} o sulla calotta nel semispazio superiore. Identificazione
antipodale * Esempio 25.4-(1): modello geometrico di IP^1(C): proiezione
stereografica della sfera euclidea S^2 in IE^3 privata del
polo-nord N su un piano. IP^1(C) come sfera di Riemann |
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(2 ore)-
17/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Paragrafo 26 * IP:=Spazio proiettivo IP^n *
Spazio proiettivo IP^* = spazio proiettivo duale di IP *
Insieme degli iperpiani di IP. Ha una struttura di spazio proiettivo data da
IP* *
Iperpiani di IP linearmente indipendenti
* Riferimento
proiettivo duale in IP* e coordinate omogenee duali di
un iperpiano in IP* * Coordinate
omogenee di un iperpiano H di IP nel riferimento duale di IP* * Proposizione
26.1 Sistema lineare di iperpiani in IP di centro un
sottospazio proiettivo S di IP: equazioni e dimensione * Fasci
e stelle di iperpiani in IP |
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(2 ore)-
18/05/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
19/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Paragrafo 26 * Teorema
26.2: Sia IP uno spazio proiettivo n-dimensionale. Allora: (i)
si ha una corrispondenza biunivoca tra IP* e
l’insieme degli iperpiani di IP, i.e. i sistemi lineari di iperpiani in IP si
identificano a sottospazi proiettivi di IP* (ii)
la corrispondenza biunivoca in (i) induce una
corrispondenza biunivoca tra sottospazi proiettivi S = IP(W) di IP di dimension k, ed i sottospazi proiettivi IP(Ann(W)) in IP*
di dimensione n-k-1 che, secondo la biiezione in (i), corrispondono a sistemi
lineari di iperpiani di IP centro il corrispondente sottospazio proiettivo
S=IP(W) che è il centro del sistema lineare di iperpiani (iii)
La biiezione in (ii) inverte le inclusioni *
Dualità proiettiva. * Complementi
26.5: corrispondenza punto in IP ad iperpiano H_P in IP*. (i) La
corrispondenza avviene grazie all’isomorfismo canonico di V con V** che
induce una identificazione di IP con IP**, spazio proiettivo biduale, che è lo spazio proiettivo duale di
IP* (ii) Il
passaggio dalle coordinate omogenee di P in IP all’equazione cartesiana
dell’iperpiano H_P in IP* avviene grazie alla relazione di incidenza
in IP x IP* data da: a_0X_0 + a_1X_1 +…a_nX_n=0 *
Configurazione di punti e di sottospazi. *
Proposizione duale di una proposizione data. |
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I |
Settimana 12 |
(2 ore)-
23/05/2023 |
Lezione Prof. Flamini [G1] Paragrafo 24. * Esempi
ed osservazioni 24.5-4 Riferimento proiettivo in IP = IP(V) individuato
da n+2 punti in posizione generale in IP [G1] Paragrafo 27 * Formule
di cambiamento di coordinate omogenee in uno spazio proiettivo IP
rispetto a due riferimenti proiettivi distinti *
Formule inverse del cambiamento di coordinate *
Composizione di formule cambiamenti di coordinate in tre riferimenti
proiettivi distinti *
Formule del cambiamento di coordinate da un riferimento fissato su IP ad un
riferimento individuato da (n+2) punti in posizione generale di IP di cui si
conoscono le coordinate nel vecchio riferimento proiettivo di IP * Esempio
27.2: calcolo esplicito della legge di cambiamento di coordinate su IP^1
rispetto al riferimento indotto da tre punti distinti P_1, P_2, M su IP^1:
calcolo del cambiamento delle coordinate omogenee con metodi di
Cramer di modo che P_1 e P_2 siano ordinatamente i due nuovi punti
fondamentali mentre M diventi il punto unità del nuovo
riferimento * Isomorfismi
di spazi proiettivi IP e IP’. * Proiettività
di uno spazio proiettivo IP * Gruppo
proiettivo PGL(IP) o PGL(n+1, IK) * Proposizione 27.4 = Teorema
fondamentale degli isomorfismi proiettivi e delle proiettività * Teorema fondamentale dei riferimenti
proiettivi *
Figure proiettivamente
equivalenti. * Proprietà proiettive di
figure geometriche e Geometria proiettiva |
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(2 ore)-
24/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Paragrafo 27. *
Complementi 27.10-1: Relazioni di equivalenza tra le figure della
Geometria Affine, Euclidea e Proiettiva. Equivalenza affine,
euclidea e proiettiva *
Complementi 27.10-4: punti fissi, luoghi di punti fissi
e luoghi stabili di una proiettività f * Complementi 27.10-3:
le affinità di uno spazio affine A^n,
identificato con la carta affine A^n_0 di IP^n,
si identificano alle proiettività di IP^n che hanno
l’iperpiano H_0: X_0=0 (che e’ improprio per la
carta affine A^n_0) come sottospazio proiettivo stabile * Pertanto Aff(A^n) si può vedere
come sottogruppo di PGL(n+1; IK) e quindi, visto che A^n
si identifica con una carta affine sottoinsieme di IP^n,
* Geometria Affine (e
dunque anche Euclidea) è subordinata alla Geometria Proiettiva * Birapporto di una quaterna
ordinata di punti in una retta proiettiva * Teorema
27.7 Significato proiettivo del birapporto di
una quaterna ordinata di punti in IP^1 con il teorema fondamentale dei
riferimenti *
Calcoli espliciti di birapporti * Il birapporto dipende dall’ordinamento della quaterna di
punti. *
Permutazioni di Sym(4) che cambiano il birapporto |
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(2 ore)-
25/05/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
26/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Paragrafo 28. p. 337 * Curve algebriche piane affini in
A^2(IK): equazione cartesiana, supporto e grado * Curve algebriche piane euclidee in
