Lezioni di Geometria

Franco Ghione


Capitolo XV

Equazioni di una retta

Per trovare le relazioni algebriche che debbono verificare le coordinate dei punti che appartendono ad una retta, come abbiamo fatto per i piani, dobbiamo trovare una proprietà geometrica, traducibile in termini di vettori, che caratterizzi tutti e soli i punti di una retta. Un modo per fare questo consiste nel descrivere i punti della retta come l'insieme delle combinazioni lineari di un vettore non nullo applicati ad uno stesso punto della retta medesima. Questa strada conduce alle così dette equazioni parametriche della retta.

Dato un vettore geometrico non nullo u e un punto A dello spazio, la retta parallela a u passante per A è formata dall'insieme dei punti P dello spazio che danno il vettore AP come combinazione linare di u.
Supponiamo che A = (x₁,y₁,z₁) e che u = u₁i + u₂j + u₃k.
Un generico punto P = (x,y,z) appartiene alla retta se e solo se esiste uno scalare t (detto parametro) tale che AP = tu. Scrivendo questa relazione usando le coordinate che abbiamo introdotto troviamo, tenendo conto della formula 1

(equazioni parametriche di una retta)

Queste equazioni possono essere scritte in modo più semplice e compatto usando i vettori (colonna) numerici a tre componenti con le loro regole di calcolo

Per scrivere le equazioni parametriche di questa retta dobbiamo trovare un suo punto (e questo può essere il punto A = (1,1,0) che già conosciamo) e un vettore parallelo alla retta. Visto che conosciamo anche il punto B della retta possiamo scegliere come vettore parallelo alla retta il vettore AB le cui componenti possono essere calcolate usando la formula 1:

Al variare dei del parametro t troviamo tutti e soli i punti della retta. Ad esempio il punto (3,-1,-4) appartiene alla retta perché si ottiene in corrispondenza al valore t=-2 del parametro , mentre il punto (1,1,1) non appartiene alla retta perché non è possibile ottenerlo dalle equazioni precedenti, qualunque sia la scelta di t.

Una retta può anche essere descritta come intersezione di due piani non paralleli. In questo caso i punti P della retta sono tutti e soli i punti le cui coordinate verificano contemporaneamente le equazioni dei due piani:

Per trovare le caratteristiche geometriche di una retta definita come intersezione di due piani occorre risolvere il sistema precedente esplicitando le coordinate x, y, z come funzioni di un parametro t. Le tre equazioni così trovare daranno la direzione della retta e un suo punto. Anziché trovare delle formule generali a partire dai coefficienti delle equazioni dei due piani indichiamo con un esempio la procedura che abbiamo illustrato.

Esempio
Calcolare le equazioni parametriche della retta definita dall'intersezione dei due piani seguenti:

Calcolando y in funzione di x nella seconda equzione troviamo y = 2x-2. Sostituendo questo valore nella prima equzione e calcolando z, troviamo x-4x+4+z = 2, cioé z = 3x-2.Prendendo x = t troviamo le equazioni:

e quindi la retta è parallela al vettore i + 2j + 3k e passa per il punto (0,-2,-2).

Schema riassuntivo

Figure

Dati

Equazioni

A=(x1,y1,z1) u = li+mj+nk Wr=Span(u)

AP = t u

A=(x1,y1,z1) u = u1i+u2j+u3k v = v1i+v2j+v3k Wa=Span(u,v)

AP = t u+s v

A=(x1,y1,z1) w = ai+bj+ck Wa=Span(w)

ax+by+cz=d (d=ax1+bx2+cx3) AP . w = 0

Relazioni di parallelismo e perpendicolarità tra rette e piani.

La retta r è parallela alla retta s se e solo se Wr = Ws

La rettar è parallela al piano a se e solo se Wr Wa

Il piano a è parallelo al piano b se e solo se Wa = Wb

La retta r è perpendicolare alla retta s se e solo se Ws Wr

La retta r è perpendicolare al piano a se e solo se Wa = Wr

Il piano a è perpendicolare al piano b se e solo se Wa Wb

Osserviamo che le ultime due relazioni sono simmetriche. Infatti la retta r è perpendicolare al piano a se e solo se il piano a è perpendicolare alla retta r cosa che si dimostra immediatamente passando all'ortogonale e usando le proprietà di questo operatore.

W_a = W_r (W_a) = (W_r) W_r = W_a

e quest'ultima relazione si interpreta dicendo che il piano a è perpendicolare alla retta r.
Analogamente il piano a è perpendicolare al piano b se e solo se il piano b è perpendicolare al piano a, infatti

W_a W_b (W_b) (W_a) W_bW_a.