Programma dettagliato del corso di Analisi 2 (A.A.
2007-08)
Prof. L‡szl— Zsid—
Teoremi di valor medio
Richiami sui teoremi di Weierstrass, Fermat e
Rolle,
il teorema del valor medio di Lagrange,
il teorema del valor medio di Cauchy,
la regola di De L'Hospital,
forme indeterminate riconducibili a 0/0 o °/° .
Bibliografia:
Il libro di testo: P. Marcellini, C. Sbordone:
Analisi Matematica Uno (Sezioni 48, 60, 61, 64, 67)
Per esercizi: P. Marcellini, C. Sbordone:
Esercitazioni di Matematica - 1º Volume, parte prima (Sezioni 11A, 11B)
Continuitˆ uniforme
Definizione, esempi,
il teorema di Cantor: funzioni continui su
intervalli chiusi limitati,
funzioni lipschitziane, la lipschitzianitˆ
delle funzioni derivabili.
Bibliografia:
Oltre al
libro di testo: P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica Uno (Sezione 81)
ed al
libro di esercitazione: P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica - 1º Volume, parte prima (Sezione 9C)
vedi anche i commenti alle soluzioni degli esercizi del test del 30 Maggio
2008.
Integrazione secondo Riemann
Somme integrali inferiori e superiori per
funzioni limitate, la definizione dell'integrale definito,
criterio di integrabilitˆ usando somme
integrali,
l'integrabilitˆ delle funzioni continue e delle
funzioni monotone,
l'indipendenza dell'integrabilitˆ e del valore
dell'integrale dai valori in un numero finito di punti,
proprietˆ dell'integrale: l'additivitˆ rispetto
all'intervallo di integrazione, la linearitˆ, la positivitˆ,
il modulo dell'integrale e l'integrale del
modulo, teoremi della media per integrali,
la dipendenza continua dell'integrale
dall'intervallo di integrazione, il teorema fondamentale del calcolo integrale,
l'integrale indefinito, la formula fondamentale
del calcolo integrale (formula di Newton-Leibniz),
integrazione per parti, esempio: l'integrale di
log ,
integrazione per sostituzione, esempio:
l'integrale di tg ,
l'integrazione delle funzioni razionali tramite
la loro decomposizione in fratti semplici (in una somma di fratti della forma
una costante / una potenza di un polinomio di grado 1
oppure
un polinomio di grado minore o uguale a 1 / una potenza di un polinomio
di grado 2 senza zeri reali),
l'integrazione delle funzioni razionali di ex ,
l'integrazione delle funzioni razionali di seno
e coseno di x ,
l'integrazione delle funzioni razionali di x e
la radice n-esima di (ax+b)/(cx+d) ,
l'integrazione delle funzioni razionali di x e
la radice quadrata di un polinomio di grado 2 (in particolare, le sostituzioni
di Eulero),
l'integrazione delle funzioni razionali di x,
la radice quadrata di un polinomio di grado 1 e la radice quadrata di un
secondo polinomio di grado 1 ,
integrali impropri: definizione, esempi, il
criterio del confronto, convergenza assoluta,
applicazioni dell'integrale al calcolo di aree
e volumi.
Bibliografia:
Oltre al
libro di testo: P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica Uno (Capitoli 8 e 9)
ed al
libro di esercitazione: P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica - 1º Volume, parte seconda (Capitolo 4 e Sezioni 5A, 5B, 5C, 5D)
vedi anche i commenti alle soluzioni degli esercizi del test del 30 Maggio
2008.
La formula di Taylor
la formula di Taylor con il resto di Peano,
l'uso della formula di Taylor nel calcolo di
limiti,
il resto integrale per la formula di Taylor,
il resto di Lagrange ed il resto di Cauchy per
la formula di Taylor.
Bibliografia:
Il libro di testo: P. Marcellini, C. Sbordone:
Analisi Matematica Uno (Capitolo 10)
Per esercizi: P. Marcellini, C. Sbordone:
Esercitazioni di Matematica - 1º Volume, parte prima (Sezioni 11C, 11D)
Serie numeriche
convergenza, diverdenza, indeterminanza,
esempi: serie geometriche e la serie armonica,
il criterio di Cauchy ed il termine generale id
una serie convergente,
serie a termini positivi: il criterio del
confronto, il criterio della radice, il crietrio del rapporto,
il criterio della condensazione per serie a
termini positivi decrescenti, serie armoniche generalizzate,
il criterio del confronto con l'integrale,
serie a termini di segno alterno, il criterio
di convergenza di Leibniz,
serie assolutamente convergenti,
sviluppi in serie di Taylor, esempi: per
funzioni esponenziali, seno e coseno, funzioni trigonometriche inverse,
logaritmo,
serie binomiali.
Bibliografia:
Il libro di testo: P. Marcellini, C. Sbordone:
Analisi Matematica Uno (Sezioni 104-110, 112)
Per esercizi: P. Marcellini, C. Sbordone:
Esercitazioni di Matematica - 1º Volume, parte seconda (Capitolo 6)
Cenni di equazioni differenziali
la nozione di equazione differenziale,
equazioni differenziali lineari di primo
ordine: caso omogeneo,
equazioni differenziali lineari di primo
ordine: caso generale,
il problema di Cauchy per equazioni
differenziali lineari di primo ordine,
cenni di equazioni differenziali lineari di
secondo ordine a coefficienti costanti.
Bibliografia:
Il libro di testo: P. Marcellini, C. Sbordone:
Analisi Matematica Uno (Sezioni 115, 116, 117, 120, 121, 122, 124)
Per esercizi: P. Marcellini, C. Sbordone:
Esercitazioni di Matematica - 2º Volume, parte prima (Sezione 4A)