E^2(IR): equazione cartesiana, supporto e grado * Curve algebriche piane proiettive in
IP^2(IK): equazione cartesiana, supporto e grado *
Non confondere la curva con il suo supporto. Esempi di curve non banali con
supporti vuoti quando IK= IR *
Curve algebriche piane irriducibili e ridotte *
Curve algebriche piane riducibili e non-ridotte *
Equivalenza affine, congruenza od equivalenza proiettiva
tra curve algebriche piane *
Trasformata di una curva algebrica mediante un’affinità (oppure un’isometria
oppure una proiettività) * Forme
canoniche di curve algebriche piane affini (o euclidee o
proiettive) [G1] Paragrafo 29. p. 347 *
Chiusura proiettiva di una curva algebrica piana affine
C e punti impropri di C *
Traccia di una curva proiettiva in una carta affine
fondamentale *
Curva affine simmetrica rispetto ad un punto * Curva euclidea
simmetrica rispetto ad una retta |
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I |
Settimana 13 |
(2 ore)-
30/05/2023 |
Lezione Prof. Flamini [G1] Paragrafo 29. p. 347 *
Curva algebrica piana per IK=C *
Curva complessa e coniugata di una curva algebrica piana
C *
Curve algebriche reali * Punti
reali di una curva algebrica piana complessa * Insieme dei punti non reali
di una curva algebrica piana complessa [G1] Paragrafo 30. p. 355 *
Coniche in IP^2(IK) e matrice simmetrica associata A *
Equazione cartesiana omogenea matriciale della conica proiettiva C *
Conica in IP^2(IK) non degenere, semplicemente
degenere o doppiamente degenere *
Classificazione delle coniche proiettive *
Invarianti proiettivi di una conica: rango di una conica * Teorema
30.2 forme canoniche proiettive di coniche su IK algebricamente chiuso * Teorema
30.3 forme canoniche proiettive di coniche reali *
Invarianti proiettivi di una conica reale: rango e tipologia di
segnatura |
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(2 ore)-
31/05/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Paragrafo 30. p. 355 *
Significato geometrico del rango di una conica: (i) non
degenere = irriducibile e quindi non singolare (ii) semplicemente
degenere = riducibile in una coppia di rette incidenti e ha un
solo punto come luogo singolare (iii) doppiamente
degenere = conica non ridotta = retta doppia cioe’
tutti i punti sono singolari * Se
una conica non degenere reale contiene un punto reale, allora ne contiene
infiniti *
Esempi [G1] Paragrafo 31. p. 359 *
Conica in A^2(IK) non degenere, semplicemente
degenere o doppiamente degenere * Classificazione
delle coniche affini *
Invarianti affini di una conica: rango e rango
della forma quadratica * Conica
a centro e Parabola * Osservazioni
31.2-1 conica a centro e centro di simmetria della conica * Se
IK = IR o nel piano affine complessificato (i.e. in
cui si usano solo trasformazioni affini reali su A^2(C)), la
classificazione delle coniche a centro si stratifica ulteriormente con le due
tipologie iperbole ed ellisse * Osservazioni
31.2-2 Significati geometrici di ellisse, iperbole e parabola in termini
di punti impropri della conica affine * Nel
caso IK=IR oppure nel piano affine complessificato
(i.e. in cui si usano solo trasformazioni affini reali su A^2(C)), se
si parte da una conica affine reale allora anche il segno del
determinate della forma quadratica è un invariante affine. *
Grazie all’invarianza del segno di det(A_0), allora
det(A_0) <0 caratterizza le iperboli
mentre det(A_0)>0 caratterizza le ellissi |
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(2 ore)-
01/06/2023 |
Esercitazioni
Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
02/06/2023 |
FESTIVITA’ 2 GIUGNO |
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Settimana 14 |
(2 ore)- 06/06/2023 |
Lezione Prof.
Flamini [G1] Paragrafo 31. p. 359 * Diametri
di una conica a centro * Asintoti
di una conica a centro * Se IK=IR
oppure se studiamo il piano affine complessificato
(i.e. dove si usano solo trasformazioni affini reali su A^2(C)),
un’ellisse ha asintoti che sono rette complesse e coniugate la cui
intersezione è nell’unico punto reale che è il centro dell’ellisse * Teorema
31.1 forme canoniche affini di coniche affini sia per IK algebricamente
chiuso che per IK= IR. *
Algoritmo di riduzione a forma canonica affine * Le
forme canoniche affini sono sempre in numero finito, ma molte di più delle
forme canoniche delle coniche proiettive *
Coniche euclidee reali in E^2(IR) * Invarianti
metrici di una conica e classificazione delle coniche euclidee * Teorema
31.3 forme canoniche metriche di coniche euclidee. *
Riduzione a forma canonica metrica |
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(2 ore)- 07/06/2023 |
[G1] Paragrafo 31 * Proprietà geometriche dell’ellisse
generale a punti reali: vertici, semiassi, fuochi, direttrici,
eccentricità, diametri, caso della circonferenza * Proprietà geometriche dell’iperbole
generale: vertici, semiasse trasverso e semiasse non-trasverso,
asintoti, diametri, fuochi, direttrici, rami dell’iperbole, eccentricità * Proprietà geometriche della parabola
generale: vertice, asse trasverso, fuoco, direttrice,
eccentricità * Proprietà focali delle coniche
generali a punti reali * Punti ciclici di una
circonferenza |
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(2 ore)- 08/06/2023 |
Esercitazioni Prof. Rapagnetta |
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(2 ore)-
09/06/2023 |
SVOLGIMENTO II ESONERO SU ARGOMENTI
DA SETTIMA SETTIMANA FINO A TREDICESIMA SETTIMANA |