Questa proprietà si esprime dicendo che il prodotto scalare è definito positivo. Questo postulato ci serve per avere una buona teoria dell'ortogonalità, ma ci sono importanti situazioni come ad esempio lo spazio-tempo di Minkowski della relatività ristretta, dove questo postulato non viene considerato. Gli altri postulati sono i seguenti.

• u.v = v.u per ogni coppia di vettori u e v di V
proprietà commutativa


• (au).v = a(u.v) per ogni scalare a e per ogni coppia di vettori u e v di V
  



• u.(v + w) = u.v + u.w comunque si scelgano i vettori u, v e w in V.
  Le ultime due proprietà sono dette condizioni di bilinearità

e gli altri ci permettono di dimostrare come nel caso dei vettori numerici, la disuguaglianza di Schwartz,

dove l'uguaglianza vale se e solo se i due vettori sono linearmente dipendenti. Questa disuguaglianza ci permette di definire l'angolo tra due vettori di uno spazio vettoriale astratto come quell'unico angolo convesso il cui coseno è dato da

Come nei casi già considerati diciamo che due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è nullo. Dato che 0.u=0 per ogni vettore u il vettore nullo è ortogonale ad ogni vettore e quindi questa relazione è interessante per vettori non nulli.
L'ortogonalità permette di costruire famiglie di vettori indipendenti. Supponiamo che u e v siano due vettori non nulli e ortogonali, allora i vettori u e v sono linearmente indipendenti.

la cosa geometricamente è evidente dato che, se v è ortogonale a u non può avere la stessa direzione di u e quindi i due vettori devono essere linearnete indipendenti. Da un punto di vista formale, non possiamo seguire questo ragionamento, ma possiamo usare i nostri postulati. Supponiamo che

sia una combinazione lineare nulla dei due vettori. Moltiplicando scalarmente i due membri con u e tenendo conto del fatto che v.u = 0 essendo ortogonali i due vettori, otteniamo

e quindi essendo |u| non nullo deve essere a = 0. Moltiplicando per v con lo stesso calcolo si ricava b=0. L'unica combinazione lineare nulla dei due vettori è quella banale e dunque i due vettori sono linearmente indipendenti.
Se ora abbiamo un terzo vettore w non nullo ortogonale sia a u che a v, allora i tre vettori sono anche in questo caso, linearmente indipendenti. Ancora la cosa è evidente in un contesto geometrico perché se w è ortogonale sia a u che a v, è ortogonale a un qualunque piano individuato da u e da v e quindi definisce una direzione fuori da quel piano che, per questo, è indipendente dalle altre due.

La dimostrazione formale di questo fatto è simile alla precedente: se

allora, moltiplicando scalarmente per w, che è ortogonale a u e a v troviamo c|w|² = 0. Ora, essendo w non nullo, questo implica c = 0. Ma, se c=0, dato che i vettori u e v, sono linearmente indipendenti la loro sola combinazione lineare nulla è quella banale, e quindi anche a = 0 e b = 0.
In generale abbiamo il seguente

Teorema X 1
Sia V uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare e siano u₁, u₂, ... , u_m m vettori di V linearmente indipendenti. Se v è un vettore non nullo ortogonale a tutti i vettori u_i (i=1,2,...,m), allora gli m+1 vettori u₁, u₂, ... , u_m, v sono linearmente indipendenti.
La dimostrazione è identica a quelle precedenti.